《解析几何》课程教案

第一章矢量与坐标

教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。

教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。

教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时8

§1.1 矢量的概念

教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。

教学重点矢量的两个要素：摸与方向。

教学难点矢量的相等

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06 (2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

一、有关概念

1. 矢量

2. 矢量的表示

3. 矢量的模

二、特殊矢量

1. 零矢

2. 单位矢

三、矢量间的关系

1. 平行矢

2. 相等矢

3. 自由矢

4. 相反矢

5. 共线矢

6. 共面矢

7. 固定矢量

例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、Ｃ

Ｄ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也

成立？

例2. 回答下列问题：

(1) 若矢量//，//,则是否有//？

(2) 若矢量,,共面，,,也共面，则,,是否也共面？

(3) 若矢量,,中//，则,,是否共面？

(4) 若矢量，共线，在什么条件下，也共线？

作业题：

1. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、

、、、、、和中，哪些矢量是相等的？

2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相

等的矢量和互为相反矢量的矢量：

(1) 、; (2) 、

; (3) 、; (4) 、; (5) 、.

矢量的线性运算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的数乘)

教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;

2、能用矢量法证明有关几何命题。

教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念

教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

一、概念

1. 两个例子

2. 矢量的加法法则

(1) 三角形法则

(2) 平行四边形法则

二、性质

1. 运算规律

(1) 交换律+＝+;

(2) 结合律 (+)+＝+(+);

(3) +＝;

(4) +(－)＝.

2. 矢量加法的多边形法则

3. 矢量减法

4. 三角不等式

(1)|+|≤||+||, |-|≥||-||;

(2)|++…+|≤||+||+…+||.

例1. 从矢量方程组中解出矢量.

例2. 用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.

作业题：

1. 设两矢量与共线，试证+＝+.

2. 证明：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是对任一点

O有

+＝＋.

§1.3 数量乘矢量

一、概念

1. 数乘的例子

2. 数乘的定义

二、性质

1. 运算规律

(1)1⋅＝.

(2) 结合律λ (μ)＝(λμ).

(3) 第一分配律 (λ+μ)＝λ+μ.

(4) 第二分配律λ(+)＝λ+λ.

例1. 如图1-7，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

例2. 设点O是平面上正多边形A1A2…A n的中心，证明:

作业题：

1. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量

, , 可以构成一个三角形.

2. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明

+=++.

3. 用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学目的1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。

教学重点矢量的三个分解定理及线性相关的判断。

教学难点分解定理的证明

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，2001.06

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，2000.08

授课课时 1

一、矢量的分解

1. 线性运算

2. 线性组合

3. 矢量在直线上的分解：

定理1 如果矢量≠，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.

4. 矢量在平面上的分解：

定理2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝x+y，且系数x, y被, , 唯一确定. ,

称为平面上矢量的基底.

5. 矢量在空间的分解：

定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.

二、矢量的线性关系

1.定义

对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数λ1, λ2，…, λn, 使得

λ1+λ2+…+λn=,

那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当λ1＝λ2＝…＝λn ＝0时，上式才成立.

2.判断方法