交通流理论-元胞自动机模型
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邻居的数目＝
2 r 1 d 1
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
d) 马哥勒斯 (Margolus)型
与前几种邻居的本质区别：以2×2的元胞块为单元进 行处理，而不是向前面几种，对每个元胞分别处理。
Margolus邻居的表现形式和几个演化规则
主要应用领域：格子气流体，颗粒流等
2 元胞自动机的定义和构成
A. 元胞空间的几何划分
理论上，它可以是任意维数的欧几里德空间规则划 分。常用的元胞自动机一般是一维和二维的。
• 一维元胞自动机的元胞空间只有一种划分 • 二维元胞自动机通常有三种划分方式
三角形 正方形 正六边形
2 元胞自动机的定义和构成
二维元胞自动机的三种网格划分
3 184号规则
184号模型
道路被划分为等距格子，每个格点表示一个元胞； 某个时刻，元胞或者是空的，或者被一辆车占据；
对一维空间，首尾相接形成一个圆环
对二维空间，上下相接，左右相接，而形成 一个拓扑圆环面，形似车胎或甜点圈
周期型空间与无限空间最为接近，因而在理 论探讨时，常以此类空间作为试验。
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
• •
定值型边界条件(Constant Boundary) 定义：所有边界外元胞均取某一固定常量 绝热型边界条件(Adiabatic Boundary) 定义：在指边界外邻居元胞的状态始终和边界元胞 的状态保持一致，即具有状态的零梯度。
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
理论上，元胞空间是无限的；实际应用中无法达到 这一理想条件。常用的边界条件如下：
• • • •
周期型 定值型 绝热型 反射型
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
•
周期型边界条件（periodic boundary）
定义：周期型是指相对边界连接起来的元胞空间
物理学领域：在元胞自动机基础之上发展出来的格子气自动 机(LGA)和格子-波尔兹曼方法(LBM)在计算流体领域获得了 巨大的成功。不仅能够解决传统流体力学计算方法所能解决 的绝大多数问题，并且在多孔介质、 多相流、微小尺度方面 具有其独特的优越性。格子-波尔兹曼方法还被成功地应用于 磁场、电场、热扩散和热传导的模拟。另外，元胞自动机还 被用来模拟雪花等枝晶的形成、液态金属材料的凝固结晶过 程以及颗粒材料的垮塌现象等。
数集内S内取值：如交通领域的CA模型中，有时元 胞状态可在[-(Vmax+1)～Vmax+1)]之间取值。 状态参量：严格意义上的CA只能有一个状态参量；
但是，在实际应用中，可以具有多个状态参量。
2 元胞自动机的定义和构成
• 元胞空间
元胞在空间中分布的空间格点的集合就是元胞空
间。
A. B. 元胞空间的几何划分 元胞空间的边界条件
1 绪论
元胞自动机应用
生态学领域：元胞自动机被用于兔子-草，鲨鱼-小鱼等生态 系统动态变化过程的模拟，展示出令人满意的动态效果;元 胞自动机还成功地应用于蚂蚁的行走路径，大雁、鱼类洄游 等动物的群体行为的模拟；另外，基于元胞自动机模型的生 物群落的扩散模拟也是当前的一个应用热点。
1 绪论
元胞自动机应用
1 绪论
元胞自动机自产生以来，被广泛地应用到社 会、经济、军事和科学研究的各个领域。到 目前为止，其应用领域涉及生物学、 生态学 、物理学、化学、交通科学、计算机科学、 信息科学、地理、环境、社会学、军事学以 及复杂性科学等。
1 绪论
元胞自动机应用
生物学领域：因为元胞自动机的设计思想本身就来源于生物 学自繁殖的现象，所以它在生物学上的应用更为自然而广泛 。 例如元胞自动机用于肿瘤细胞的增长机理和过程模拟、 人类大脑的机理探索、爱滋病病毒HIV的感染过程、自组织 、自繁殖等生命现象的研究以及最新流行的克隆 (clone)技 术的研究等。另外， 元胞自动机还可以用来模拟植物的生 长过程以及贝壳上的色素沉积图案。
