北京市2020初三数学九年级上册期末试题和答案
2020年北京市西城初三(上)期末数学备考解直角三角形试卷及答案含答案
2020北京西城初三（上）期末数学备考解直角三角形（教师版）一．选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cos B＝，则AD的长为（）A．12 B．10 C．6 D．5【分析】先根据等腰三角形的性质得出BD＝BC＝12，再解直角△ABD，求出AB，然后利用勾股定理求出AD．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cos B＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，求出BD与AB的长是解题的关键．2．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（）A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cos50°C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x ﹣10，得到CE＝x﹣10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan 50°，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长度为（）A．2 B．8 C．D．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tan A＝＝＝，∴BC＝2．故选：A．【点评】此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够选择合适的边角关系求解，难度不大．5．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（）A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解：AC＝10．①当∠A＝30°时，BC＝AC tan30°＝10×≈5.7．②当∠A＝45°时，BC＝AC tan45°＝10．∴5.7＜h＜10，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的定义，利用三角函数的定义求得相应角度时树的高度是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cos A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【分析】根据已知条件得出∠BAP＝37°，再根据AP＝40海里和正弦定理即可求出BP的长．【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP＝37°，∵AP＝40海里，∴BP＝AP•sin37°＝40sin37°海里；故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A＝∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sin A＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD＝sin A是解题关键．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝，则sin A＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的定义，理解定义是关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．2【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tan A的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，∴AC＝＝2；∴tan A＝＝；故选：C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．11．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．3【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．12．小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为（）A．（）米B．（a）米C．（1.5+）米D．（1.5+a）米【分析】过小莉的视点作树的垂线，通过构建直角三角形来求这棵树的高度．【解答】解：如图．过A作CD的垂线，设垂足为E点，则AE＝BC＝a，AB＝CE＝1.5米．Rt△ADE中，AE＝a，∠DAE＝30°，∴DE＝AE•tan30°＝a（米），∴CD＝CE+DE＝（a+1.5）米．故选：C．【点评】此题考查了仰角的定义及通过解直角三角形解决实际问题的能力．构造直角三角形是关键．二．填空题（共3小题）13．如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B都在格点上，tan∠AOB的值为．【分析】连接AB，在直角△AOB中利用正切函数的定义即可求解．【解答】解：如图，连接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，∴tan∠AOB＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，正切函数的定义．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD＝10 ．【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A＝30°，AB＝20，得到AE＝10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A＝30°，AB＝20，∴AE＝10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．三．解答题（共18小题）16．计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC•cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．19．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下：①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；（3）设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB＝AC﹣BC，∴，解得，x＝．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝4××﹣（）2＝6﹣＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．22．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】根据已知条件求出BD＝AD，设DC＝x，得出AD＝90+x，再根据tan58°＝，求出x的值，即可得出AD的值．【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，∴∠DAB＝45°，∴BD＝AD，设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，∴AD＝90+x，∴tan58°＝＝＝1.60，解得：x＝150，∴AD＝90+150＝240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．23．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝3×+（）2﹣2×＝+﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．24．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）【分析】根据等角对等边得出PB＝AB＝400米，再利用三角函数求出PC的长即可．【解答】解：如图，由题意，可得∠PAC＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAC＝30°，∴∠PAC＝∠APB．∴PB＝AB＝400米．在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB＝400米，∴PC＝PB•sin∠PBC＝400×＝200＝346.4≈346（米）．答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25．计算：2sin60°+3tan30°﹣2tan60°﹣cos45°．【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后计算求解即可．【解答】解：原式＝2×+3×﹣2×﹣＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆函数值是关键．26．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．【分析】设河宽AB为x米．分别解直角三角形ABC和直角三角形ABD即可求出x的值．【解答】解：设河宽AB为x米．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x．∵在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝x，∴CD＝BD﹣BC＝x﹣x，∴x﹣x＝30解得x＝15+15≈41．答：河宽AB约为41米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解此类题目的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．27．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式＝×﹣4×（）2+×＝﹣3+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．28．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA＝90°﹣45°＝45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C．（如图）在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°﹣45°＝45°．∴．在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝30°．∴．答：B处距离灯塔P有海里．（2）海轮到达B处没有触礁的危险．理由如下：∵，而，∴．∴OB＞50．∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键．29．计算：．【分析】将cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝代入原式，即可得出答案．【解答】解：∵cos30°＝，tan60°＝，sin45°＝，∴原式＝+×﹣2×＝+3﹣1＝2+．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角：30°、45°、60°、90°的三角函数值，难度一般．30．计算：．【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行逐一计算即可．【解答】解：，＝，＝，＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及实数的运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．31．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AC＝，D为CB延长线上一点，且BD＝2AB．求AD 的长．【分析】先根据∠ABC的正弦值求得BC的长，再根据BD＝2AB，以及勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AC＝，∴，BC＝1．∵D为CB延长线上一点，BD＝2AB，∴BD＝4，CD＝5．∴．【点评】本题考查了解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．32．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度．（取1.414，取1.732）【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，又因为BC＝BD+DC，所以分别求出BD，CD就可以．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝50（m）．在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴（m）．∴BC＝BD+CD＝＝（m）．答：这栋楼约高136.6m．【点评】此题主要考查了仰角俯角问题，以及利用三角函数关系解直角三角形，题目难度不大，是中考中常考题型．33．计算：﹣tan45°+sin245°【分析】分别把cos60°＝sin30°＝，tan45°＝1，sin45°＝代入原式计算即可．【解答】解：﹣tan45°+sin245°＝（4分）＝．（5分）【点评】此题比较简单，解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．。
2020年北京市海淀区初三上册数学期末试题有答案
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1．抛物线212y x 的对称轴是A ．1x B ．1x C ．2x D ．2x 2．在△ABC 中，∠C90°．若AB 3，BC1，则sin A 的值为A ．13B ．22C ．223D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB4，AD 2，DE 1.5，则BC 的长为A ．1 B ．2 C ．3D ．44．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B 的大小为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OAOC 32，∠A α，∠C β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是A ．32OB CDB ．32C ．1232S S D ．1232C C 6．如图，在平面直角坐标系Oy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过A ．点MB ．点NC ．点PD ．点QEB C DADECBAxy–１–２–３–４–５–６123456–１–２–３–４–５12345PQNMAO DOA BC7．如图，反比例函数k yx的图象经过点A （4，1），当1y 时，的取值范围是A ．0x 或4x B ．04x C ．4x D ．4x8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中ACDB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是yx9.687.491.09O CODA B17.12图1图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点DD ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程220xx 的根为．10．已知∠A 为锐角，且tan 3A，那么∠A 的大小是°．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是．（写出一个即可）12．如图，抛物线2y axbx c 的对称轴为1x，点P ，点Q 是抛物线与轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为．xyPx=1Oxy41AOCDA OB13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB 是⊙O 的直径，P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P60°，P A3，则AB 的长为．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则的最小值为．绿黄红停止线交通信号灯0.8mx m3.2m10m20m16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ．求作：∠A ，使得∠A30°．作法：如图，（1）作射线AB ；（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；（3）以C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点D ，作射线AD ．∠DAB 即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：2sin 30°2cos 45°8．18．已知1x 是关于的方程2220xmx m的一个根，求(2)1m m 的值．OCBA PDC BOA19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB 32，AC5，sin 35C，求BC 的长．CB A20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B90°，AB4，BC2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC 为锐角，图2中BAC 为直角，图3中BAC 为钝角）．AB B' C' CAB B'(C')C B C' B' CA在△ABC 的边BC 上取B ，C 两点，使AB BAC CBAC ，则ABC △∽B BA △∽C AC △，AB B BAB，AC C CAC，进而可得22ABAC；（用BB CC BC ，，表示）若AB=4，AC=3，BC=6，则B C．图1图2 图3EB C DA23．如图，函数k yx（0x ）与yax b 的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）．（1）求，a ，b 的值；（2）直线xm 与k yx（0x ）的图象交于点P ，与1yx 的图象交于点Q ，当90PAQ时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EFDE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD 4，DE 5，求DM 的长．DB EC FOA25．如图，在△ABC 中，90ABC，40C°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD ，连接BD ．已知AB2cm ，设BD 为cm ，B D 为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了与y 的几组值，如下表：yxBAOD'B D CA/cm x 00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3/cmy 1.71.31.10.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．xyO12312（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD 的长度的最小值约为__________；若BDBD ，则BD 的长度的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y axax a ．（1）该二次函数图象的对称轴是；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x时，y 的最大值是2，求当14x时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ，，22() Q x y ，，当1+1t x t ，25x 时，均满足12y y ，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q（点Q 可以与点P 重合），且12PA QA，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线3y x b 与轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．xyA–１–２–３12345–１–２–３–４–５–６12345O xyA–１–２–３12345–１–２–３–４–５–６12345O28．在△ABC 中，∠A90°，ABAC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“2QBQA ”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB 2PA ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP30°，求∠PAB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC α，∠BPC β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．PPEDQB CAB CAB CA图1 图2 图3北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）1 2 3 4 5 6 7 8 BACBDCAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．0或210．60 11．1y x（答案不唯一）12．（2，0）13．614．215．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A，A 为锐角，30A .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式= 12222222………………3分= 1222= 12………………5分18．解：∵1x 是关于的方程2220xmxm的一个根，∴2120mm .∴221m m. ………………3分∴2(2)211m mm m .………………5分19．解：作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=∠ADC =90°. ∵AC=5，3sin 5C，CDBA∴sin 3AD AC C .………………2分∴在Rt △ACD 中，224CD ACAD.………………3分∵AB32，∴在Rt △ABD 中，223BD ABAD. ………………4分∴7BCBD CD .………………5分20．解：（1）240t. ………………3分（2）由题意，当5t 时，24048vt.………………5分答：平均每天要卸载48吨.21．证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴2225AC ABBC.∵CE=AC ，∴25CE.∵CD=5，∴AB AC CECD. ………………3分∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴∠BAC=∠DCE. ∴△ABC ∽△CED.………………5分22．BC ，BC ，BC BBCC………………3分116………………5分23．解：（1）∵函数k yx（0x ）的图象经过点B （-2，1），∴12k ，得2k . ………………1分∵函数k yx（0x）的图象还经过点A （-1，n ），∴221n，点A 的坐标为（-1，2）.………………2分EB C DA∵函数y ax b 的图象经过点A 和点B ，∴2,2 1.a b a b 解得1,3.a b………………4分（2）20m 且1m.………………6分24．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD. ∵DE ∥AB ，∴∠ABD=∠BDE. ∴∠CBD=∠BDE. ………………1分∵ED=EF ，∴∠EDF =∠EFD.∵∠EDF +∠EFD +∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF =∠BDE+∠EDF =90°. ∴OD ⊥DF. ………………2分∵OD 是半径，∴DF 是⊙O 的切线.………………3分（2）解：连接DC ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°. ∵∠ABD=∠CBD ，BD=BD ，∴△ABD ≌△CBD. ∴CD=AD=4，AB=BC.∵DE=5，∴223CEDEDC，EF=DE=5.∵∠CBD=∠BDE ，∴BE=DE=5. ∴10BF BE EF ，8BC BE EC .∴AB=8. ………………5分∵DE ∥AB ，∴△ABF ∽△MEF. ∴AB BF MEEF.∴ME=4. ∴1DMDE EM .………………6分MAO BFDEC25．（1）0.9.………………1分（2）如右图所示. ………………3分（3）0.7，………………4分00.9x . ………………6分26．解：（1）2．………………1分（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x ，∴当2x时，y 取到在14x 上的最大值为 2.∴4832a a a.∴2a ，2286y xx . ………………3分∵当12x时，y 随的增大而增大，∴当1x 时，y 取到在12x 上的最小值0.∵当24x时，y 随的增大而减小，∴当4x 时，y 取到在24x上的最小值6.∴当14x时，y 的最小值为6.………………4分（3）4.………………6分27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan2OAM，并在AM 上取点N ，使AM=MN ，并由对称性，将MN 关于轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点 B.作MH ⊥轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM+∠AMH =90°. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴∠OAM =∠HMC. ∴1tantan 2HMC OAM. ∴12MH HC HAMH.yx12123OyxCH N'M'NMAO设MH y ，则2AH y ，12CHy ，∴522AC AH CHy ，解得45y，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM ，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t. ……………3分由对称性，在线段M N 上，点B 的纵坐标t 满足：8455t .……………4分∴点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t或4855t.（3）431b 或143b .………………7分28．解：（1）否.………………1分（2）①作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA=90°，∵∠ABP=30°，∴12PD BP .………………2分∵2PB PA ，∴22PDPA . ∴2sin2PD PABPA.由∠P AB 是锐角，得∠P AB=45°.………………3分另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',',B P P A P P ，则',',','P B AP B A P A BP A BB PB PA PA P. ∵∠ABP=30°，∴'60P BP .∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP . ∵2PB PA ，∴'2P P PA .………………2分DPABCP'BCAP∴222''P P PAP A .∴'90PAP . ∴45PAB.………………3分②45，证明如下：………………4分作AD ⊥AP ，并取AD=AP ，连接DC ，DP. ∴∠DAP=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP, 即∠BAP=∠CAD. ∵AB=AC ，AD=AP ，∴△BAP ≌△CAD. ∴∠1=∠2，PB=CD. ………………5分∵∠DAP=90°，AD=AP ，∴2PD PA ，∠ADP =∠APD=45°. ∵2PBPA ，∴PD=PB=CD. ∴∠DCP=∠DPC. ∵∠APC α，∠BPC β，∴45DPC ，12.∴31802902DPC.∴139045ADP.∴45.………………7分321EDACBP。
北京西城区2020届初三第一学期期末数学试题(Word版含答案)
西城区2020届初三第一学期期末2020.1考 生 须 知1 .本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2 .在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3 .试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4 .在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5 .考试结束时，将本试卷、答题—并交回。
、选择题(本题共 16分，每小题2分)第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个(A) ( ) (B) ( ) (C)()(D)()3 .圆心角是90。
