辅助角公式的推导
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i 辅助角公式的推导
sin cos )a b θθθϕ+=+ 在三角函数中,有一种常见而重要的题型,即化为一个角
sin cos a b θ
θ+的一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学
生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式=
sin cos a b θθ+或)θϕ+sin cos a b θθ+,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个
cos()θϕ-学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.一.教学中常见的的推导方法
教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1 +cos =2sin (+
)=2cos (-
).
ααα6
π
α3
π
其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:
可见+cos 可以化为一个角的三角函数形式.
αα 一般地,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
θθ 2.辅助角公式的推导例2 化为一个角的一个三角函数的形式.
sin cos a b θ
θ+ 解: asin +bcos sin cos ),
θθθθ①=cos =sin ,
ϕϕ则asin +bcos cos +cos sin )
θθθϕθϕ+),(其中tan =)
θϕϕb
a
e a
n
②=sin =cos ,则asin +bcos =
ϕϕθθsin +cos cos -),(其中
θϕθϕθϕtan =
)ϕa b
其中的大小可以由sin 、cos 的符号确定的象限,再由tan 的值ϕϕϕϕϕ求出.或由tan =
和(a,b)所在的象限来确定.ϕb
a
推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:=cos ,
ϕ=sin ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、
ϕ易错!
二.让辅助角公式来得更自然
sin cos a b θ
θ+)θϕ+能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.
首先要说明,若a=0或b=0时,已经是一个角的一个三角
sin cos a b θ
θ+函数的形式,无需化简.故有ab≠0.
1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角,它的终边经过点P.设OP=r,r=
ϕ由三角函数的定义知
sin =,
ϕb r cos =
.
ϕa r
=所以asin +bcos sin cos
θθϕθϕθ
g s
.(其中tan =)
)θϕ+ϕb
a
2.若在平面直角坐标系中,以b 为
横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),
如图2所示,则总有一个角的终边经过
ϕ点P(b,a),设OP=r,则由
三角函数的定义知
sin =,
ϕa r cos =.
ϕb r asin +bcos θθsin cos cos ϕθϕθ
+. (其中tan =)
s()θϕ-ϕa
b
例3 为一个角的一个三角函数的形式.
sin cos θθ+ 解:在坐标系中描点设角的终边过点P,则OP
=r=
ϕ=,cos .ϕ1
2
ϕ =2cos sin +2sin cos =2sin().tan =
cos θθ+ϕθϕθθϕ+ϕ=2sin().
26
k π
ϕπ=
+cos θθ+6
π
θ+
经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asin +bcos sin cos )=
θθθθ,(其中tan =).或者
)θϕ+ϕb
a
asin +bcos θθ
sin cos,(其中tan=)
θθ
cos()
θϕ
-ϕ
a
b 我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解
asin+bcos sin cos)的道理,以θθ
θθ
及为什么只有两种形式的结果.
例4 化为一个角的一个三角函数的形式.
sin cos
αα
-
解法一:点在第四象限.OP=2.设角过P点.则,
ϕsinϕ=-
.满足条件的最小正角为,
1
cos
2
ϕ=
5
3
π
5
2,.
3
k k Z
ϕππ
=+∈
1
sin cos2(sin)2(sin cos cos sin)
2
55
2sin()2sin(2)2sin().
33
k
αααααϕαϕ
αϕαππαπ
∴-=-=+
=+=++=+
解法二:点在第二象限,OP=2,设角过P点.则,
ϕ
1
sin
2
ϕ=
.满足条件的最小正角为,
cosϕ=-
5
6
π
5
2,.
6
k k Z
ϕππ
=+∈
1
sin cos2(sin cos)2(sin sin cos cos)
2
55
2cos()2cos(2)2cos().
66
k
αααααϕαϕ
αϕαππαπ
∴-=-=+
=-=--=-
三.关于辅助角的范围问题
由中,点P(a,b)的位置可知,终sin cos)
a b
θθθϕ
+=+
边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象
限).
设满足条件的最小正角为,则.由诱导公式(一)知
1
ϕ
1
2k
ϕϕπ
=+
.其
1 sin cos)sin()
a b
θθθϕθϕ
+=+=+