1 绪论
元胞自动机应用
计算机科学与信息学领域：元胞自动机的逻辑思维方法为并 行机的发展提供了另一个理论框架。20世纪80年代，T. Toffoli和N.H. Margolus 制造出第一台通用元胞自动机计算 机CAM6，其性能可与当时的巨型计算机相比拟，并且其图 形显示功能明显优于其他类型的计算机。元胞自动机还被用 来研究信息的保存、传递、扩散的过程。除此之外，元胞自 动机在图像处理和模式识别中也体现出了其独到的优势 。
v ix , v iy 分别表示邻居元胞的行坐标和列坐标： v ox , v oy 分别表示中心元胞的行坐标和列坐标：
邻居的数目＝2 d
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
b) 摩尔(Moore)型
定义如下：
N M o o r e v i ( v ix , v iy ) v ix v o x 1, and v iy v o y 1, ( v ix , v iy ) Z 2
2 元胞自动机的定义和构成
• 根据上面对元胞自动机的组成分析，我们可以更加深 入地理解元胞自动机的概念。 可以将元胞自动机概括 为一个用数学符号来表示的四元组。
A Ld , S , N , f
A:代表一个元胞自动机系统；Ld：代表元 胞空间；d：为空间维数；S：是元胞有限 的离散的状态集合；N：表示邻域内所有元 胞的组合（包括中心元胞在内）；f：是局 部转换函数，也就是规则。
2 元胞自动机的定义和构成
元胞自动机的构成示意图
2 元胞自动机的定义和构成
• 元胞
元胞又可称为单元、细胞或基元，是元胞自动机
的最基本ຫໍສະໝຸດ Baidu组成部分。元胞分布在离散的一维、
二维或多维欧几里德空间的晶格点上。
2 元胞自动机的定义和构成
• 元胞状态
元胞的状态可以是二进制形式，如：（0，1），
（生，死），（黑、白）等 ；也可以在一个有限整
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
a) 冯-诺依曼(Von. Neumann)型
定义如下：
N Neu m a n n v i ( v ix , v iy ) v ix v o x v iy v o y 1, ( v ix , v iy ) Z 2
元胞自动机模型
主讲人： 李新刚 办公地点：8710（51684936） Email: lixingang@bjtu.edu.cn
元胞自动机交通流模型
• 主要内容
1 绪论 2 元胞自动机的定义和构成 3 184号规则 4 NS模型简介 5 BML模型简介 6 双车道模型简介
1 绪论
Stephen Wolfram. A New Kind of Science. Wolfram Media, 2002.
3 184号规则
1986年，Cremer和Ludwig初次将元胞自动机运 用到车辆交通的研究中。
交通流的元胞自动机模型大致可分为两大类：
研究高速公路交通的模型（以NS模型为代表）；
研究城市网络交通的模型（以BML模型为代表）
这两类模型是以Wolfram命名的184号模型为基 础发展而来的。
1 绪论
元胞自动机发展历程
• 20世纪50年代，John von Neumann 最早提出； (von Neumann,J.1963，collected works, edited by A.H.Taub) • 1970年，John Conway 提出生命游戏 (Conway, J. (1970). In M. Gardner, (Ed.), Scientific American, 223(4), pp. 120-123.) • 1983年，Stephen Wolfram 初等元胞自动机 (Stephen Wolfram. Reviews of Modern Physics,1983,Vol.55. Stephen Wolfram. Nature,1984,Vol.311) • 1986年至今，理论及应用