，半径为20的扇形的弧长为(A)(B)(C)4 .如图，在 中，以 为中心，将 顺时针旋转35°得到5 .如图，AB 是的直径，弦于，若/30一，则长为(A) 3 (B) 一 (C)—(D) 26.下列关于抛物线的说法正确的是(A)抛物线的开口方向向下 (B)抛物线与 轴交点的坐标为(，) (C)当时，抛物线的对称轴在 轴右侧(D)对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点1 .如图，四边形 内接于(A) 40° (C) 100°2.在直角坐标系中，将抛物线，若/ ，则/ 的度数是(B) 80° (D)向右平移2个单位长度，向上平移一个单位长度，得到抛物线边 ， 相交于点 ,若/,则/的度数为(A) 60°(B) 65°(C) 72.5 ° (D) 115°(D)7.( -，)，(，)，,, 的大小关系为(A)(C)8.如图，，是的中点，重合)，连接，过作函数关系的图像大致是二二二、填空题(本题共16分，每小题(,)三点都在二次函数的图像上，则(B)(D)是以为圆心，为直径的半圆上的一个动点(点与点可以于点.设，，则下列图像中，能表示与的斗斗叫1 2 , 2rS x flf 3 T 4(A) (B) (C) (D)2分)的图象如图所示，则该函数的最小值是U z第9且图第10110.如图，在中，点，分别在边，条件是_____________________ .11.如图，三个顶点的坐标分别为A(,心，画出一个三角形，使它与的相似比为12.如图，，两点的坐标分别为(，)，.若点恰好落在轴的负半轴上，则旋转角为1 二C S4国第11期图上，添加一个条件使得，添加的一个),B ( , ),0(,),以原点为位似中.(,一)，将线段绕点顺时针旋转得到线段° .13 .在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示.若1米， =10米，？ 1.5米，则这个学校教学楼的高度为 米.14 .我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正 多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14.刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十 四边形，，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为 ，圆内接正六边形的周长，计算 一 ；圆内接正十二边形的周长，计算 一 ；请写出圆内接正二十四边形的周长 ，计算 . （参考数据：， ）15 .在关于 的二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量 与函数 的几组对应值：12 34 5 6 7 8-3.19-3.10 -2.17 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.4816 .如图，矩形 中，，，是边 的中点,点在边 上，设，若以点 为圆心，为半径的 与线段 只有一个公共点，则所有满足条件的 的取值范围是.第12通用第B 第图根据以上信息，关于 的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于三、解答题(本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27题，第28 题，每小题7分)17.计算：^18.已知二次函数(1)写出该二次函数图像的对称轴及顶点坐标，再描点画图；(2)利用图像回答：当取什么值时， ^19.如图，在中，平分/ , 是上一点,且^(1)求证：；(2)若，，求一的值.20.如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接. ..(1)判断的形状，并说明理由；(2)若一，则的面积为.21.某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)(1)如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛;(2)如果全校一共进行 36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22 .如图，AB 是 的直径，切点分别为，.连接 角 点，连接 .(1)求证： -； (2)若 的半径为5,是常数， )，图2记录了与的相关数据(1)求 关于 的函数关系式;是 的两条切线, 于点，交 于，求 的长.23.图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面，斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头 看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为 距离)，水珠与喷头 的水平距离为(单位：米) -.斜坡顶端 与地面的距离 为3米.为了对这个,喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以 (单位：米)(水珠的竖直高度是指水珠与地面的 , 与之间近似满足函数关系(2)斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头的水平距离为2米，通过计算判断从喷出的水珠能否越过这棵树.24.如图，四边形内接于，/ .是对角线，点在的延长线上，且(1)判断与的位置关系，并说明理由;(2)与的延长线交于点，若 , ，求的长.25.下面给出六个函数解析式:小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象性质下面是小明的分析研究过程，请补充完整：(1)观察上面这些函数解析式，它们都有共同的特点，可以表示为形如，其中为自变量；(2)如图，在平面直角坐标系个函数的图像补充完整；(3)对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③ 存在某个函数，当(为正数)时，随的增大而增大，当时，随的增大而小④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；(4)结合函数图象，解决问题：若关于的方程有一个实数根为3,则该方程其它的实数根为26.在平面直角坐标系中，抛物线^(1)若该抛物线与直线交于，两点，点在轴上.求该抛物线的表达式及点的坐标；(2)横坐标为整数的点称为横整点 .①将(1)中的抛物线在，两点之间的部分记作(不含，两点)，直接写出上的横整点的坐标；中，画出了函数的部分图像，用描点法将这与直线 交于，两点，将抛物线在，两点之间两点)，若 上恰有两个横整点，结合函数的图象，求 的取值27 . 是等边三角形，点 在 的延长线上，以 为中心，将线段逆时针旋转 ()得线段，连接，. (1)如图1,若 ，画出当时的图形，并写出此时的值；(2)为线段 的中点，连接 .写出一个 的值，使得对于延长线上任意一点 ，总有-，并说明理由.②抛物线的部分记作 (不含 范围.28.对于给定的,我们给出如下定义:若点是边上的一个定点，且以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，则称这样的圆为边上的点关于的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点关于的最大内半圆.若点是边上的一个动点（不与，重合），则在所有的点关于的最大内半圆中, 将半径最大的内半圆称为关于的内半圆.（1）在中，/ , ,①如图1,点在边上，且，直接写出点关于的最大内半圆的半径长；② 如图2,画出关于的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），点在直线一上运动（不与重合），将OE关于的内半圆半径记为，当- 时，求点的横坐标的取值范围.2020北京西城初三（上）期末数学参考答案选择题（本题共 16分，每小题2分）题号 1 23 4 5 6 7 8 答案C ABBCDBA填空题（本题共 分，每小题分）9 101112 -1答案不唯一， 如：/ AED= / B答案不唯一，如：1203L■ d1 । '2 4113 145 161548Rsin7.5 ° , 3.12 答案不唯一，如：5.924— …x =—或 5 <x< 6.5解答题（本题共 分，第题，每小题分，第题，每小题分，第题, 每小题7分）解：3 tan 30 ° + 4 cos45 ° - 2 sin 60= 3-3 4-2-2-332 2= 2J2 ................................................. 5 分・ ./ BED = / BDE• .Z AEB = Z ADC17. 18. 解：（1）对称轴是直线 x =2,顶点是（2, -1 ）y=x 2— 4x+3的图象，如图.(2)当 1 vxv 3 时，y v 0.19. （1）证明：: AD 平分/ BAC/ BAD = / CAD B 百BD(2)解：△ABK△ACDAE BEAD =C DBE =BD =1, CD = 2 ,AEAD20. ( 1) △ DEF是等腰直角三角形.证明：在正方形ABC珅，DA=DC Z AD(=Z DAB=Z DCB90F落在边BC的延长线上,/ DCF/ DAB90将点E绕点D逆时针旋转得到点F,Rt AADE^ Rt ACDFZADE=ZCDFZ ADC=Z ADEZ EDC=90/CDF+/EDG90 ,即/ EDF=90 △ DE班等腰直角三角形.(2) △ DEF勺面积为8 .21 .解：(1) 6;(2)设如果全校一共进行36场比赛，那么有x支球队参加比赛.依题意，得x(x二9=36 .2解得X1 = 9 , X2 = -8 (不合题意，舍去)答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛. ................ 5分22.证明：(1) ••• PB PC是。
北京市东城区2020年新人教版九年级上期末数学试卷含答案解析
2020-2021学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．若关于的x方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则a的值为( )A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．﹣42．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为( )A．3 B．4 C．5 D．63．下列图形中，是中心对称图形的为( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AC=2，则cosA的值为( )A．B． C．D．26．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为( )A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=57．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则的值为( )A．B．C．D．8．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为( )A．2 B．2C．D．29．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为( )A．70°B．90°C．110°D．1202010．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=12020点O是BC的中点，点D沿B→A→C 方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A．BD B．OD C．AD D．CD二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．请你写出一个一元二次方程，满足条件:①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是__________．12．抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为__________．13．已知，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD=，则⊙O半径的长为__________．14．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=2020则旗杆的高度为__________米．15．如图，已知A(2，2)，B(2，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，则图中阴影部分的面积为__________．16．阅读下面材料:在数学课上，老师提出如下问题:尺规作图，过圆外一点作圆的切线．已知:⊙O和点P求过点P的⊙O的切线小涵的主要作法如下:如图，(1)连结OP，作线段OP的中点A；(2)以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；(3)作直线PB和PC．所以PB和PC就是所求的切线．老师说:“小涵的做法正确的．”请回答:小涵的作图依据是__________．三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)17．计算:4cos45°+tan60°﹣﹣(﹣1)2．18．解方程:x2﹣6x﹣1=0．19．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求CD的长．2020知:抛物线y=x2+(2m﹣1)x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象写出y＜0时，对应的x的取值范围；(3)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长．21．列方程或方程组解应用题:某公司在2020年的盈利额为2020元，预计2020年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？22．如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．(1)画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；(2)请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．23．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么:(1)直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；(2)请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．24．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．(1)求证:DF是⊙O的切线；(2)若sinC=，半径OA=3，求AE的长．25．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们采取的方法是:先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ 的高度，你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路．26．请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理:三角形的内角平分线分队边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知:=证明:过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．∴∠1=∠E，∠2=∠3．﹣﹣﹣﹣①∵AD是角平分线，∴∠1=∠2．∴∠3=∠E．﹣﹣﹣﹣②又∵AD∥CE，∴=﹣﹣﹣﹣③∴=．(1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？(写出两条即可)(2)用三角形内角平分线定理解答，已知，△ABC中，AD是角平分线，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的长；。
2020年北京市海淀初三(上)期末数学备考锐角三角函数试卷及答案含答案
2020北京海淀初三（上）期末数学备考锐角三角函数（教师版）一．选择题（共5小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．D．【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα＝＝，故选：C．【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则sin A的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A进行计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，∴sin A＝，故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接根据三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，∴sin A＝＝．故选：A．【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．即sin A＝∠A的对边：斜边＝a：c．5．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为（）A．B．C．D．【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′＝∠B，把求tan B′的问题，转化为在Rt△BCD中求tan B．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′＝∠B．在Rt△BCD中，tan B＝＝，∴tan B′＝tan B＝．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．二．填空题（共3小题）6．已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的大小为60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：∠A为锐角，且tan A＝，则∠A＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．7．已知∠A为锐角，若sin A＝，则∠A＝45 度．【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠A为锐角，sin45°＝，∴∠A＝45°．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．8．正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tan B＝2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tan B的值为．【分析】（1）由正方形的性质得ED＝EC，∠CED＝90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DE＝2BE，则CE＝BE，所以＝；（2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，则可判断△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得＝＝，则可设DC＝3x，BD＝5x，然后利用正方形性质得DE＝3x，接着利用勾股定理计算出BE＝4x，最后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，∴ED＝EC，∠CED＝90°，在Rt△BDE中，∵tan B＝＝2，∴DE＝2BE，∴＝＝；（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB＝DB′，DC＝DC′，∠BDB′＝∠CDC′，即＝，∴△DBB′∽△DCC′，∴＝＝，设DC＝3x，BD＝5x，∵四边形CEDF为正方形，∴DE＝3x，在Rt△BDE中，BE＝＝＝4x，∴tan B＝＝＝．故答案为，．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长和得到对应角相等．解决（2）的关键是证明△DBB′∽△DCC′得到＝．三．解答题（共42小题）9．计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°＝，即y＝0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6＝1.33x，所以0.33x+5.6＝1.33x，然后解方程求出x即可．【解答】解：设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA＝，即tan18°＝，∴y＝0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB＝，即tan53°＝，∴y+5.6＝1.33x，∴0.33x+5.6＝1.33x，解得x＝5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．11．计算：2sin30°﹣2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式＝2×﹣2×＝1﹣+2＝1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝AC sin C＝3、，再在△ABD中根据AB＝3、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AC＝5，，∴AD＝AC•sin C＝3．∴在Rt△ACD中，．∵AB＝，∴在Rt△ABD中，．∴BC＝BD+CD＝7．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．13．计算：（）2﹣2sin30°﹣（π﹣3）0+|﹣|．【分析】原式利用平方根定义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：原式＝2﹣2×﹣1+＝2﹣1﹣1+＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，∴tanα＝＝＝，∴BD＝米，在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，∴tanβ＝，∴CD＝100米，∴BC＝BD+CD＝米，即这栋楼的高度BC是米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．15．计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【分析】将特殊角的三角函数值带入求解．【解答】解：原式＝+3﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC＝AD+CD＝12，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，正确掌握解直角三角形的方法是解题的关键．17．如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α＝45°，β＝50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）【分析】设EF＝x米，在Rt△FCE中，∠FCE＝∠FEC＝45°，可得出FC＝EF，FD＝x﹣10，在Rt△FBE中利用锐角三角函数的定义即可求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：如图，依题意，可得CD＝AB＝10，FG＝AC＝1.5，∠EFC＝90°，在Rt△EFD中，∵β＝50°，，∴EF＝1.2FD，在Rt△EFC中，∵α＝45°，∴CF＝EF＝1.2FD，∵CD＝CF﹣FD＝10，∴FD＝50，∴EF＝1.2FD＝60，∴EG＝EF+FG＝60+1.5＝61.5答：塔的高度为61.5米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+2＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝；tan∠AOD＝ 5 ；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD＝．【分析】（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF＝，AB＝，由△AOE∽△BOF，可以求出AO＝，在Rt△AOF中，可以求出OF＝，故可求得tan∠AOD．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD．∵AD＝DE＝2，∴AE＝2．∵CD⊥AE，∴DF＝AF＝．∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO．∴CO：DO＝2：3．∴CO＝．∴DO＝．∴OF＝．tan∠AOD＝．（3）如图3所示：根据图形可知：BF＝2，AE＝5．由勾股定理可知：AF＝＝，AB＝＝．∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF．∴AO：OB＝AE：FB＝5：2．∴AO＝．在Rt△AOF中，OF＝＝．∴tan∠AOD＝．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．20．计算：．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项分母有理化，第三项了零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3﹣+1+2＝4+1．【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．计算：．【分析】首先对特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝（4分）＝．（5分）【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．22．已知：在△ABC中，∠B为锐角，，AB＝15，AC＝13，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形ABD可求出BD，AD的长，解直角三角形ACD可求出CD的长．进而求BC的长．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．在△ADB中，∠ADB＝90°，∵sin B＝，AB＝15，∴AD＝AB•sin B＝．由勾股定理，可得＝＝9．在△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝13，AD＝12，由勾股定理，可得．∵AD＜AC＜AB，∴当B、C两点在AD异侧时，可得BC＝BD+CD＝9+5＝14．当B、C两点在AD同侧时，可得BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4．∴BC边的长为14或4．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．23．当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A.B.C.（1）正确的选项是C；（2）如图1，△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC．【分析】（1）利用关系式sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．（2）构造直角三角形，过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D，CE⊥AB于E，根据三角函数知识，可用α表示出AB的长度，再表示出AE和BE的长度，AB＝AE+BE，分别让带有α两式相等即可．（3）要求三角形的面积，必须找到三角形的一边和这条边上的高；过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G 点．根据题意可知CD和AD的长度，和∠ADG的度数，根据上述得出的结论，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根据三角函数关系式即可得出AG的长度，代入S△ADC的面积公式即可．【解答】解：（1）C．2sin（α+30°）＝2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）＝．故答案选C．（2）如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．∵∠B＝30°，∠BAC＝α，AC＝1，∴∠ACD＝α+30°．∴在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝AC•sin∠ACD＝sin（α+30°）．∵在△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝2sin（α+30°）过点C作CE⊥AB于E．∴在△CEA中，∠AEC＝90°，CE＝sinα，AE＝cosα．在△BEC中，∠BEC＝90°，．∴．∴．（3）由上面证明的等式易得．如图，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G．∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，BD＝，∴∠ADG＝75°，AD＝8，．∵sin75°＝sin（45°+30°）＝＝．∴在△ADG中，∠AGD＝90°，．∴S△ADC＝＝＝．【点评】本题考查了三角函数和化积差的函数式，要求学生掌握正余弦、正余切的和化积差和积差化和，熟练应用．24．如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】设CB部分的高度为xm，则BC＝xm，CD＝xm，CE＝2xm，结合CE＝CF＝CD+DF即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设CB部分的高度为xm．∵∠BDC＝∠BCD＝45°，∴BC＝BD＝xm．在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，∴CE＝2BC＝2x（m）．∵CE＝CF＝CD+DF，∴2x＝x+2，解得：x＝2+．∴BC＝2+≈3.4（m）．答：CB部分的高度约为3.4m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及解一元一次方程，通过解直角三角形及CE＝CF＝CD+DF，找出关于x的一元一次方程是解题的关键．25．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）【分析】过点C作CH⊥AB于点H，设CH＝tkm，则BH＝tkm，AH＝tkm，结合AB＝150km，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，将其与50进行比较即可得出结论．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形用CH的长表示出AH，BH的长是解题的关键．26．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE＝90°可得出四边形CDEF为矩形，设DE＝xnmile，则AE＝x（nmile），BE＝x（nmile），由AB＝6nmile，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通过解直角三角形可求出BC的长．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝3+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键．27．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）【分析】作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，根据坡度的定义分别求出DC、CP，设MF＝ym，根据正切的定义用y分别表示出DF、PE，根据题意列方程，解方程得到答案．【解答】解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE，设DC＝3x，∵tanθ＝，∴CP＝4x，由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝5，则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15，设MF＝ym，则ME＝（y+15）m，在Rt△MDF中，tan∠MDF＝，则DF＝＝y，在Rt△MPE中，tan∠MPE＝，则PE＝＝（y+15），∵DH＝DF﹣HF，∴y﹣（y+15）＝20，解得，y＝7.5+10，∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8，答：古塔的高度ME约为39.8m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．29．如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53≈1.3，≈1.7）【分析】（1）作AM⊥CD于M，根据矩形的性质得到CM＝AB＝16，AM＝BC，根据正切的定义求出AM；（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．【解答】解：（1）作AM⊥CD于M，则四边形ABCM为矩形，∴CM＝AB＝16，AM＝BC，在Rt△ACM中，tan∠CAM＝，则AM＝＝＝16（m），答：AB与CD之间的距离16m；（2）在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，则DM＝AM•tan∠DAM≈16×1.7×1.3＝35.36，∴DC＝DM+CM＝35.36+16≈51（m），答：建筑物CD的高度约为51m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．30．如图，在某街道路边有相距10m、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A处测得路灯PQ的顶端仰角为14°，向前行走25m到达B处，在地面测得路灯MN的顶端仰角为24.3°，已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）【分析】设PQ＝MN＝xm，根据正切的定义分别用x表示出AQ、BN，根据题意列式计算即可．【解答】解：设PQ＝MN＝xm，在Rt△APQ中，tan A＝，则AQ＝≈＝4x，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝，则BN＝≈＝x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．31．如图，为解决市民停车难的问题，长春市交警部门在一段街路旁开辟了一个停车场（图中的矩形MNPQ），并划出了若干个停车位，每个车位都是长为5m，宽为2.5m的矩形，已知第一个车位的AD边与停车场边缘MQ成35°角，据此，请你求出这个停车场的宽度MN的值．（结果精确到到0.1m）【参考数据：sin35°＝0.574，cos35°＝0.819，tan35°＝0.700】【分析】由矩形的性质得出∠M＝∠N＝∠BAD＝90°，在Rt△AMD中，由三角函数求出AM＝1.435，由角的互余关系证出∠BAN＝∠ADM＝35°，在Rt△ABN中，由三角函数求出AN＝4.095，即可得出答案．【解答】解：∵四边形MNPQ和四边形ABCD是矩形，∴∠M＝∠N＝∠BAD＝90°，在Rt△AMD中，AD＝2.5，∠ADM＝35°，∴sin∠ADM＝，∴AM＝AD×sin∠ADM＝AD×sin35°＝2.5×0.574＝1.435，∵∠ADM+∠DAM＝∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM＝35°，在Rt△ABN中，AB＝5，∠BAN＝35°，∴cos∠BAN＝，∴AN＝AB×cos∠BAN＝AB×cos35°＝5×0.819＝4.095，∴MN＝AM+AN＝1.435+4.095＝5.53≈5.5（m）；答：这个停车场的宽度MN约为5.5m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形，根据锐角三角函数求出AM和AN的长是解题的关键．32．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【分析】过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．33．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．34．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC ＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC＝DE，DF＝EC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．35．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．【分析】过A作AD⊥BC于点D，求出∠CAD、∠DAB的度数，求出∠BAC和∠ABC，根据等边对等角得出AC＝BC ＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．【解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC，∴CB＝CA＝20，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，sin∠ACD＝，∴sin60°＝，∴AD＝20×sin60°＝20×＝10＞10，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．36．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）【分析】设AB＝x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，∴山高AB为546.4米【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型．37．某校组织学生到恩格贝A和康镇B进行研学活动，澄澄老师在网上查得，A和B分别位于学校D的正北和正东方向，B位于A南偏东37°方向，校车从D出发，沿正北方向前往A地，行驶到15千米的E处时，导航显示，在E处北偏东45°方向有一服务区C，且C位于A，B两地中点处．（1）求E，A两地之间的距离；（2）校车从A地匀速行驶1小时40分钟到达B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？（参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）【分析】（1）作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，则AH＝CH＝（x+15）千米，构建方程即可解决问题．（2）求出BA的长，再求出校车的速度即可判断．【解答】解：（1）如图，作CH⊥AD于H．由题意∠HEC＝45°，可得CH＝EH，设CH＝HE＝x千米，∵点C是AB的中点，CH∥BD，∴AH＝HD＝（x+15）千米，在Rt△ACH中，tan37°＝，∴＝，∴x＝45，∴CH＝45（千米），AH＝60（千米），AD＝120（千米），∴EA＝AD﹣DE＝120﹣15＝105（千米）．（2）在Rt△ACH中，AC＝＝75（千米），。
2020年北京市海淀初三(上)期末数学备考反比例函数试卷及答案含答案
2020北京海淀初三（上）期末数学备考反比例函数（教师版）一．选择题（共8小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．【解答】解：∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OABC的面积S＝|k|＝2，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．2．如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是（）A．x＜0或x＞4 B．0＜x＜4 C．x＜4 D．x＞4【分析】直接根据反比例函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（4，1），∴当y＜1时，x＜0或x＞4．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．3．反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），则下列关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定【分析】根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），∴y1＝﹣3，y2＝，∵﹣3＜，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．4．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：P与V的函数关系式可能是（）C．P＝16V2﹣96V+176 D．P＝【分析】观察表格发现vp＝96，从而确定两个变量之间的关系即可．【解答】解：观察发现：vp＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，故P与V的函数关系式为p＝，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96，难度不大．5．若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．1【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝xy，由此求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值即可．【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，∴3＝ab，∴ab﹣4＝3﹣4＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．6．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由x1＜0＜x2＜x3判断出各点所在的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵函数中，k＝1＞0，∴此函数的图象的两个分支位于一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）、C（x3，y3）在第一象限，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【分析】设点A的坐标为（﹣，a），根据点B的坐标为（4，0），△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．【解答】解：设点A的坐标为（﹣，a），∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，∴S△AOB＝4×|a|＝6，解得：a＝±3，∴点A的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣，y2＝﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，∴y1＝﹣，y2＝﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．二．填空题（共5小题）9．已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式y＝﹣，答案不唯一．【分析】先根据题意判断出k的符号，再写出符合条件的解析式即可．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，∴函数图象的分支在二四象限，则k＜0．故答案为：y＝﹣，答案不唯一．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k的符号．10．若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是y＝（答案不唯一）．．（写出一个即可）【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，则反比例函数的反比例系数k ＞0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y＝，答案不唯一．故答案为：y＝（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．11．写出一个图象在二、四象限的反比例函数y＝﹣．【分析】设反比例函数的解析式为y＝，由于图象在二、四象限故k＜0，任取一个小于0的数即可得出符合条件的反比例函数解析式．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵图象在二、四象限，∴k＜0，∴k可以为﹣1，∴答案为：y＝﹣．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．12．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y＝﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y＝﹣，故答案为：y＝﹣．【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．13．如图，正比例函数y＝mx（m≠0）与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】由题意，点A的坐标适合正反比例函数的解析式，把点A的坐标（1，2）代入y＝mx（m≠0）与y＝，分别求出m、n的值为2、2．即正比例函数y＝2x①与反比例函数y＝②，利用①②组成的方程组可得：2x＝，得x＝±1，故点B的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2．【解答】解：把点A的坐标为（1，2）代入y＝mx与y＝，得m＝2，n＝2．即y＝2x①，y＝②，解之得：x＝±1，将x＝﹣1代入①得y＝﹣2，∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．方法二：∵A、B关于原点对称，A（1，2），∴B（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】本题可将问题转化为方程来求解．图象经过点，则点适合方程．三．解答题（共37小题）14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B（b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．【分析】（1）由直线解析式求得A（2，1），然后代入双曲线y＝中，即可求得k的值；（2）①根据系数k的几何意义即可求得n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分两种情况讨论求得即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a），∴a＝×2＝1，∴A（2，1），∴k＝2×1＝2；（2）①若m＝1，则P（1，n），∵点P（1，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，∴n＝k＝2，∴P（1，2），∵A（2，1），则直线PA的解析式为y＝﹣x+3，∵直线PA与x轴交于点B（b，0），∴0＝﹣b+3，∴b＝3；②如图1，当P在第一象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时2，代入y＝求得x＝1，∴P（1，2），由①可知，此时b＝3；如图2，当P在第，三象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时﹣2，代入y＝求得x＝﹣1，∴P（﹣1，﹣2），∵A（2，1）则直线PA的解析式为y＝x﹣1，∴b＝1，综上，b的值为3或1．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．15．如图，函数y＝（x＜0）与y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，n）和点B（﹣2，1）．（1）求k，a，b的值；（2）直线y＝mx与y＝（x＜0）的图象交于点P，与y＝﹣x+1的图象交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）∵函数（x＜0）的图象经过点B（﹣2，1），∴，得k＝﹣2．∵函数（x＜0）的图象还经过点A（﹣1，n），∴，点A的坐标为（﹣1，2），∵函数y＝ax+b的图象经过点A和点B，∴解得，∴k＝﹣2，a＝1，b＝3．（2）如图直线y＝﹣x+1经过点A，直线y＝﹣x+1与直线AB垂直，当直线经过点B时，m＝﹣，当直线经过点A时，m＝﹣2，观察图象可知当m＜﹣2或﹣＜m＜0时，∠PAQ＞90°，当m＝﹣1时，直线y＝mx与直线y＝﹣x+1平行，观察图象可知m＜﹣1且m≠﹣2时，∠PAQ″＞90°，综上所述，满足条件的m的值为﹣＜m＜0或m＜﹣1且m≠﹣2．【点评】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果R≥3.6 ．【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（9，4），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】20．（1）解：设反比例函数的表达式为I＝，由图象可知函数I＝的图象经过点（9，4），∴U＝4×9＝36．∴反比例函数的表达式为I＝（R＞0）．（2）∵I≤10，I＝，∴I＝≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．17．如图，直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝只有一个公共点A（1，﹣2）．（1）求k与a的值；（2）若直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝有两个公共点，请直接写出b的取值范围．【分析】（1）把点A坐标分别代入直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝求出k和a的值即可；（2）根据根的判别式即可得出结果．【解答】解：（1）∵直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝只有一个公共点A（1，﹣2）．∴，解得：a＝2，k＝﹣2；（2）若直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝有两个公共点，则方程组有两个不同的解，∴2x+b＝﹣有两个不相等的解，整理得：2x2+bx+2＝0，∴△＝b2﹣16＞0，解得：b＜﹣4，或b＞4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，一元二次方程根的判别式；知道反比例函数的图象与直线y＝kx+4（k≠0）有两个公共点时，△＞0是解决问题（2）的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝与直线y＝kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y＝kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y＝上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y＝kx﹣2于点D．若DC＝2OB，直接写出点P的坐标为P（，2）或（﹣，﹣6）．【分析】（1）把A的坐标分别代入双曲线y＝与直线y＝kx﹣2，根据待定系数法即可求得；（2）根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，得出CF＝2OF，即可求得直线CD与y轴的交点坐标，从而求得P的纵坐标，代入（1）求得的解析式即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣2过点A（3，1），∴1＝3k﹣2．∴k＝1．∴直线的解析式为y＝x﹣2．∵双曲线y＝过点A（3，1），∴m＝3．∴双曲线的解析式为．（2）∵PC∥x轴，DC＝2OB，∴＝＝，∴CF＝2OF，由直线y＝x﹣2可知F（0，﹣2），∴OF＝2，∴CF＝4，∴C的坐标为（0，2）或（0，﹣6），∴P的纵坐标为2或﹣6，代入y＝得，2＝，解得x＝，﹣6＝，解得x＝﹣，∴P（，2）或（﹣，﹣6）．故答案为P（，2）或（﹣，﹣6）．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，一次和图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理的应用，求得直线CD与y轴的交点坐标是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．【解答】解：（1）把x＝2代入y＝2x中，得y＝2×2＝4，∴点A坐标为（2，4），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵AC⊥OC，∴OC＝2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣4），∴B到OC的距离为4，∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×4＝8，∴S△OPC＝8，设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，∴×||×2＝8，解得x＝1或﹣1，∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y＝的图象与二次函数y＝a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y＝（x﹣1）2得到n＝m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y＝x与反比例函数y＝交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n），∴k＝mn＝1×4＝4，即代数式mn的值为4；（2）∵二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B，∴n＝（m﹣1）2＝m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n＝m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n＝mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n＝4n+2×4﹣4n＝8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y＝x与反比例函数y＝交点分别为C、D，解，得：或，∴点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1，当抛物线y＝a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2＝2，解得：a＝2．∵|a|越大，抛物线y＝a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2，当抛物线y＝a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2＝﹣2，解得：a＝﹣．∵|a|越大，抛物线y＝a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣3），与y轴交于点B．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）若∠ABO＝135°，试确定二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，将二次函数y＝ax2+bx+c的图象先沿x轴翻折，再向右平移到与反比例函数的图象交于点P（x0，6）．当x0≤x≤3时，求平移后的二次函数y的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，然后解方程求出a的值，代入反比例函数解析式整理即可；（2）过点A作AC⊥y轴于C，根据∠ABO＝135°求出∠ABC＝45°，再根据等角对等边的性质得到BC＝AC＝1，然后求出OB的长度，从而可得点B的坐标，再把点A的坐标代入二次函数解析式求出b的值，从而得到二次函数的解析式；（3）先求出翻折平移后的二次函数解析式，再把点P的坐标代入反比例函数解析式求出点P的坐标，然后把点P的坐标代入并求出二次函数解析式，然后根据二次函数图象的增减性分段求出y的取值范围，从而得解．【解答】解：（1）∵A（a，﹣3）在y＝的图象上，∴＝﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）过A作AC⊥y轴于C．∵A（﹣1，﹣3），∴AC＝1，OC＝3，∵∠ABO＝135°∴∠ABC＝45°，可得BC＝AC＝1，∴OB＝2，∴B（0，﹣2），由抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于B，得c＝﹣2．∵a＝﹣1，∴y＝﹣x2+bx﹣2，∵抛物线过A（﹣1，﹣3），∴﹣1﹣b﹣2＝﹣3，∴b＝0，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2；（3）将y＝﹣x2﹣2的图象沿x轴翻折，得到二次函数解析式为y＝x2+2，设将y＝x2+2的图象向右平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣m）2+2（m＞0），∵点P（x0，6）在函数y＝上，∴6＝，解得x0＝，∴y＝（x﹣m）2+2的图象过点P（，6），∴（﹣m）2+2＝6，解得m1＝，m2＝﹣，（不合题意，舍去），∴平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣）2+2，∵a＝1＞0，∴①当≤x≤时，2≤y≤6，②当＜x≤3时，2＜y≤，∴当≤x≤3时，2≤y≤6，∴平移后的二次函数y的取值范围为 2≤y≤6．【点评】本题是对反比例函数的综合考查，主要有待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，函数图象的平移，以及二次函数图象的增减性，综合性较强，难度较大，特别是第（3）小题，求出点P的坐标是解题的关键．22．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y＝x，可知直线l与OA平行，①将b＝﹣1时代入可得：直线解析式为y＝x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）①当n＝1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，∴m＝3﹣2＝1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y＝，∴k＝3×1＝3，（2）①当n＝1时，P（1，1），令y＝1，代入y＝x﹣2，x﹣2＝1，∴x＝3，∴M（3，1），∴PM＝2，令x＝1代入y＝，∴y＝3，∴N（1，3），∴PN＝2∴PM＝PN，②P（n，n），n＞0点P在直线y＝x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，M（n+2，n），∴PM＝2，∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN＝|﹣n|，||≥2∴0＜n≤1或n≥3【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．【分析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；（2）作PC⊥x轴于点C，设点A的坐标为（a，0），则AO＝﹣a，AC＝2﹣a，根据PA＝2AB得到AB：AP＝AO：AC＝1：2，求得a值后代入求得k值即可．【解答】解：∵y＝经过P（2，m），∴2m＝8，解得：m＝4；（2）点P（2，4）在y＝kx+b上，∴4＝2k+b，∴b＝4﹣2k，∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（2﹣，0），B（0，4﹣2k），如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，∵PA＝2AB，∴AB＝PB，则OA＝OC，∴﹣2＝2，解得k＝1；当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，＝，解得，k＝3．∴k＝1或k＝3【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出A的坐标，然后利用线段之间的倍数关系确定k的值，难度不大．25．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y＝kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．【分析】（1）将A点坐标代入y＝（x＞0），求出m的值为2，再将（2，2）代入y＝kx﹣k，求出k的值，即可得到一次函数的解析式；（2）将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y＝（x＞0）得，m＝2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y＝kx﹣k得，2k﹣k＝2，解得k＝2，则一次函数解析式为y＝2x﹣2；（2）∵一次函数y＝2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，﹣2），S△ABP＝S△ACP+S△BPC，∴×2CP+×2CP＝4，解得CP＝2，则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出函数解析式并熟悉点的坐标与图形的关系是解题的关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；（2）PA＝OA，则P在以A为圆心，以OA为半径的圆上或P在以O点为圆心，以OA为半径的圆上，圆与坐标轴的交点就是P．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣2x的图象上．∴n＝﹣2×（﹣1）＝2∴点A的坐标为（﹣1，2）∵点A在反比例函数的图象上．∴k＝﹣2∴反比例函数的解析式是y＝﹣．（2）方法一：∵A（﹣1，2），∴OA＝＝，∵点P在坐标轴上，∴当点P在x轴上时设P（x，0），∵PA＝OA，∴＝，解得x＝﹣2；当点P在y轴上时，设P（0，y），∴＝，解得y＝4；当点P在坐标原点，则P（0，0）．∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．方法二：过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，如图，①当P在原点时，满足PA＝OA，则P点（0，0）；②当P在x轴上时，∵PA＝OA，AB⊥OP，A点坐标为（﹣1，2）∴OB＝1，OP＝2OB＝2，∴P（﹣2，0），③当P在y轴上时，∵PA＝OA，AC⊥OC，A点坐标为（﹣1，2）∴OC＝2，OP＝2OC＝4，∴P（0，4），∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．27．已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．【分析】（1）由于反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB＝30°，OB＝OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m，m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2n+9的值．【解答】解：（1）由题意得1＝，解得k＝﹣，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC＝，AC＝1，∴OA＝＝2，∠AOC＝30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD＝OB•sin∠BOD＝，OD＝OB＝1，∴B点坐标为（﹣1，），将x＝﹣1代入y＝﹣中，得y＝，∴点B（﹣1，）在反比例函数y＝﹣的图象上．（3）由y＝﹣得xy＝﹣，∵点P（m，m+6）在反比例函数y＝﹣的图象上，其中m＜0，∴m（m+6）＝﹣，∴m2+2m+1＝0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM＝，∵m＜0，∴mn＝﹣1，∴m2n2+2mn2+n2＝0，∴n2﹣2n＝﹣1，∴n2﹣2n+9＝8．【点评】本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn＝﹣1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便．28．如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．【分析】（1）将A点或B点的坐标代入y＝求出m，再将这两点的坐标代入y＝kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式；（2）画出网格图帮助解答．【解答】解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），可得m＝6．设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y＝kx+b的图象上，∴，解得．∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想．29．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，2），B（3，n），在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，连接AO并延长与图象的另一支有另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点D（1，0），过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值，并求直线l对应的函数解析式；（2）求点E的坐标；（3）过点B作射线BN∥x轴，与AE的交于点M（补全图形），求证：tan∠ABN＝tan∠CBN．。
[试卷合集5套]北京市2020年九年级上学期期末监测数学试题
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【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识点，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角及同弧所对圆周角相等．
3．已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
0
3
4
故选C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．关于 的一元二次方程 的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
【答案】A
【分析】根据根的判别式即可求解判断.