2 元胞自动机的定义和构成
• 规则(Rule)
根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该 元胞状态的动力学函数，简单讲，就是一个状态 转移函数。
t f : S it 1 f S it , S N
称f为元胞自动机的局部映射或局部规则
2 元胞自动机的定义和构成
• 时间
元胞自动机中的时间是离散的，是一系列的整数 值，是一个无量纲的整数。 若时间步长为dt=1,t=0为初始时刻，则t+1 就为下一个时刻。
2 元胞自动机的定义和构成
三类网格划分的优缺点对比
网格 类型 三角形 优点 拥有相对较少的邻居数目，易 于处理复杂边界 直观而简单，而且特别适合于 在现有计算机环境下进行表达 显示 缺点 在计算机的表达与 显示不方便，需要 转换为四方网格。 不能较好地模拟各 向同性的现象
正方形
正六 边形
在表达显示上较为 能较好地模拟各向同性的现象， 困难、复杂 因此，模型能更加自然而真实
邻居的数目＝3 d
1
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
c) 扩展的摩尔(Moore)型
定义如下：
N M o o r e v i ( v ix , v iy ) v ix v o x 2 , and v iy v o y 2 , ( v ix , v iy ) Z 2
2 元胞自动机的定义和构成
元胞自动机的定义：
元胞自动机（Cellular Automata，简称CA）实质 上是定义在一个由具有离散、有限状态的元胞组 成的元胞空间上，并按照一定的局部规则，在离 散的时间维度上演化的动力学系统。
2 元胞自动机的定义和构成
元胞自动机的构成：
元胞自动机最基本的组成：元胞、元胞空间、邻居及规 则四部分。另外，还应包含状态和时间。 可以视为由一个元胞空间和定义于该空间的变换 函数所组成。
1 绪论
元胞自动机应用
交通科学领域：1986年，M. Cremer和J. Ludwig初次将元 胞自动机运用到车辆交通的研究中。随后，元胞自动机在车 辆 交通中的应用主要沿着两条主线展开：对城市道路交通流 的研究，以Nagel-Schreckenberg模型为代表;对城市交通网 络 的研究，以BML模型为代表。另外，80年代以来，计算机 水平日新月异的发展为元胞自动机的 应用提供了强有力的支 持。因此，在进入上个世纪90年代后，元胞自动机在交通流 理论研究领域中得到了广泛的应用。
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
•
反射型边界条件(Constant Boundary) 定义：在边界外邻居的元胞状态是以边界元胞为轴 的镜面反射。
2 元胞自动机的定义和构成
C. 构形(Configuration)
定义：构形是在某个时刻，在 元胞空间上所有元胞状态的空 间分布组合。在数学上，它通 常可以表示为一个多维的整数 矩阵。
1 绪论
元胞自动机（Cellular Automata，简称CA）实质 上是定义在一个由具有离散、有限状态的元胞组 成的元胞空间上，并按照一定的局部规则，在离 散的时间维度上演化的动力学系统。
1 绪论
在元胞自动机中，空间被一定形式的规则网格分割 为许多单元。这些规则网格中的每一个单元都称为 元胞(cell)，并且它只能在有限的离散状态集中取值。 所有的 元胞遵循同样的作用规则，依据确定的局部 规则进行更新。大量的元胞通过简单的相互作用而 构成动态系统的演化。
1 绪论
“三个世纪以前，人们发现建立在数学方程基础上的规律 能够用于对自然界的描述，伴随着这种新观念，科学发生 了转变。 在此书中我的目的是将要用简单的电脑程序来 表达更为一般类型的规律，并在此种规律基础上建立一种 新的科学，从而启 动另一场科学变革。”著名的物理学 家、数学家和计算机科学家S. Wolfram以这样的惊世之言 开始了他的宏篇巨著《一种新科学》。 Wolfram认为传统科学未能建立起解释宇宙复杂性的理论， 靠数学方程做不到这一点。所以他要发动一场新的科学革 命，革命的内容就是要用简单的电脑程序取代数学方程。 Wolfram所钟情的这种简单电脑程序的核心基础就是我们 将要介绍的元胞自动机。