【详解】∵△=b2-4ac=m2+4＞0，故方程有两个不相等的实数根，
∴△BEH≌△DEC
∴∠BHE＝∠C，BH＝CD
∵▱ABCD中
∴∠C＝∠A，AB＝CD
∴∠A＝∠BHE，AB＝BH
∴正确的有①②③
对于④无法证明．
故选：B．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．
∴tan∠ADC= .
故答案为： .
点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.
2020.1北京市东城区初三年级第一学期期末-数学试题答案(图片版)
东城区2019-2020学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2020.1题号 1 2 3 4 5 6 7 8答秦 B A C A B B D C二填空題共分.每小題分）9j = -x:+2 (答案不道一) 10.0.9212-必>”>必13. 45三.解答题（本18共68分，第17-20 S.每小題5分.第21S84分.第22-26 每小题6分.第27. 28題毎小題7分）17 V（i <1）如阳所示.ZADE为所作・• AE AD•莎■丽AC-6.•・・4上7・18・解:逵接OC；则"PC.•••zS0Z4(O3O° ・A ZfVW-603 .(2> •；ZADE・".14 PC=1 或PAM或PO=2 16 2>V14：（）H丄・（7尸2、/T・11••••・2分H:.CH ^3.•— ... .... ・・-・3分(2)90 ............... V 分22.ft£： (1) EC-4 .点矢・5),孤芥C码.V反比例厨難仏>0)D的倉丝过点B・••此反比例函取的鮮析式力—£(少0)・(2MMBC向卜半感旧彳单包ifc废・tftA・C的坊辰戌分剔力A・C9VA\ C*两戌F时禧盘反比例團戏国倉上,.... &分22•徑(1)$绘童虽丁与悄官羊价*之口1"谒血关:揚式力尸-圧“・•••函歎的養斥式为,尸・・2“160 •…............................. 2分<2) SSQfS -(K-3DX-2x160)--3Cx-55)24.1250 ......................... 4分-2<0 . 1 3D慈EW00..^r-55Jl.抄舰钙罠大甲.此时V-1250. -------- --- --- -- --- 6分.••也客靛价宦力巧Toll・论电店61关获邑茁料梢輕7：・R^JZflS 1250 7E 27.解|仃〉依SSfii0O< F因所示在氐2CB中.将点(30JCO). 25.70)代入.得flDO = 30fc+ i］丁0・仍上"解得fA- = -2(i-1603分・•・肪二百T氏为套陆・•・"DgZBDGW•・•"二么ZQC二"切.・・•• AC AD•・—二-■・・.AB AC<2)当点m爰*C釣中卢叭切与国形电0®宥旦只有一个史点.通明,5® 023・••・£)£ /? R12DC扁劝上的卬復：• £D-S(J»・•. Z£2»Z5CDVGC B OD.••・ ZQCCMOCQ..•-乙EDO=ZEDCPODC*ECD・ :.ED LCD.••・切£OO相切・••克线ED与刃形GO切有且只有一C文点 ............ ....... .. 6分25.件（1）AF, BC・ OD it BC f AF. ODi (3)........................................................ 井Q）如图L J*国2所示& .................... 5井B(3)线段HP的长度約为4・67・................. 6分2& 解a (1)令尸0・ Jfl ox^-kwO.解得^=0.^=4.••• -4(0.0). 〃(4.0)・ 2 5)⑵①议宜线PC的解析式为丿・kx《b.6将Kl,去,C(2,1)代入上式，解得* = 1+丄0上=-1亠・2•••严(1弓JxT・3a・•••点0在厲线叱匕点的横坐标为4..................②为a>0时.CllRI 1.不合誉童：鬥avo 时.由RiZ ffl anjta. 3FaH0・1.②if明：如图2.任佃上敝取AF^CE.27.2分连接DF・•・•上必045° .CD丄AB.是專腹白角二角形.:.Af）=CD.乂Z BAE* BCD.:.UDP^ZDE（&fS）・:・DF=DE、厶D片ZCDE•・TP丄《0.:• ZADi ZFDC3 ・:.ZCDE^ /FIX^ZU* 90° ・ZEDF足等腰H角三角形.:・EF V2D£.•: AF*EF・A£ACE*V?DE-AE・................... 5 分（3）依SCIb全图形.如图3所示・线段AE・CE. DE的数磺关系：a-V2DE=AE. “78 W：（1）① P・ P.・②半径为I的OO 卜绕点任以O为岡心.半能分别为I和2的两个岡之间〈知下謝囲影部分所示.含大匆，不含小岡〉.i）勺点〃在yWiiET Wlh时.如用丨・图2所示.考澎以下两种特殊愴况；线民川Pj半袴为2的OC相切时.0H = 2需：当点〃M过Y轻为［的0O时・0B - 1・因为线上“任©O的环绕点・所以训得b的収值住服为I V b M 2V5：同理町得b的取（tl/aiM为一2翕S 〃 V」・综上.b的取值范国为1 <62 2語或・2后S b < -1・......................... 5分<3） - 2 < f < 4. ................ 7 分。
北京市西城区2020 年新人教版九年级上期末数学试卷含答案解析
2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20200．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是(写出一个即可)13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解:∵y=(x﹣1)2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解:A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．【考点】解直角三角形．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解:∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解:∵y=﹣3x2的顶点坐标为(0，0)，y=﹣3(x﹣1)2﹣2的顶点坐标为(1，﹣2)，∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2．故选D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解:∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2，0)，D(5，0)，∴=，∵A(1，2)，∴C(，5)．故选:B．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°【考点】圆周角定理．【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解:设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+(r﹣1)2，r=，故选D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm【考点】弧长的计算．【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．【解答】解:图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2020考点】平行投影．【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解:AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解:根据图象得:a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选:B．二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(﹣2)2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是EF∥BC(写出一个即可)【考点】相似三角形的判定．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解:当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为3．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论．【解答】解:∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为:3．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．【考点】二次函数与不等式(组)．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解:∵两函数图象交于点A(0，4)，B(3，1)，∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为:0≤x≤3．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=50°．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解:解:∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′A C，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】(1)直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；(2)利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】(1)如图所示，点O即为所求作的圆心；(2)作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解:原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象．【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；(2)利用描点法画出二次函数图象；(3)利用二次函数的性质求解．【解答】解:(1)y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=(x+2)2﹣1；(2)列表:x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，(3)当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算即可解决问题．【解答】(1)证明:∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解:由(1)△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30﹣2x)cm，宽为(2020x)cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．【解答】解:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得(30﹣2x)(2020x)=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答:剪掉的正方形的边长为4cm．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【考点】二次函数的应用．【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．(1)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解:(1)本题答案不唯一，如:以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x﹣4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，(﹣4≤x≤4)．(2)当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】(1)连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；(2)根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】(1)证明:连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；(2)解:在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解:(1)测量工具有:简单测角仪，测量尺；(2)设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下:①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；(3)设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】(1)由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；(2)连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt △AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】(1)证明:∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；(2)连接AO，BO，如图，由(1)可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整a，b，c满足的条件方程两根的情况对应的二次函数的大致图象方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；(2)根据题意得出关于m 的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解:(1)补全表格如下:方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根故答案为:方程有一个负实根，一个正实根，，；(2)解:设一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0对应的二次函数为:y=x 2﹣(2m +3)x ﹣4m ，∵一元二次方程mx 2+(2m ﹣3)x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根， 且负实根大于﹣1， ∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；(3)根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解:(1)抛物线y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点A(﹣5，0)，点B(﹣1，0)．∴抛物线的表达式为y=﹣(x+5)( x+1)∴y=﹣x2﹣6x﹣5．(2)如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为:y=﹣x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x正半轴交于点C(b，0)．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标(，﹣+)，∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标(1，1)．(3)如图2，当m=4时，抛物线表达式为:y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M(x1，y1)和N(x2，y2)在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】(1)利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；(2)构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；(3)借助(2)的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解:(1)证明:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．(2)答:CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明:连接EM，DN，如图．与(1)同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．(3)点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由(2)知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即:EN的最大值为，最小值为．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．。
2020年北京市密云初三(上)期末数学含答案
2020北京密云初三（上）期末数 学 2020．1下面各题均有四个选项，其中只有一个．．选项是符合题意的.1．已知，则 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（0, -2） B ．（-2, 0） C ．（0, 2） D ．（2, 0）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若 ，则∠B 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法错误的是．．．．（ ）． A ．当a < 5时，点B 在⊙A 内B ．当1< a < 5时，点B 在⊙A 内C ．当a < 1时，点B 在⊙A 外D ．当a > 5时，点B 在⊙A 外4．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）A ．点OB ．点PC ．点MD ．点N6．已知反比例函数的表达式为 ，它的图象在各自象限内具有 y 随x 的增大而增大的特点，则k 的取值范围是（ ）．A ．B ．C ．D ． 7．如图，在⊙O 中，弦BC // OA ，AC 与OB 相交于点M ，∠C=20°，则∠MBC 的度数为（ ）．A ．30°B ．40°34x y =x y y +477437732y k x=+22y x =−sin 12A =2k <−2k ≤−2k >−2k ≥−C ．50°D ．60°8．如图，矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的，AC 与DE 、EF 、FG 、HG 、HB 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设△EPQ 、△GKM 、△BNC 的面积依次为S 1、S 2、S 3．若S 1+S 3=30，则S 2的值为（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．12 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 如图，直线a // b // c ，点B 是线段AC 的中点，若DE =2，则DF 的长度为 ．10．若边长为2的正方形内接于⊙O ，则⊙O 的半径是 ． 11．在二次函数中，y 与x 的部分对应值如下表：的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值是 ．13．如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米．当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高米．14．如图，反比例函数 的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标 ．15．如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD A 为圆心，AD 的长为半径做弧交BC 边于点E ，则图中DE 的弧长是 .k y x=2(0)y ax bx c a =++≠FE D CB A cb a16．已知：∠BAC ．（1）如图，在平面内任取一点O ；（2）以点O 为圆心，OA 为半径作圆，交射线AB 于点D ，交射线AC 于点E ； （3）连接DE ，过点O 作线段DE 的垂线交⊙O 于点P ； （4）连接AP ，DP 和PE ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：① △ADE 是⊙O 的内接三角形； ② AD=DP=PE ； ③ DE=2PE ； ④ AP 平分∠BAC ． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共68分，其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）17．计算：．18．已知：在△ABC 中，点D 、点E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ，BE 平分∠ABC ． （1）求证：BD=DE ；（2）若AB=10，AD=4，求BC 的长．19．已知二次函数y = x 2-4x + 3．（1）用配方法将y = x 2-4x + 3化成y = a (x - h )2+ k 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图象．（3）结合函数图象，直接写出y ＜0时自变量x101()4522−−︒+）20． 已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点E ，AD=CB ．求证：AE=CE ．21．已知：在△ABC 中，AB=AC ，AD BC 于点D ，分别过点A 和点C 作BC 、AD 边的平行线交于点E ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）连结BE ，若，ADBE 的长．22．某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．23．在平面直角坐标系中，直线 y = x 与反比例函数 的图象交于点A （2，m ）. （1）求m 和k 的值；（2）点P （x P ，y P ）是函数 图象上的任意一点，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x 于点B . ① 当y P = 4时，求线段BP 的长；② 当3BP ≥时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标y P 的取值范围．(0)ky x x=>(0)ky x x=>⊥1cos 2ABD ∠=DB24．已知：如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点，过点B 作CD 的平行线交弦AD 的延长线于点F .（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）连结BC ，若⊙O 的半径为2，tan ∠BCD= ，求线段AD 的长．25．如图，点E 是矩形ABCD 对角线AC 上的一个动点（点E 可以与点A 和点C 重合），连接BE ．已知AB =3cm ，BC =4cm ．设A 、E 两点间的距离为xcm ，BE 的长度为ycm ．某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：．．．．．．（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE =2AE 时，AE 的长度约为 cm ． （结果．．保留．．一．位．小数．．）4326. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2258y ax ax a =−++(0a ≠)． （1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a 的代数式表示)；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，且点A 在点B 的左侧，AB =4． ① 求a 的值；② 记二次函数图象在点 A ，B 之间的部分为W (含 点A 和点B )，若直线 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1），且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．27. 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为BC 边中点．点M 为线段B C 上的一个动点（不与点C ，点D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ，连接EC ．（1）如图1，若点M 在线段BD 上．① 依据题意补全图1；② 求∠MCE 的度数．（2）如图2，若点M 在线段CD 上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC 、CE 、CM 之间的数量关系 ．图1图228．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足1322r d r≤≤，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（32−，2），D（12，12−）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．备用图2020北京密云初三（上）期末数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）9．4； 10．； 11．= ； 12．； 13．8；14．满足的第三象限点均可，如（-1，-2） ； 15．π； 16．①④．三、解答题（本题共68分．第17～22题，每题各5分；第23～26题，每题各6分；第27、28题，每题各7分）说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分．17，原式＝ ………………………………4分=5-1+1=5 ………………………………5分 18．（1）证明： ∵DE // BC ，∴∠DEB=∠EBC ………………………1分 ∵ BE 平分∠ABC∴∠DBE=∠EBC ………………………2分 ∴∠DEB=∠DBE∴BD=DE ………………………3分(2) 解：∵AB=10，AD=4∴BD=DE=6 ∵DE // BC∴△ADE ∽△ABC ………………………4分∴122y x =43212+−+ADABDE BC =∴∴BC=15 ………………………5分19．(1)………………………………2分（2）………………………………3分（3） 1 < x < 3 ………………………………5分 证明：连接AC ………………………………1分∵AD=CB∴AD=CB ………………………………2分 ∴∠ACD=∠CAB ………………………………4分 ∴ AE=CE ………………………………5分21．(1)证明：∵AE // BC ，CE // AD∴ 四边形ADCE 是平行四边形 …………………………1分∵AD BC ， ∴∠ADC=90°，∴ 平行四边形ADCE 是矩形 … ……………………………2分（2）解：在Rt △ABD 中，∠ADB =90° ∵ ∴∴设BD=x ，AB=2x ∴∵AD∴x=2∴BD=2 (4)分 ∵AB=AC ，ADBC ∴BC=2BD=4∵矩形ADCE 中，EC=AD=∴BE= ……………………………5分4106BC =2(2)1y x =−−12BDAB=⊥1cos 2ABD ∠=⊥22．解：设y=ax 2+4 (0a ≠) ………………………………2分∵ 图象经过（-2,2.4） ∴ 4a +4=2.4a = -0.4 ………………………………4分∴ 表达式为y = -0.4x 2+4 ………………………………5分23．（1）解：m =2，k =4 ………………………………2分 （2）①解：当y P = 4时点P 和点B 的纵坐标都为4∴ 将y =4分别代入到和y=x ，∴P （1,4），B （4,4）∴BP =3 ………………………………4分② y P ≥4或0<y P ≤1 ………………………………6分 24．（1）证明：∵ ⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且E 为CD 中点∴ AB CD , ∠AED =90° ………………………………1分 ∵ CD // BF∴ ∠ABF =∠AED =90°∴ ABBF ………………………………2分 ∵ AB 是⊙O 的直径∴ BF 是⊙O 的切线 ………………………………3分（2）解：连接BD∴∠BCD =∠BAD ………………………………4分∵ AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°∵ tan ∠BCD= tan ∠BAD=∴∴设BD =3x ，AD =4x∴AB =5x ………………………………5分4y x =34BD AD =⊥43⊥∵ ⊙O 的半径为2，AB =4∴5x =4，x =∴AD =4x = ………………………………6分25. 解：（1）2.5； ………………………………2分（2）画图象………………………………5分（3）1.2（1.1—1.3均可） ………………………………6分26. （1）4a +8 ………………………………1分（2）①解：∵抛物线的对称轴是x =1又∵ 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，AB =4∴ 点A 和点B 各距离对称轴2个单位∵ 点A 在点B 的左侧∴A （-1,0），B （3，0） ………………………………3分∴将B （3，0）代入2258y ax ax a =−++∴9a-6a +5a+8=0 a=-1 ………………………………4分②当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和A （-1,0）时，当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和B （3，0）时，4516510k b k b +=−⎧⎨−+=⎩12b =−130k b k b +=−⎧⎨+=⎩32b =−∴………………………………6分 27 . (1) ① 补全图1：………………………………2分 ② 解：过点M 作BC 边的垂线交CA 延长线于点F∴ ∠FMC =90°∴∠FMA+∠AMC=90°∵将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME∴∠AME=90°∴ ∠CME+∠AMC=90° ∴∠FMA= ∠3分 在Rt △FMC 中,∠FCM=45°∴∠F=∠FCM=45° ∴FM=MC ………………………………4分 在△FMA 和△CME 中∴∴ ∠MCE=∠F=45°……………5分 （2）AC CE −=……………7分28．(1) A,C ………………………………2分（2）∵点E （4，3）是⊙O 的“随心点”∴OE =5，即d =51322b b ≥−≤−或FM MC FMA CMEAM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FAM CME ∆≅∆若， ∴r =10 ………………………………3分若 ，………………………………4分 ∴ ………………………………5分(3) ………………7分 125r =352r =103r =10310r ≤≤11b b −≤≤−≤≤或。
2020年北京市顺义初三(上)期末数学含答案
2020北京顺义初三（上）期末数 学第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．2019年6月5日12时06分，长征十一号运载火箭在我国黄海海域成功实施首次海上发射，以“一箭七星”方式，将七颗卫星送入约600 000米高度的圆轨道，填补了我国运载火箭海上发射空白．将600 000用科学记数法表示应为（A ）60.610´（B ）6610´（C ）5610´（D ）360010´2．下列多边形中，内角和是外角和的2倍的是（A ）六边形（B ）五边形（C ）四边形 （D ）三角形3．如图，AD 、BC 相交于点O ，由下列条件不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（A ）AB ∥CD （B ）A D ∠=∠ （C ）OA OB ODOC=（D ）OA AB ODCD=4．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（A ）将221y x =−+的图象向下平移3个单位得到222y x =−−的图象 （B ）将22(1)y x =−−的图象向左平移3个单位得到22(2)y x =−+的图象（C ）将22y x =−的图象沿x 轴翻折得到22y x =的图象（D ）将22(1)1y x =−−+的图象沿y 轴翻折得到22(1)1y x =−+−的图象 5．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则sin A +cos B 的值为（A ）14（B（C ）12+ （D ）4A BCDODABC6．已知直线 l 及直线 l 外一点 P ． 如图，（1）在直线 l 上取一点 O ，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A ，B 两点；（2）连接 PA ，以点 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q ； （3）作直线 PQ ，连接BP ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）AP BQ =（B ）PQ ∥AB（C ）ABP PBQ ∠=∠ （D ）180APQ ABQ ∠+∠=︒ 7．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）： ①△ABC ，②△ADE ，③△AEF ，④△AFH ，⑤△AHG ，在②至⑤中，与①相似的三角形是 （A ）②④ （B ）②⑤ （C ）③ ④ （D ）④⑤8．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =−，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=；③9a -3b +c=0；④若，则1x m =−时的函数值小于1x n =−时的函数值．其中正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②④ （C ）②③ （D ）③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式26mm +有意义，则m 的取值范围是 ．10．若一个反比例函数图象的每个分支上，都有y 随x 的增大而减小，则此反比例函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 11．如图，⊙O 的直径AB=10，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE=2，则CD 的长为 ．11题图 12题图0m n >>⑤④③②①GHFE DCBA12．如图，分别以线段BD 的端点B 、D 为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于A 、C 两点，连接AB 、AD 、CB 、CD ．若AB ＝2，BD =，则四边形ABCD 的面积为 ．13．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2m ，镜子与建筑物的距离是20m. 他的眼睛距地面1.5m ，那么该建筑物的高是 ．16．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是 步？”三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：2sin 301cos 45︒−︒18．解不等式组：24094(1)1x x +>⎧⎨−−>⎩19．先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +----+ ， 其中3x =-．ADCBE20．如图，矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的一点，且2AB AE DE =g ．求证：BE ⊥CE ．21．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东45°方向上的B 处．（1）问B 处距离灯塔P 有多远？（结果精确到0.1海里） （2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB 上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B 处是否有触礁的危险？如果海伦从B 处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由.1.732≈≈）22．如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC=2，D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合)，在AC 边上取一点E ，使∠ADE =45°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ； （2）设BD=x ，AE=y ．①求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； ②求y 的最小值．23．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°．BE 平分∠ABC 交AC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC的延长线于点F ．请补全图形后完成下面的问题： （1）求证：EF 是△ABC 外接圆的切线；（2）若BC =5，sin ∠ABC =1213，求EF 的长．ABCABCDE北45°30°BAP24．如图，A 是BĈ上一动点，D 是弦BC 上一定点，连接AB ，AC ，AD ．设线段AB 的长是x cm ，线段AC 的长是y 1cm ，线段AD 的长是y 2cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点A 在BĈ上的不同位置，画图、测量，得到了y 1，y 2的长度与x 的几组值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后表中各组数据所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出函数y1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题： 当AC =AD 时，AB 的长度约为______cm ； 当AC =2AD 时，AB 的长度约为______cm ．25. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，正方形OABC的顶点B在函数xky=(k≠0，x<0)的图象上，直线l：y x b=−+与函数xky=(k ≠ 0，x<0) 的图象交于点D，与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y x b=−+的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标；b的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=1mx2+nx−m与y轴交于点A，将点A向左平移3个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(-1,-m)，Q(-3,1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．27．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF .（1） 依题意补全图形；（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．（备用图）28．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于x 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点． （1）如图1，点A (0，-1)．①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③点D (-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ；（2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，且点M ′在射线x y 3= (x ≥0)上，b 的取值范围是；（3）E (0,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 33=的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．图1 图2CBCB321EBCDA 2020北京顺义初三（上）期末数学参考答案一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）9． 3m ≠−； 10．答案不唯一，如：1y x =； 11．8； 12．13．15m ； 14 15． 16．6 ． 三、解答题（共12道小题，共68分） 17．解：原式=121)2⨯−…………………………………… 4分 = 11=2− ………………………………………………………… 5分 18．解：原不等式组可化为2,3.x x >−⎧⎨<⎩………………………………………… 4分∴不等式组的解集为23x −<<．……………………………………… 5分 19．解：原式=22294554415x x x x x x −−+−−−=−． …………………… 4分 当3x =-时，原式=-3-5=-8． ……………………………………… 5分 20．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=CD ． ……………………………………… 2分 ∵2AB AE DE =g ， ∴AB DEAE AB=．……………………… 3分 ∴AB DEAE CD=． ∴△ABE ∽△DEC ． ………………………………………………… 4分 ∴∠1=∠2． ∵∠A =90°． ∴∠1+∠3=90°．21AB CDE∴∠2+∠3=90°．∴∠BEC=180°-（∠2+∠3）=90°．∴BE ⊥CE ． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）过点P 作PD ⊥AB 于点D ． …………………………………… 1分 依题意可知，PA=100，∠APD=60°，∠BPD=45°．∴∠A =30°．∴PD=50． ………………………………… 2分 在△PBD 中，50BD PD ==，∴70.771PB =≈≈．答：B 处距离灯塔P 约71海里． …………… 3分 （2）依题意知：OP=150，OB=150-71=79＞60．∴海轮到达B 处没有触礁的危险． ………… 4分（3）海伦从B 处继续向正北方向航行，有触礁的危险．……………………………………………… 5分 22．(1)证明：∵∠BAC =90°，AB=AC ，∴∠B=∠C=45°． ……………………………………………… 1分 ∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠1，∠ADC=∠ADE+∠2=45°+∠2， ∴∠1=∠2． …………………………………………………… 2分 ∴△ABD ∽△DCE ．……………… 3分(2)解：①∵△ABD ∽△DCE ，∴BD ABCE DC=． ……………… 4分 ∵AB=AC=2，BD=x ，AE=y ，∴BC =DC x =，2CE y =−．∴2x y =−．∴212(02y x x =+<<． ………………………… 5分 ②∵21(12y x =+，∴y 的最小值是1．…………………… 6分 23．(1)证明：补全图形如图所示， ………………………………………… 1分 ∵△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆圆心O 是斜边AB 的中点．D北45°30°BAPB 连接OE，∴OE=OB．∴∠2=∠3．………………… 2分∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2．………………… 3分∴∠1=∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE．∴EF是△ABC外接圆的切线．……………………………… 4分(2)解：在Rt△ABC中，BC=5，sin∠ABC=1213，∴1213ACAB=．∵222AC BC AB+=，∴AC=12．∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90°，∴四边形CFEH是矩形．∴EF=HC，∠EHC=90°．∴EF= HC=162AC=．…………………………………………… 6分24．解：（1）表中的m值是 5.5 ；…………………………………… 1分（2）………………………… 3分（3）结合函数图象，解决问题：当AC=AD时，AB的长度约为 5.7 cm；当AC=2AD时，AB的长度约为 4.2 cm．……………………5分25．解：（1）依题意知：B（-2，2）．…………………………………………………1分∴反比例函数解析式为4yx−=．∴k的值为-4．……………………………………………………………2分（2）①△DCE内的整点的坐标为（-1，1），（-1，2），（0，1）；…… 5分②当b=2时，△DCE内有3个整点，当b=3时，△DCE内有6个整点，∴b的取值范围是2＜b≤3．…………………………………………… 6分26．解：（1）依题意得：A（0，-m）．………………………………………………… 1分∴B（-3，-m）．………………………………………………………… 2分（2）∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为x＝32−分（3）当m＞0时，点A（0，-m）在y轴负半轴，此时，点P，Q位于抛物线内部（如图1）．所以，抛物线与线段PQ无交点．……………………… 5分当m＜0时，点A（0，-m）在y轴正半轴，当AQ与x轴平行，即A（0，1）时（如图2），图1抛物线与线段PQ恰有一个交点Q（-3，1）．此时，m=-1．6分11 / 1312 / 13FBC D EAHFBCD EA图20)27．解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分图1 图2 （2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ， ∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分28．解：（1）① 点B 的坐标为 （4，1） ；………………………………… 1分② a 的值为 -2 ； ………………………………… 2分 ③直线l 3的表达式为 y =- x ； …………………………… 3分（2）如图2，设⨀O 与x 轴的两个交点为1M （-2，0），3M （2，0）， 与射线x y 3= (x ≥0)的交点为4M ，则4M 的坐标为（1）．4M 关于x 轴的对称点为2M ．当点M 在1M 的位置时，b =-1， 当点M 在2M 的位置时，b =1， 当点M 在3M 的位置时，b =1，13 / 13图40)图30)图50)当点M 在劣弧12M M 上时（如图3），-1≤b ≤1，当点M 在劣弧23M M 上时（如图4），b 的值比1大，当到劣弧23M M 的中点时，达到最大值（如图5综上，b 的取值范围是-1≤b 5分（3）∵x 轴和直线x y 3=关于直线x y 33=对称，直线x y 3=和直线y =关于x 轴对称，∴⨀E 只要与直线x y 3=和y =有交点即可．∴t 的取值范围是：-4≤t ≤4. ……………………………………… 7分。
2020北京海淀初三(上)期末数学试卷含答案
2020北京海淀初三（上）期末数 学 2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D2．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字 小于3的概率是 A ．B ．C ．D ．152535453． 关于方程的根的情况，下列说法正确的是 2310x x --=A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断4. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点, AF 与BE 交于点O ，AE=2，//BF=1，则与的面积之比为AOE △BOF △A ．B ．1214C ．2D ．45.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为 A ．B ．C ．D ．π2π2π4π6. 如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上. 若∠A ＝40°，则∠C 为 A ．20° B ．25° C ．30°D ．35°B7． 在同一平面直角坐标系xOy 中，函数与的图象可能是 1y kx =+(0)ky k x=≠A B C D8.在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数的图象上的“好点”共有||3y x =-A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．反比例函数的图象经过两点，则______.（填“”，“=”或2y x=12(2,),(3,)y y 1y 2y >“”）<10.如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则210ax bx +-=1x =2020a b --=11.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，, 则的长为__________.//,1,2DE BC AD BD AE ===EC 12.如图，在平面直角坐标系中有两点A (6,0)和B (6,3)，以原点O，把线段AB 缩短为线段CD ，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，且CD 在y 轴12标为 .13．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______.14.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， D 是的中点，连结AD , BD ，其中BD 与AC 交于点E . 写AC 出图中所有与△ADE 相似的三角形：___________.C A15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知函数和()130y x x=>，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴()210y x x=-<M y N x M y 的垂线分别交，的图象于A , B 两点，连接，则的面积1y 2y AN BN ，ABN △为 ．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为__________.三、 解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解一元二次方程：． 2230x x --=18． 如图，在与中，，且. ABC △ADE △AB ACAD AE==EAC DAB ∠∠求证：．ABC ADE △∽△19.某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用6 h 到达目的地.（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？v t （2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5 h ，那么返程时的平均速度不能小于多少？BEDA20.如图，在中，，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .O AC =CB （1）求证：CD =CE ；（2）若∠AOB =120°，OA =2，求四边形DOEC 的面积.21．已知关于x 的一元二次方程.21=0x mx m -+-（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围. m22.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球, 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况； （2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.23.