2 r 1 d 1
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
d) 马哥勒斯 (Margolus)型
与前几种邻居的本质区别：以2×2的元胞块为单元进 行处理，而不是向前面几种，对每个元胞分别处理。
Margolus邻居的表现形式和几个演化规则
主要应用领域：格子气流体，颗粒流等
2 元胞自动机的定义和构成
A. 元胞空间的几何划分
理论上，它可以是任意维数的欧几里德空间规则划 分。常用的元胞自动机一般是一维和二维的。
• 一维元胞自动机的元胞空间只有一种划分 • 二维元胞自动机通常有三种划分方式
三角形 正方形 正六边形
2 元胞自动机的定义和构成
二维元胞自动机的三种网格划分
3 184号规则
184号模型
道路被划分为等距格子，每个格点表示一个元胞； 某个时刻，元胞或者是空的，或者被一辆车占据；
对一维空间，首尾相接形成一个圆环
对二维空间，上下相接，左右相接，而形成 一个拓扑圆环面，形似车胎或甜点圈
周期型空间与无限空间最为接近，因而在理 论探讨时，常以此类空间作为试验。
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
• •
定值型边界条件(Constant Boundary) 定义：所有边界外元胞均取某一固定常量 绝热型边界条件(Adiabatic Boundary) 定义：在指边界外邻居元胞的状态始终和边界元胞 的状态保持一致，即具有状态的零梯度。
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
理论上，元胞空间是无限的；实际应用中无法达到 这一理想条件。常用的边界条件如下：
• • • •
周期型 定值型 绝热型 反射型
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
•
周期型边界条件（periodic boundary）
定义：周期型是指相对边界连接起来的元胞空间
物理学领域：在元胞自动机基础之上发展出来的格子气自动 机(LGA)和格子-波尔兹曼方法(LBM)在计算流体领域获得了 巨大的成功。不仅能够解决传统流体力学计算方法所能解决 的绝大多数问题，并且在多孔介质、 多相流、微小尺度方面 具有其独特的优越性。格子-波尔兹曼方法还被成功地应用于 磁场、电场、热扩散和热传导的模拟。另外，元胞自动机还 被用来模拟雪花等枝晶的形成、液态金属材料的凝固结晶过 程以及颗粒材料的垮塌现象等。
数集内S内取值：如交通领域的CA模型中，有时元 胞状态可在[-(Vmax+1)～Vmax+1)]之间取值。 状态参量：严格意义上的CA只能有一个状态参量；
但是，在实际应用中，可以具有多个状态参量。
2 元胞自动机的定义和构成
• 元胞空间
元胞在空间中分布的空间格点的集合就是元胞空
间。
A. B. 元胞空间的几何划分 元胞空间的边界条件
1 绪论
元胞自动机应用
生态学领域：元胞自动机被用于兔子-草，鲨鱼-小鱼等生态 系统动态变化过程的模拟，展示出令人满意的动态效果;元 胞自动机还成功地应用于蚂蚁的行走路径，大雁、鱼类洄游 等动物的群体行为的模拟；另外，基于元胞自动机模型的生 物群落的扩散模拟也是当前的一个应用热点。
1 绪论
元胞自动机应用
1 绪论
元胞自动机自产生以来，被广泛地应用到社 会、经济、军事和科学研究的各个领域。到 目前为止，其应用领域涉及生物学、 生态学 、物理学、化学、交通科学、计算机科学、 信息科学、地理、环境、社会学、军事学以 及复杂性科学等。
1 绪论
元胞自动机应用
生物学领域：因为元胞自动机的设计思想本身就来源于生物 学自繁殖的现象，所以它在生物学上的应用更为自然而广泛 。 例如元胞自动机用于肿瘤细胞的增长机理和过程模拟、 人类大脑的机理探索、爱滋病病毒HIV的感染过程、自组织 、自繁殖等生命现象的研究以及最新流行的克隆 (clone)技 术的研究等。另外， 元胞自动机还可以用来模拟植物的生 长过程以及贝壳上的色素沉积图案。