如图，，，射线CD ⊥BC 于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD 上一点，且满90ABC ∠=︒2,8AB BC ==足.90AEF ∠=︒（1）若，求CF 的长；3BE =（2）当的长为何值时，CF 的长最大，并求出这个最大值. BEE D FCBA24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点是直线上一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别A 1322y x =+A x y 为点和点，反比例函数的图象经过点． B C ky x=A （1）若点是第一象限内的点，且，求的值； A AB AC =k （2）当时，直接写出的取值范围． AB AC >k25．如图，AB 是的直径，直线MC 与相切于点C . 过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段AD 与相交O O O 于点E .（1）求证：AC 是DAB 的平分线； ∠（2）若，求AE 的长. 10,AB AC ==26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：.2240)y ax ax a =-+≠（（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点，且，则m 的取值范围是____________；12(2,),(,)y m y 21y y >（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.27．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1, 记∠ABC =α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，① 依题意补全图1；② PQ 的长为_____________； （2）如图2，当α=45°，且时, 求证：PD =PQ ； 43BD =（3）设BC = t , 当PD =PQ 时，直接写出BD 的长.（用含t 的代数式表示）28.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数，给出如下定义：当时，将以点P(0)k k >0ka b +>为圆心，为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．ka b +例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．图 1图 2（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． 3-（2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M的倍相关圆的位置关系，并证明． 12（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对6y x=称．图 1图 2图图图①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．②点D 在直线AB 上，点D 的倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆31心，hR 为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值. 6y x图 32020北京海淀初三（上）期末数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBADBBDC二、填空题9．10．2019 11．4 >12．13．0.9014.△CBE ，△BDA3(3,215．216.1-三、解答题17．解：原方程可化为 .223x x -=∴. 22131x x -+=+∴.2(1)4x -=∴. 1212x x -=-=-或∴. 123,1x x ==-18．证明：∵,EAC DAB ∠=∠∴.EAC BAE DAB BAE ∠+∠=∠+∠∴. BAC DAE ∠=∠∵, AB ACAD AE=∴∽.ABC △ADE △19．解：(1)由题意得，两地路程为80×6=480(km)，∴汽车的速度v 与时间t 的函数关系为．480v t=(2) 由,得. 480v t =480t v=又由题知:， 5t ≤∴. 4805v≤∵ 0v >，∴. 4805v ≤∴.96v ≥ 答:返程时的平均速度不能低于96 km/h.20．（1）证明：连接OC .∵, AC =BC ∴. AOC BOC ∠=∠∵,,CD OA CE OB ⊥⊥∴.CD CE =（2）解：∵ 120,AOB ∠=︒,AOC BOC ∠=∠∴ 60.AOC ∠=︒∵ 90,CDO ∠=︒∴. 30OCD ∠=︒∵, 2OC OA ==∴.112OD OC ==∴CD ==∴.12CDO S OD CD =⋅=△同理可得. CEO S =△∴CDO CEO CDOE S S S =+=△△四边形21. （1）证明：．()()2=41m m ∆---()22m =-∵，()220m -≥ ∴方程总有两个实数根． （2）解：依题意，．()22m m x ±-==∴，．11x m =-21x=∵方程有一个根为负数， ∴． 10m -<∴．1m <22. 解：方法一：（1）由题意画出树状图开始小林小华123123123123所有可能情况如下：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1）,（2,2）, （2,3），（3,1），（3,2），（3,3）.（2）由（1）可得：标号之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6.， 4=9P (和为奇数).5=9P (和为偶数)因为，所以不公平. 4599≠方法二：（1）由题意列表 小林小华1231 （1,1） （2,1） （3,1）2 （1,2） （2,2） （3,2） 3（1,3）（2,3）（3,3）所有可能情况如下：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1）,（2,2）, （2,3），（3,1），（3,2），（3,3）.（2）由（1）可得：标号之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6.， 4=9P (和为奇数).5=9P (和为偶数)因为，所以不公平. 4599≠23. 解：（1）如图，∵, 90ABC AEF ∠=∠=︒∴, 2+2190BAE ∠∠=∠+∠=︒∴.1BAE ∠=∠∵, CD BC ⊥∴. 90ECF ∠=︒∴, ABE ECF ∠=∠可知.ABE ECF △∽△∴. AB BEEC CF=∵，，, 2AB =8BC =3BE =∴. 5EC =∴. 235CF=∴.152CF =（2）设为x ，则. BE 8EC x =-∵（1）可得, AB BEEC CF=∴. 28x x CF=-∴.()28CF x x =-∴.22114(4)822CF x x x =-+=--+∴当时，的最大值为8. 4BE =CF 24.解：（1）依题意，设点,,. (,)A x y (,0)B x (0,)C y (0,0)x y >>∴，. AB y =AC x =∵， AB AC =∴. x y =∵点A 在直线上, 1322y x =+∴点A 的坐标为.(3,3)A∵点A 在函数（k ≠0）的图象上， ky x=∴．9k =（2）.190k k -<<≠且25．（1）证明：如图，连接OC .∵直线MC 与O 相切于点C ， ∴∠OCM =90°.∵， AD DM ⊥∴∠ADM =90°.∴∠OCM =∠ADM. ∴OC ∥AD .∴∠DAC =∠ACO . ∵OA =OC ， ∴∠ACO =∠CAO . ∴∠DAC =∠CAB .∴AC 是∠DAB 的平分线.（2）解：如图，连接BC ，连接BE 交OC 于点F .∵AB 是O 的直径，∴∠ACB =∠AEB =90°. ∵AB =10，AC =，∴BC==∵OC ∥AD ， ∴∠BFO =∠AEB =90°.∴∠CFB =90°，F 为线段BE 中点.∵∠CBE =∠EAC =∠CAB ，∠CFB =∠ACB ， ∴△CFB ∽△BCA . ∴. CF BCBC AB=∴CF =2.A∵OC =AB ， 12∴OC =5. ∴OF =OC -CF =3.∵O 为直径AB 中点，F 为线段BE 中点，∴AE =2OF =6.26．解：（1）①1；②m >2或m <0;（2）∵抛物线G ：的对称轴为x =1，且对称轴与x 轴交于点M ， 224y ax ax =-+∴点M 的坐标为（1，0）. ∵点M 与点A 关于y 轴对称， ∴点A 的坐标为（-1，0）. ∵点M 右移3个单位得到点B , ∴点B 的坐标为（4，0）.依题意，抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点， 把点A （-1，0）代入可得；224y ax ax =-+43a =-把点B （4，0）代入可得；224y ax ax =-+12a =-把点M （1，0）代入可得. 224y ax ax =-+4a =根据所画图象可知抛物线G 与线段AB 恰有一个 公共点时可得 .41432a a -<≤-=或27．（1）解：①补全图形如下图所示.② PQ =2.（2）作于F ，于H .PF BQ ⊥AH PF ⊥∵, PA AD ⊥∴∠PAD =90°.由题意可知∠1=45°. ∴. 2901451∠=︒-∠=︒=∠ ∴.PA AD = ∵, 90ACB ∠=︒ ∴90ACD ∠=︒ ∵，， AH PF ⊥PF BQ ⊥ ∴. 90AHP AHF PFC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ACFH 是矩形. ∴. 90,CAH AH CF ∠=︒= ∵90,CAH DAP ∠=∠=︒ ∴. 3490DAH DAH ∠+∠=∠+∠=︒ ∴.34∠=∠ 又∵ 90,ACD AHP ∠=∠=︒ ∴. ACD AHP ≌△△ ∴. 1AH AC == ∴.1CF AH ==∵ B ，Q 关于点D 对称，4,1,3BD BC ==∴14,.33CD BD BC DQ BD =-=== ∴ 21.32DF CF CD DQ =-== ∴F 为DQ 中点. ∴PF 垂直平分DQ . ∴PQ =PD .（3）.2223t BD t+=28．（1）解：P 1，3；（2）解：直线ON 与点M 的倍相关圆的位置关系是相切.21证明：设点M 的坐标为（x ，0），过M 点作MP ⊥ON 于点P ，∴ 点M 的倍相关圆半径为.2121x ∴ OM =x .∵∠MON ＝30°，MP ⊥ON ,∴ MP ＝=.2OM21x ∴ 点M 的倍相关圆半径为MP .21∴直线ON 与点M 的倍相关圆相切.21（3）① 点C 的3倍相关圆的半径是3;② h。
北京市西城区2020—2021年九年级上期末数学试题含答案解析
北京市西城区2020—2021年九年级上期末数学试题含答案解析九年级数学 2021.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数()257y x =-+的最小值是A ．7-B ．7C ．5-D ．5 【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】当x=5时，二次函数取最小值，最小值是7，因此选B【答案】B2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35 B ．53C ．45 D ．34【考点】锐角三角函数【试题解析】∵AC=3,BC=4∴AB=5∴cosA=选A【答案】A3．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．122C ．62D ．3【考点】切线的性质与判定【试题解析】∵OP=CP=6∠CPO=90°∴OC=【答案】C4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】选C【答案】C5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【考点】弧长运算【试题解析】设圆心角为x ，依照题意得：解得：x=120°选D【答案】D6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原先的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1的坐标为 A ．(2-，4) B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)【考点】位似图形【试题解析】 位似比是2，因此(-1,2)，横坐标和纵坐标都扩大2倍，因此点的坐标为(-2,4)选A【答案】A7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长能够表示为A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【考点】解直角三角形【试题解析】∠A=37°∴BP=40sin37°(海里)∴选D【答案】D8．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为A．30°B．45°C．50°D．70°【考点】弦、弧、圆心角的关系【试题解析】∠ABC=70°，∠ACB=30°∴弧BAC所对的圆周角为100°∵点D是中点∴∠DBC的度数为50°【答案】C9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A．60(30020)y x=+B．(60)(30020)y x x=-+C．300(6020)y x=-D．(60)(30020)y x x=--【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】y=(60-x)(300+20x),BAC选B【答案】B10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为A ．8B ．10-C ．42-D ．24-【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】把x=-2带入得：8+16+m=0因此m=-24选D【答案】D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a b b+的值为 ． 【考点】分式的差不多性质【试题解析】【答案】12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】=24y2=-6因此>y2【答案】>13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为 ．【考点】相似三角形的应用【试题解析】依照相似比等于周长比因此15：5=3△ABC的周长为30因此△DEF的周长=90【答案】9014．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=．【考点】三角形的性质及其分类【试题解析】当BD垂直AC时AD取值最大因此0<AD<，因此AD能够等于10.【答案】1015．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知那个人身高是5尺．漂亮的小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为．【考点】垂径定理及推论【试题解析】依照题意得：EA=DB-AC=4OE=x-4在直角三角形OEB中应用勾股定理得：【答案】16．阅读下面材料： 在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是 ；由此可证明直线P A ，PB 差不多上⊙O 的切线，其依据是 ．【考点】切线的性质与判定【试题解析】依照定理，直径所对的圆周角是直角，∠OAP 和∠OBP 差不多上圆O 直径所对的圆周角 ∵∠OAP=∠OBP=90°∴PA,PB 确实是⊙O 的切线，通过半径外端同时垂直于这条半径的直线是圆的切线．【答案】直径所对的圆周角是直角；通过半径外端同时垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．运算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒． 尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：P 为⊙O 外一点． 求作：通过点P 的⊙O 的切线． PO 如图，（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN交OP 于点C ； （2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点；（3）作直线P A ，PB ．因此直线P A ，PB 确实是所求作的切线．【考点】专门角的三角函数值【试题解析】原式===． 【答案】18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°．求tan C 的值．【考点】锐角三角函数【试题解析】∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt △ABD 中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=AB=6，AD=AB ·cos ∠BAD = 12·cos30°=． ∵BC=15，∴CD= BC －BD=15－6=9．∴在Rt △ADC 中，tanC===．【答案】19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）令，则．解得 ，．∵点A在点B的左侧，∴A（，0），B（3，0）．对称轴为直线．（2）∵当时，，∴顶点C的坐标为（1，4）．∵点C，D关于x轴对称，∴点D的坐标为（1，）．∵AB=，∴【答案】(1)x=1;(2)16.20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【考点】相似三角形判定及性质【试题解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB．（2）∵△ABD∽△DCB，∴．∵AB=12，AD=8，CD=15，∴．∴DB=10．【答案】（1）见解析（2）DB=1021．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区打算在其中修建两块完全相同的矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．假如这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【考点】一元二次方程的应用【试题解析】依照题意，得． 整理得． 解得 ，． ∵不符合题意，舍去， ∴．答：人行通道的宽度是2米．【答案】2米22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）如何样平移抛物线1C 就能够得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直截了当写出m 的取值范畴．【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）∵抛物线：与x 轴有且只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根． ∴． 解得 ．（2）∵抛物线：，顶点坐标为（1，0）， 抛物线：的顶点坐标为（-1，-8）， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就能够得到抛物线． （3）【答案】（1）（2）见解析（3）23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =3C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为22，直截了当写出∠BAF的度数．【考点】圆的综合题【试题解析】（1）∵OC⊥AB于点D，∴AD=DB，∠ADO=90°．∵AB=，∴AD=．∵∠AOD=2∠E，∠E=30°，∴∠AOD=60°．∵在Rt△AOD中，sin∠AOD=，∴OA==4．（2）∠BAF=75°或15°．【答案】（1）4;（2）75°或15°24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请关心他们运算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【考点】解直角三角形【试题解析】∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，∴∠BAD=90°—∠B=45°．∴∠BAD=∠B．∴AD=DB．设AD=x，∵在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∠ACD=58°，∴DC=．∵DB= DC+ CB=AD，CB=90，∴+90=x．将tan58°≈1.60代入方程，解得x≈240．答：最高塔的高度AD约为240米．【答案】240m25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=32，sin A=35，求PC的长．【考点】圆的综合题【试题解析】（1）证明：连接OC，如图1．∵ PC是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥PC．∴∠PCO=∠1+∠2=90°．∵PD⊥AB于点D，∴∠EDA=90°．∴∠A+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠A=∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE=∠PEC．（2）作PF⊥EC于点F，如图2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵在Rt△ABC中，AB=10，，∴BC=AB·sinA=6．∴AC==8．∵在Rt△AED中，ED=，∴AE==．∴EC=AC－AE=．∵∠2=∠4，∴PE=PC．∵PF⊥EC于点F，∴FC=EC=，∠PFC=90°．∴∠2+∠5=90°．∵∠A+∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A=∠5．∴sin∠5 =．∴在Rt△PFC中，PC==【答案】见解析26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2k y x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观看图象可知：①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观看函数的图象，能够得到不等式k ax b x +>的解集． 有如此一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学依照学习以上知识的体会，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式能够转化为2441x x x+->； 当0x <时，原不等式能够转化为2441x x x +-<； （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x= 中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标图1图2观看所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为 ；（4）借助图象，写出解集 结合（1）的讨论结果，观看两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为 ．【考点】反比例函数与一次函数综合【试题解析】（2）抛物线如图所示；（3）依照图像，两个函数的相交时y 相等，得到x 的值.，或；（4）依照函数图像或． 在上面，成立【答案】见解析27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象通过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限． （1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式； （2）连接AB ，求AB 的长；（3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，判定四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．【考点】二次函数与一次函数综合【试题解析】（1）∵二次函数，当和时所对应的函数值相等，∴二次函数的图象的对称轴是直线．∵二次函数的图象通过点A（，），∴解得∴二次函数的表达式为．（2）过点B作BD⊥x轴于点D，如图1．∵一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，∴．解得，．∴交点坐标为（2，1），（5，）．∵点B在第一象限，∴点B的坐标为（2，1）．∴点D的坐标为（2，）．在Rt△ABD中，AD=1，BD=1，∴AB==．（3）结论：四边形ABCN的形状是矩形．证明：设一次函数的图象与x轴交于点E，连接MB，MN，如图2．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴M是线段BN的中点．∴MB= MN．∵M是线段AC的中点，∴MA= MC．∴四边形ABCN是平行四边形．∵一次函数的图象与x轴交于点E，当时，．∴点E的坐标为（3，0）．∴DE=1= DB．∴在Rt△BDE中，∠DBE=∠DEB=45°．同理∠DAB=∠DBA=45°．∴∠ABE=∠DBA+∠DBE=90°．∴四边形ABCN是矩形．【答案】见解析28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=_______，NM与AB的位置关系是____________；（2）当4<BD<8时，①依题意补全图2；②判定（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直截了当写出结果．图1 图2 备用图【考点】图形的旋转【试题解析】（1），垂直；（2）①补全图形如图所示；②结论：（1）中NM与AB的位置关系不变．证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°．∴∠CAN +∠NAM=45°．∵AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°．∵N为ED的中点，∴∠DAN=∠DAE=45°，AN⊥DE．∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND=90°．∴∠NAM =∠DAC．在Rt△AND中，=cos∠DAN= cos45°=．在Rt△ACB中，=cos∠CAB= cos45°=．∵M为AB的中点，∴AB=2AM．∴．∴．∴．∴△ANM∽△ADC．∴∠AMN=∠ACD．∵点D在线段BC的延长线上，∴∠ACD=180°－∠ACB =90°．∴∠AMN=90°．∴NM⊥AB．（3）当BD的长为 6 时，ME的长的最小值为 2 ．【答案】见解析29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照耀在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．专门地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3 （1）自⊙C内一点动身的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照耀在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)动身的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第②自点A(1二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O动身的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范畴．图4【考点】圆的综合题【试题解析】（1）所得图形，如图1所示．（2）①45°；②(，)或(，)；（3）①如图2，直线OQ与⊙M相切于点Q，点Q在第一象限，连接MQ，过点Q作QH⊥x轴于点H．∵直线OQ与⊙M相切于点Q，∴MQ⊥OQ．∴∠MQO=90°．∵MO=2，MQ=1，∴在Rt△MQO中，sin∠MOQ=．∴∠MOQ=30°．∴OQ=OM×cos∠MOQ=．∵QH⊥x轴，∴∠QHO=90°．∵∠QOH=90°∠MOQ=60°，∴在Rt△QOH中，QH= OQ﹒sin∠QOH=．②如图3，当反射光线PN与坐标轴平行时，连接MP并延长交x轴于点D，过点P作PE⊥OD于点E，过点O作OF⊥PD于点F．∵直线l是⊙M的切线，∴MD⊥l．∴∠1+∠OPD=∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD=∠NPD．∵PN∥x轴，∴∠NPD=∠PDO．∴∠OPD=∠PDO．∴OP=OD．∵OF⊥PD，∴∠MFO =90°，PF=FD．∵，设PF=FD=，而MO=2，MP=1，∴．解得．∵，∴．∵PE⊥OD，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE∥MO．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos∠EPD = cos∠OMF ．∴．∴==．可知，当反射点P从②中的位置开始，在⊙M上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，因此反射点P的纵坐标的取值范畴是．【答案】见解析。
北京市通州区2020届九年级上学期期末考试数学试题及答案
������
������
的值为
A. −4
B. 0
C. 2
D. 4
1/9
8. 如图，在平面直角坐标系������������������中，点������(−2,2), ������(0,3), ������(3,3), ������(4, −2). ������是关于������的二次函数，抛物线������1经过点 ������，������，������.抛物线������2经过点������，������，������，抛物线������3经过点������，������，������，抛物线������4经过点������，������，������，则下列判断：
6.在平面直角坐标系������������������中，反比例函数������ = ������的图象如图所示，则������的值可以为
������
A. −4B.Biblioteka 3C. −2D. 2
7. 在平面直角坐标系������������������中，点������(������, ������)在双曲线������ = − 2上，点 A 关于 y 轴的对称点 B 在双曲线������ = ������上，则������ − 2
.
12. 如图，根据图示，求得������和������的值分别为
.
13. 如图，在������������∆������������������中，∠������ = 90°，∠������ = ������，������������ = ������,则 AB 的长为 示）
（用含α和 b 的代数式表
二、填空题(共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分)
9. 抛物线������ = −(������ + 1)2的顶点坐标为
北京市师大实验2020初三数学九年级上册期末试题和答案
北京市师大实验2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0＜b ）的图像与x 轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y 随x 增大而增大；②a ＋b ＋c ＜0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③2．已知⊙O 的半径是4，圆心O 到直线l 的距离d ＝6．则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断3．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80°4．如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结,BD CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．90︒5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或66．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．26° 7．抛物线2y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,1-8．如图，AB 是⊙O 的弦，∠BAC ＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm ，方差为k 2cm ，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm ，此时全班同学身高的方差为'k 2cm ，那么'k 与k 的大小关系是（ ）A ．'k k >B ．'k k <C ．'k k =D ．无法判断10．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤11．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A ．19B ．13C ．12D ．2312．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=14413．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( ) A ．y =32x −2 B ．y =32x +2 C ．y =3()22x -D ．y =3()22x + 14．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A ．(2，3)B ．(﹣2，3)C ．(2，﹣3)D ．(﹣2，﹣3)15．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+ C ．1(1)2a -- D ．1(3)2a -+ 二、填空题16．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ，若点A 、D 、E 在同一条直线上，∠ACD ＝70°，则∠EDC 的度数是_____．17．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．18．已知二次函数222y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________． 19．正方形ABCD 的边长为4,圆C 半径为1，E 为圆C 上一点，连接DE ，将DE 绕D 顺时针旋转90°到DE’，F 在CD 上，且CF=3，连接FE’，当点E 在圆C 上运动，FE’长的最大值为____.20．抛物线y ＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．21．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）22．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm ． 23．抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是_______．24．已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a ＝2cm ，b ＝8cm ，则线段c ＝_____cm ．25．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________． 26．方程22x x =的根是________．27．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_________.28．已知3a ＝4b ≠0，那么ab＝_____． 29．甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）30．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均分 方差 众数 中位数甲组 89乙组5388（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．三、解答题31．如图，在ABC ∆中，AD 是高.矩形EFGH 的顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上，FG 在边BC 上，6BC =，4=AD ，23EF EH =.求矩形EFGH 的面积.32．如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）.（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；（2）点 E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E 的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．33．(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明．(2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)(3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．34．九（3）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：甲789710109101010乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）计算乙队的平均成绩和方差；（2）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是哪个队？35．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AC 边上一点，过点D 作DE ⊥BD ，交AB 于点E ，若BD ＝10，tan ∠ABD ＝12，cos ∠DBC ＝45，求DC 和AB 的长．四、压轴题36．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.（1）求证：BE=FD ；（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 37．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；()1求点C 的坐标；()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．38． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 为边BC 上一个动点（可以包括点C 但不包括点B ），以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ，（1）求证：AE=DE ； （2）若PB=2，求AE 的长；（3）在P 点的运动过程中，请直接写出线段AE 长度的取值范围．39．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．40．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】①根据对称轴及增减性进行判断； ②根据函数在x=1处的函数值判断；③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断． 【详解】解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2ba->0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大； 故①正确；根据二次函数的系数，可得图像大致如下， 由于对称轴x=2ba-的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断， 故②不正确；由图像可知，y=＝ax2＋bx＋c≤0，∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点，∴方程ax2＋bx＋c=-2有两个不相等的实数根.故③正确.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.2．A解析：A【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.【详解】解：∵圆心O到直线l的距离d=6，⊙O的半径R=4，∴d>R，∴直线和圆相离．故选：A．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．3．D解析：D【解析】【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC +∠ICB ＝180°﹣∠CIB ＝50°， ∴∠ABC +∠ACB ＝2×50°＝100°，∴∠BAC ＝180°﹣（∠ACB +∠ABC ）＝80°． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.4．C解析：C 【解析】 【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =360725︒=︒， ∴∠BOE =144°， ∴1362DBC COD ∠=∠=︒，1722BCE BOE ∠=∠=︒， ∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒. 故选：C.【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN ACAC CB=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．【详解】 解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽， ∴CN AC AC CB =， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽，∴CN MH AC CH=， ∴123516685k k k =-， 1k ∴=，4BM ∴=．综上所述，4BM =或6．故选：D ．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．6．B解析：B【解析】【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．【详解】解：如图，连接CO,∵CE＝OB＝CO=OD，∴∠E＝∠1，∠2＝∠D∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E．∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．7．A解析：A【解析】【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【详解】∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点睛】本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．8．C解析：C【解析】【分析】如图，作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质解答．【详解】如图，作直径BD ，连接CD ，∵∠BDC 和∠BAC 是BC 所对的圆周角，∠BAC ＝30°，∴∠BDC ＝∠BAC ＝30°，∵BD 是直径，∠BCD 是BD 所对的圆周角，∴∠BCD ＝90°，∴BD ＝2BC ＝4，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；熟练掌握圆周角定理是解题关键．9．B解析：B【解析】【分析】设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm ，然后根据方差公式比较大小即可．【详解】 解：设该班的人数有n 人，除小明外，其他人的身高为x 1，x 2……x n-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm根据方差公式：()()()22212111721721721n k x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦- ()()()()2222'1211172172172172172n x x k x n -⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦ ()()()2221211172172172n x x x n -⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ∵111n n <- ∴()()()()()()222222121121111721721721721721721n n x x x x x x n n --⎡⎤⎡⎤-+-++-<-+-++-⎣⎦⎣⎦-即'k k <故选B ．【点睛】此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．10．D解析：D【解析】【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+=∴42x ±= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.11．B解析：B【解析】【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是3193=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 12．D解析：D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ），2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．13．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．A解析：A【解析】【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.15．D解析：D【解析】【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣12（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．二、填空题16．115°【解析】【分析】根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可．【详解】由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠E＝∠CAE＝45°，∵∠ACD＝7解析：115°【解析】【分析】根据∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE，想办法求出∠E，∠DCE即可．【详解】由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠E＝∠CAE＝45°，∵∠ACD＝70°，∴∠DCE＝20°，∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°，故答案为115°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，问题，属于中考常考题型．17．【解析】【分析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性解析：()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义． 18．-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随 解析：-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数222y x x -=-，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵−1≤x≤4，∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,由题可知,PF=4,DF=解析：171+【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,由题可知,PF=4,DF=1,∴DP=22+=17,41∴FE’=171+,+故答案是：171【点睛】本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.20．（﹣2，5）【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．【点解析：（﹣2，5）【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y ＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）． 故答案为：（﹣2，5）．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．21．【解析】抛物线的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .故答案为>解析：12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .故答案为> 22．【解析】【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R ，根据弧长公式得，∴R解析：【解析】【分析】利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.【详解】解：设扇形半径为R ，根据弧长公式得， 90=25180R∴R=20， 225515 .故答案为：【点睛】 本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.23．(5,3)【解析】【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是（5，3）故答案为：（5，3）．【点睛】本题考查二次函数性质其顶点坐标为（h ，k ），题目比较解析：(5,3)【解析】【分析】根据二次函数顶点式2()y a x h k =-+的性质直接求解．【详解】解：抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是（5，3）故答案为：（5，3）．【点睛】本题考查二次函数性质2()y a x h k =-+其顶点坐标为（h ，k ），题目比较简单． 24．4【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】∵线段c 是a 、b 的比例中项，线段a ＝2cm ，b ＝8cm ，∴＝，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍解析：4【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm，∴ac＝cb，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），∴线段c＝4cm．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．25．50（1﹣x）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.解析：50（1﹣x）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.26．x1＝0，x2＝2【解析】【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴x(x-2)=0，x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．本题考查了一解析：x 1＝0，x 2＝2【解析】【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵22x x =，∴22=0x x -，∴x(x-2)=0，x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．27．【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是， 解析：49【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是49， 故答案为：49． 【点睛】此题考查几何概率，解题关键在于掌握运算法则. 28．．【解析】根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．【详解】解：两边都除以3b，得＝，故答案为：．【点睛】此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此解析：43．【解析】【分析】根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．【详解】解：两边都除以3b，得a b ＝43，故答案为：43．【点睛】此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．29．乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵甲的方差为0解析：乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，∴S甲2＞S乙2，∴成绩较为稳定的是乙；故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．30．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中解析：（1）83，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差： ()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8填表如下：故答案为：83，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．三、解答题31．6EFGH S =四边形【解析】【分析】根据相似三角形对应边比例相等性质求出EF,EH 的长，继而求出面积.【详解】解：如图：∵四边形EFGH 是矩形，AD 交EH 于点Q,∴∥EH FG∴AEH ABC ∆∆∽∴AQ EH AD BC= 设2EF x =，则3EH x = ∴42346x x -=解得：1x =. 所以2EF =，3EH =.∴236EFGH S EF EH =⋅=⨯=四边形【点睛】本题考查的知识点主要是相似三角形的性质，利用相似三角形对应边比例相等求出有关线段的长是解题的关键.32．（1）b=2，c=1，D （2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)【解析】【分析】（1）将点A 分别代入y=-x 2+bx+3，y=x+c 中求出b 、c 的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D 的坐标；（2））过点E作EF ⊥y 轴，设E （x ，-x 2+2x+3），先求出点B 、C 的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE 的面积，即可求出点E 的坐标.（3）分别以点D 、M 、N 为直角顶点讨论△MND 是等腰直角三角形时点N 的坐标．【详解】（1）将A （-1,0）代入y=-x 2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，∴y=-x 2+2x+3，将点A 代入y=x+c 中，得-1+c=0，解得c=1，∴y=x+1，解2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得1123x y =⎧⎨=⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩（舍去）， ∴D （2,3）.∴b= 2 ，c= 1 ，D （2,3）.（2）过点E 作EF⊥y 轴，设E （x ，-x 2+2x+3）,当y=-x 2+2x+3中y=0时，得-x 2+2x+3=0，解得x 1=3，x 2=-1（舍去），∴B(3，0).∵C(0，3)，∴CBE CBO CFE S S S梯形OFEB -S ， ∴22111633(3)(23)(2)222x x x x x x ， 解得x 1=4,x 2=-1（舍去），∴E(4，-5).（3）∵A(-1，0),D(2，3),∴直线AD 的解析式为y=x+1,设P （m ，m+1），则Q （m ，-m 2+2m+3），∴线段PQ 的长度h=-m 2+2m+3-（m+1）=219()24m， ∴当12m ==0.5，线段PQ 有最大值. 当∠D 是直角时，不存在△MND 是等腰直角三角形的情形；当∠M 是直角时，如图1，点M 在线段DN 的垂直平分线上，此时N 1（2,0）；当∠M是直角时，如图2，作DE⊥x轴，M2E⊥HE，N2H⊥HE,∴∠H=∠E=90︒,∵△M2N2D是等腰直角三角形，∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90︒,∵∠N2M2H=∠M2DE,∴△N2M2H≌△M2DE,∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，∴E(2，-1.5)，∴M2H=DE=3+1.5=4.5，∴ON2=4.5-0.5=4，∴N2(-4，0)；当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，∴∠N3HM3=∠DEN3=90︒,∵△M3N3D是等腰直角三角形，∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90︒，∵∠DN3E=∠N3M3H，∴△DN3E≌△N3M3H，∴N3H=DE=3，∴N3O=3-0.5=2.5，∴N3(-2.5，0)；当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，∴∠N4HM4=∠DEN4=90︒,∵△M4N4D是等腰直角三角形，∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90︒，∵∠DN4E=∠N4M4H，∴△DN4E≌△N4M4H，∴N4H=DE=3，∴N4O=3+0.5=3.5，∴N4(3.5，0)；综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式；根据函数性质得到点坐标，由此求出图象中图形的面积；还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况，此时依据等腰直角三角形的性质，求出点N的坐标.33．(1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【解析】【分析】(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．(3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．【详解】解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上故答案为：ME＝MD＝MB＝MC(2)证明：连接MD、ME∵BD、CE是△ABC的高∴BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BDC＝∠CEB＝90°∵M为BC的中点∴ME＝MD＝12BC＝MB＝MC∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上∴∠ABC+CDE＝180°∵∠ADE+∠CDE＝180°∴∠ADE＝∠ABC(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN∵CE、AF是△ABC的高∴∠BEG＝∠BFG＝90°。
2020年北京市丰台初三(上)期末数学含答案
2020北京丰台初三（上）期末数 学 2020. 01下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22−的最小值是 A ．1B ．1− C ．2D ．2−2．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果3AD =，6BD =，2AE =，那么AC 的值为 A ．4 B ．6C ．8D ．93．在Rt △ABC 中，∠90C =︒，如果4AC =，3BC =，那么cos A 的值为A ．45B ．35C ．43D ．344．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°， 那么∠ACB 的度数为 A ．55︒ B ．70︒C ．110︒D ．140︒5．点A (1x y ，11x y ，)，B (2x y ，22x y ，)是反比例函数2y x=的图象上的两点，如果120x x ＜＜，那么1y ，2y 的大小关系是 A ．210y y ＜＜ B ．120y y ＜＜C．210y y ＞＞D ．120y y ＞＞6．如图，在扇形OAB中，∠90AOB =︒，2OA =，则ABC A BA DE阴影部分的面积是 A ．2B ．πC ．2πD ．π2−7．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(0a ≠)．下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1 图2有如下四个结论：① 勒洛三角形是中心对称图形② 图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等 ③ 图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④ 使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动 上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）CB A⌒9．如果12a b a −=，那么ba= ． 10．如果tan 3α=，那么锐角α=11．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m ．12．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA . 如果8AB =，2CD =，那么⊙O 的半径为 ．13．请你写出一个函数，使它的图象与直线y x =无公共点，这个函数的表达式为 ．14．如图所示的网格是正方形网格，△ABC 和△CDE 的顶点都是网格线交点，那么∠BAC +∠CDE = °．15．将矩形纸片ABCD 按如下步骤进行操作：（1）如图1，先将纸片对折，使BC 和AD 重合，得到折痕EF ；（2）如图2，再将纸片分别沿EC ，BD 所在直线翻折，折痕EC 和BD 相交于点O .那么点O 到边AB 的距离与点O 到边CD 的距离的比值是 ．图1 图2D F CBE AF D ABC DE16．某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O 顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P 进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2(填A ，B ，C 或D )，此点距地面的高度 为 m ．图1 图2三、解答题（本题共60分，第17−24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题7分） 17．计算：22sin 30cos 45tan 60︒−︒+︒．18．如图，E 是□ ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ． 求证：△EBC ∽△CDF ．19．已知二次函数223y x x =−−．（1）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（2）当0≤x ≤3时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．FAB CDE20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与反比例函数ky x=的图象的两个交点分别为点P (m ，1)和点Q ． （1）求k 的值和点Q 的坐标；（2）如果点A 为x 轴上的一点，且∠90PAQ =︒，直接写出点A 的坐标．21．习近平总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻习总书记的指示，实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量y (袋)与每袋的售价x (元)之间关系如下表：如果日销售量y (袋)是每袋的售价x (元)的一次函数，请回答下列问题： （1）求日销售量y (袋)与每袋的售价x (元)之间的函数表达式； （2）求日销售利润P (元)与每袋的售价x (元)之间的函数表达式；（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？(提示：每袋的利润=每袋的售价−每袋的成本)22．中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：一、在城市道路范围内，在不影响行人、车辆通行的情况下，政府有关部门可以规划停车泊位.停车泊位的排列方式有三种，如图所示：方式1 平行式 方式2倾斜式（0°＜α＜90°） 方式3 垂直式二、双向通行道路，路幅宽12米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽8米到12米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽8米以下的，不能设停车泊位； 三、规定小型停车泊位，车位长6米，车位宽2.5米；四、设置城市道路路内机动车停车泊位后，用于单向．．通行的道路宽度应不小于．．．4米.根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为14米的双向．．通行车道设置同一种．．．排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题： （1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为 ；（2）如果这段道路长100米，那么在道路两侧最多．．．．可以设置停车泊位 个. (参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈)23．如图，点O 为∠ABC 的边BC 上的一点，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ．图形W 与射线BC 交于E ，F 两点(点E 在点F 的左侧).（1）过点M 作MH BC ⊥于点H ，如果2BE =，sin 23ABC ∠=，求MH 的长； （2）将射线BC 绕点B 顺时针旋转得到射线BD ，使得∠CBD 90MOB +∠=︒，判断射线BD 与图形W 公共点的个数，并证明．2.5m6m6m2.5mα6m2.5mCBAO24．在二次函数的学习中，教材有如下内容：小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程32210x x −+=的近似解，做法如下：请你选择小聪或小明的做法，求出方程32210x x −+=的近似解(精确到0.1).25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++−沿x 轴翻折得到抛物线2C . （1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求出m 的取值范围．NMA26．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC 绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ．（1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，并直接写出DE BE的值；（2）写出一个∠ACB 的度数，使得12DE BE=，并证明．27．平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y ＞，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y ＜，那么称点P 为图象M 的下位点． （1）已知抛物线22y x =−.① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标H x 的取值范围．2020北京丰台初三（上）期末数学参考答案9.12 10. 30 11. 12 12. 5 13. 1y x=−（答案不唯一） 14. 45 15.1216. C ；78 三、解答题（本题共60分，第17−24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分）17. 解：原式1232=⨯−+ ……4分 132=−+4=……5分 18. 证明： ∵□ ，∴∠B =∠D . ……2分且BE ∥CD ， ……3分 ∴∠E =∠DCE ． ……4分 ∴△EBC ∽△CDF ．……5分19. 解：（1）函数图象如下图所示： ……3分ABCD（2）4−≤y ≤0． ……5分 20. 解：（1）∵点P (m ，1)在直线y x =上， ∴1m =． ……1分 ∵点P (1，1)在ky x=上， ∴1k =． ……2分∵点Q 为直线y x =与ky x=的交点，∴点Q 坐标为(1−，1−)． ……3分（2）1A ,0) , 2A (． ……5分21. 解：（1）设一次函数的表达式为：y kx b =+，将(20，20)，(30，10)代入y kx b =+， 得到关于k ，b 的二元一次方程组2020,3010.k b k b +=+=⎧⎨⎩……1分 解得 1,40.k b =−=⎧⎨⎩∴售量y (袋)与售价x (元)之间的函数表达式为40y x =−+． ……2分(2) P =(10x −)(40x −+)=250400x x −+−． ……3分(3) P =250400x x −+−=−(25x −)2225+ ．…4分(10x ＜＜40)∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元. ……5分22. 解：（1）平行式或倾斜式． ……3分（2）36． ……5分23. （1）解：∵到点O 的距离等于线段OM 的长的所有点组成图形W ， ∴图形W 是以O 为圆心，OM 的长为半径的圆．根据题意补全图形：……1分∵OM AB M ⊥于点， ∴∠90BMO =︒．在△BMO 中，2sin 3OM ABC BO ∠==， ∴23BO MO =．∵2BE =∴322BO OE OM =+=， 解得：4OM OE ==． ……2分 ∴6BO =．在Rt △BOM 中， 222BM OM BO +=，∴BM =．，解得：MH = ……3分 （2） 解： 1个．证明：过点O 作ON ⊥BD 于点N ，∵∠CBD +∠MOB 90=︒，且∠ABC +∠MOB 90=︒，∴ ∠CBD =∠ABC ．∴OM ON =． ……4分∴BD 为⊙O 的切线．∴射线BD 与图形W 的公共点个数为1个． ……5分24. 解法1：选择小聪的作法，列表并作出函数3221y x x =−+的图象：（列表略）………2分根据函数图象，得近似解为 10.6x ≈− ，2 1.0x ≈，3 1.6x ≈．…………5分 解法2：选择小明的作法，列表并作出函数212y x x =−和21y x=−的图象：（列表略）……2分根据函数图象，得近似解为 10.6x ≈− ，2 1.0x ≈，3 1.6x ≈.………5分 25.（1）顶点坐标为（1−，1）；…………2分（2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =−−．…………3分 根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．…4分②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点，结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．+11122BMO S MO MB MH BO =⋅=⋅V将（1，0）代入221y mx mx m =++−，得到 14m =， …….....………5分 将（2，0）代入221y mx mx m =++−，得到 19m =， 结合图象可得 19m ＜≤14．………6分 26.解：（1）正确补全图形；………………1分DE BE =． ………………3分 （2）解：∠45ACB =︒． ……………………………………………………4分 证明：∵45ACB ∠=︒，∴AB AC =． ∵AC AD =，∴AB AD =． ……………………………………………………………5分 过点D 作DF AC ⊥于点F ，∴90DFE ∠=︒∵30CAD ∠=︒， ∴1122DF AD AB ==．∵90BAE ∠=︒，∴90DFE BAE ∠=∠=︒． ∵FED ∠=∠AEB ． ∴△FED ∽△AEB ． ∴12DE DF BE AB ==． …………………………………………………………7分27.解：（1）①A ，C . ………………………………………………………………2分 ②∵点D 是直线y x =的图上点，∴点D 在y x =上.又∵点D 是22y x =−的上位点，∴点D 在y x =与22y x =−的交点R ，S 之间运动.∵22,.y x y x ⎧=−⎨=⎩ ∴111,1.x y =−⎧⎨=−⎩ 222,2.x y =⎧⎨=⎩ …………3分∴点R (1−，1−)，S (2，2).∴2D x -1＜＜. ……………………………………………………………5分（2）3Hx −>或H x −＜………………………………………………7分(全卷所有题目其他解法参照上述解法相应步骤给分)M N A B CD E F D ECB A MN。
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34．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，其中点A在点B的左边，交y轴于点C，点P为抛物线上位于x轴上方的一点．
18．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
19．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且sin∠CAB= ，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在射线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为________；
20．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
24．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x，则可列方程为______．
25．如图， ， ，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1∶QB1的值为___．
三、解答题
31．（1）解方程： ；（2）计算：
32．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）．
（1）则b＝，c＝；
（2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为，顶点坐标为；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当－3＜x＜2时，y的取值范围是．
A． B． C． D．
7．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（）
北京市2020初三数学九年级上册期末试题和答案
一、选择题
1．当函数 是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， ，以 为斜边向上作 ， .连接 ，若 ，则 的长度为（）
A． 或 B．3或4C． 或 D．2或4
3．若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是（）
A．2011B．2015C．2019D．2020
28．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为_____．
29．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为_____．
30．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝ ，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．
A．这组数据的平均数是6B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的众数是6D．这组数据的方差是10.2
9．如图，在 中， ，垂足为点 ，一直角三角板的直角顶点与点 重合，这块三角板饶点 旋转，两条直角边始终与 边分别相交于 ，则在运动过程中， 与 的关系是（）
A．一定相似B．一定全等C．不一定相似D．无法判断
4．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）
A．4 B．4 C．6D．4
5．对于二次函数 ，下列说法不正确的是（）
A．其图象的对称轴为过 且平行于 轴的直线.
B．其最小值为1.
C．其图象与 轴没有交点.
D．当 时， 随 的增大而增大.
6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点 ， ， ， 都在格点上，点 在 的延长线上，以 为圆心， 为半径画弧，交 的延长线于点 ，且弧 经过点 ，则扇形 的面积为（）
26．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A⇒B⇒A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当t为_____s时，△BEF是直角三角形．
27．某公园平面图上有一条长12cm的绿化带．如果比例尺为1：2000，那么这条绿化带的实际长度为_____．
10．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1： D． ：1
11．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
12．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
姓名
读
听
写
小莹
92
80
90
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ）
A．86B．87C．88D．89
13．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（ ）
A．25°B．40°C．45°D．50°
14．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．110°
15．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（）
A．11B．12C．9D．10
二、填空题
16．设x1、x2是关于x的方程x2＋3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1•x2＝________．
17．将二次函数y＝2x2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．
21．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是 ，则可列方程为__．
22．如图，在 中， ， ， ，则 的长为________．
23．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知 点坐标为 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ……，依次进行下去，则点 的坐标为_____．