1 绪论
元胞自动机应用
计算机科学与信息学领域：元胞自动机的逻辑思维方法为并 行机的发展提供了另一个理论框架。20世纪80年代，T. Toffoli和N.H. Margolus 制造出第一台通用元胞自动机计算 机CAM6，其性能可与当时的巨型计算机相比拟，并且其图 形显示功能明显优于其他类型的计算机。元胞自动机还被用 来研究信息的保存、传递、扩散的过程。除此之外，元胞自 动机在图像处理和模式识别中也体现出了其独到的优势 。
v ix , v iy 分别表示邻居元胞的行坐标和列坐标： v ox , v oy 分别表示中心元胞的行坐标和列坐标：
邻居的数目＝2 d
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
b) 摩尔(Moore)型
定义如下：
N M o o r e v i ( v ix , v iy ) v ix v o x 1, and v iy v o y 1, ( v ix , v iy ) Z 2
2 元胞自动机的定义和构成
• 根据上面对元胞自动机的组成分析，我们可以更加深 入地理解元胞自动机的概念。 可以将元胞自动机概括 为一个用数学符号来表示的四元组。
A Ld , S , N , f
A:代表一个元胞自动机系统；Ld：代表元 胞空间；d：为空间维数；S：是元胞有限 的离散的状态集合；N：表示邻域内所有元 胞的组合（包括中心元胞在内）；f：是局 部转换函数，也就是规则。
2 元胞自动机的定义和构成
元胞自动机的构成示意图
2 元胞自动机的定义和构成
• 元胞
元胞又可称为单元、细胞或基元，是元胞自动机
的最基本ຫໍສະໝຸດ Baidu组成部分。元胞分布在离散的一维、
二维或多维欧几里德空间的晶格点上。
2 元胞自动机的定义和构成
• 元胞状态
元胞的状态可以是二进制形式，如：（0，1），
（生，死），（黑、白）等 ；也可以在一个有限整
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
a) 冯-诺依曼(Von. Neumann)型
定义如下：
N Neu m a n n v i ( v ix , v iy ) v ix v o x v iy v o y 1, ( v ix , v iy ) Z 2
元胞自动机模型
主讲人： 李新刚 办公地点：8710（51684936） Email: lixingang@bjtu.edu.cn
元胞自动机交通流模型
• 主要内容
1 绪论 2 元胞自动机的定义和构成 3 184号规则 4 NS模型简介 5 BML模型简介 6 双车道模型简介
1 绪论
Stephen Wolfram. A New Kind of Science. Wolfram Media, 2002.
3 184号规则
1986年，Cremer和Ludwig初次将元胞自动机运 用到车辆交通的研究中。
交通流的元胞自动机模型大致可分为两大类：
研究高速公路交通的模型（以NS模型为代表）；
研究城市网络交通的模型（以BML模型为代表）
这两类模型是以Wolfram命名的184号模型为基 础发展而来的。
1 绪论
元胞自动机发展历程
• 20世纪50年代，John von Neumann 最早提出； (von Neumann,J.1963，collected works, edited by A.H.Taub) • 1970年，John Conway 提出生命游戏 (Conway, J. (1970). In M. Gardner, (Ed.), Scientific American, 223(4), pp. 120-123.) • 1983年，Stephen Wolfram 初等元胞自动机 (Stephen Wolfram. Reviews of Modern Physics,1983,Vol.55. Stephen Wolfram. Nature,1984,Vol.311) • 1986年至今，理论及应用
2 元胞自动机的定义和构成
• 规则(Rule)
根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该 元胞状态的动力学函数，简单讲，就是一个状态 转移函数。
t f : S it 1 f S it , S N
称f为元胞自动机的局部映射或局部规则
2 元胞自动机的定义和构成
• 时间
元胞自动机中的时间是离散的，是一系列的整数 值，是一个无量纲的整数。 若时间步长为dt=1,t=0为初始时刻，则t+1 就为下一个时刻。
2 元胞自动机的定义和构成
三类网格划分的优缺点对比
网格 类型 三角形 优点 拥有相对较少的邻居数目，易 于处理复杂边界 直观而简单，而且特别适合于 在现有计算机环境下进行表达 显示 缺点 在计算机的表达与 显示不方便，需要 转换为四方网格。 不能较好地模拟各 向同性的现象
正方形
正六 边形
在表达显示上较为 能较好地模拟各向同性的现象， 困难、复杂 因此，模型能更加自然而真实
邻居的数目＝3 d
1
2 元胞自动机的定义和构成
• 邻居(Neighbor)
c) 扩展的摩尔(Moore)型
定义如下：
N M o o r e v i ( v ix , v iy ) v ix v o x 2 , and v iy v o y 2 , ( v ix , v iy ) Z 2
2 元胞自动机的定义和构成
元胞自动机的定义：
元胞自动机（Cellular Automata，简称CA）实质 上是定义在一个由具有离散、有限状态的元胞组 成的元胞空间上，并按照一定的局部规则，在离 散的时间维度上演化的动力学系统。
2 元胞自动机的定义和构成
元胞自动机的构成：
元胞自动机最基本的组成：元胞、元胞空间、邻居及规 则四部分。另外，还应包含状态和时间。 可以视为由一个元胞空间和定义于该空间的变换 函数所组成。
1 绪论
元胞自动机应用
交通科学领域：1986年，M. Cremer和J. Ludwig初次将元 胞自动机运用到车辆交通的研究中。随后，元胞自动机在车 辆 交通中的应用主要沿着两条主线展开：对城市道路交通流 的研究，以Nagel-Schreckenberg模型为代表;对城市交通网 络 的研究，以BML模型为代表。另外，80年代以来，计算机 水平日新月异的发展为元胞自动机的 应用提供了强有力的支 持。因此，在进入上个世纪90年代后，元胞自动机在交通流 理论研究领域中得到了广泛的应用。
2 元胞自动机的定义和构成
B. 元胞空间边界条件
•
反射型边界条件(Constant Boundary) 定义：在边界外邻居的元胞状态是以边界元胞为轴 的镜面反射。
2 元胞自动机的定义和构成
C. 构形(Configuration)
定义：构形是在某个时刻，在 元胞空间上所有元胞状态的空 间分布组合。在数学上，它通 常可以表示为一个多维的整数 矩阵。
1 绪论
元胞自动机（Cellular Automata，简称CA）实质 上是定义在一个由具有离散、有限状态的元胞组 成的元胞空间上，并按照一定的局部规则，在离 散的时间维度上演化的动力学系统。
1 绪论
在元胞自动机中，空间被一定形式的规则网格分割 为许多单元。这些规则网格中的每一个单元都称为 元胞(cell)，并且它只能在有限的离散状态集中取值。 所有的 元胞遵循同样的作用规则，依据确定的局部 规则进行更新。大量的元胞通过简单的相互作用而 构成动态系统的演化。
1 绪论
“三个世纪以前，人们发现建立在数学方程基础上的规律 能够用于对自然界的描述，伴随着这种新观念，科学发生 了转变。 在此书中我的目的是将要用简单的电脑程序来 表达更为一般类型的规律，并在此种规律基础上建立一种 新的科学，从而启 动另一场科学变革。”著名的物理学 家、数学家和计算机科学家S. Wolfram以这样的惊世之言 开始了他的宏篇巨著《一种新科学》。 Wolfram认为传统科学未能建立起解释宇宙复杂性的理论， 靠数学方程做不到这一点。所以他要发动一场新的科学革 命，革命的内容就是要用简单的电脑程序取代数学方程。 Wolfram所钟情的这种简单电脑程序的核心基础就是我们 将要介绍的元胞自动机。