随机变量的函数介绍

X ( ) e


2
2
N (mY , Y ) 服从 的高斯变量 Y，其特征函数为
2
Y ( ) e
jmY
Y
2
2
2
高斯变量特点： （1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b （a,b为常数）也为高斯变量，且
mY amX b Y a X
2 2
2
（2）独立高斯变量之和仍为高斯变量。
f ( x, y ) 1 2 X Y 1 rXY
2
e
Y 2 ( x mX )2 2 rXY X Y ( x mX )( y mY ) X 2 ( y mY )2 2 X 2 Y 2 (1rXY 2 )
设n维随机变量向量为Y，数学期望和 方差向量为m和s，它们具有如下形式：
k! k 0,1, 2, , 0
则称X服从泊松分布。
P{ X k }

k
e

3.2 常见的连续分布 一. 均匀分布 设连续型随机变量X在有限区间[a,b] 内取值，且其概率密度为
1 f X ( x) b a 0
a xb else
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。
随机变量的函数与特征函数
讲解人： 时间：
1 随机变量的函数变换
在随机试验E中，设样本空间为S={ei},对每一个试验结果ei，对应于 X的某个取值X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关 系：
显然，Y的概率特性与X是有关系的。
Y (ei ) g[ X (ei )]
'
如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值 y可能对应X的两个或更多的值x1,x2,…, xn。 假定一个y值有两个x值与之对应，则有
fY ( y) f X (h1 ( y)) h ( y)
' 1
f X (h2 ( y)) h2 ( y)
'
一般地，如果y=g(x)有n个反 函数h1(y), h2(y),…, hn(y)，则
1.1 一维变换 若随机变量X、Y满足下列函数关系
Y [ X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即 1 X [Y ] h(Y )
若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y ) f X ( h( y )) h ( y )
性质：两个相互独立的非中心 2 分布的随机变量之和仍为非中 心 分布，若它们的自由度 1 2 为n1和n2，非中心分布参量分 别为 和 ，其和的自由度 n= n +n2，非中心分布参量 为 12 1 为
2
四. 瑞利分布和莱斯分布 1) 瑞利分布 2 对于两个自由度的 分布，即
推广到多个互相独立的高斯变量，其 和也是高斯分布。即
Y
X
i 1
n
i
若Xi服从 N (mi , i ) ，则其和的数学 期望和方差分别为
2
mY mi
i 1
n
Y i
2 i 1
n
2
（3）中心极限定理
若有大量相互独立的随机变量的和
Y
iY 1 其中每个随机变量Xi对总的变量 的影响足够小时，则在一定条件下， 当
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y ) f X (hn ( y )) hn ( y )
'
' 1
'
1.2 二维变换
设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度 f(x1, x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且
Y1 Y 2 Y= Yn m1 m 2 m= mn
12 2 2 s= 2 n
协方差矩阵C
C11 C 21 C= Cn1
C12 C 22 Cn 2
1 (2 )
2 n 2
( n ) 2
y
y n 1 2 2 2
e
y0
性质：两个互相独立的具有 2 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别为 n1和n2，其和的自由度为n= n1+n2。
2
2) 非中心 分布 若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,…,n) 的方差为 2 ，数学期望为 mi ，则
随机变量X的分布函数为
0 x a FX ( x ) b a 1
mX
xa a xb xb
2
ab (b a ) 2 ; X 2 12
二. 高斯分布
1)一维高斯分布 高斯变量X的概率密度为：
f X ( x) 1 e 2
( x m )2 2 2
Y1 1 ( X 1 , X 2 ) Y2 2 ( X 1 , X 2 )
求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1, y2)。
X1 h1 (Y1 , Y2 ) X 2 h2 (Y1 , Y2 )
fY ( y1 , y2 ) J f X ( x1 , x2 ) h1 y1 h2 y1 h1 y2 f X ( h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )) h2 y2
X ( ) f X ( x)e


j x
dx
1 f X ( x) 2



X ( )e j x d
略有不同，指数项差一符号
3 常见分布
3.1 常见的离散型分布 一. 两点分布 如果随机变量X的分布为
X
P
a
1－p
b
p
则称X服从两点分布，也称为贝努里 分布。当a、b分别为0、1时，称这种 分布为0－1分布。
性质1：
X ( ) (0) 1
X (a )
性质2：若Y=aX+b，a和b为常数，Y 的特征函数为 jb
Y ( ) e
性质3：互相独立随机变量之和的特征 函数等于各随机变量特征函数之积， 即若 N
Y
X
n 1
n
则
Y ( ) X ( )
n 1
X
n
i
时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布律无关。
结论：任何许多独立作用之和的物理过程，都趋于高斯分布。
n
2）二维高斯分布 2 m 设X是均值为 X ，方差为 X 的正 态随机变量，Y是均值为 mY ，方差为 Y 2 的正态随机变量，且X,Y的相关系 数为 rXY ，则二维随机变量(X,Y)为一 个二维正态随机变量，其联合概率密 度函数为
二. 二项分布
设随机试验E只有两种可能的结果 且
A, A
将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A 发生m次的概率为
P( A) p, P( A) 1 p q
称为二项分布。
P n (m) C p q
m n m
n m
0mn
三.泊松分布 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…, 且分布密度为
Y Xi
i 1
2 的分布是具有n个自由度的 分布。
其概率密度为
fY ( y )
1 2
n 2
( n ) 2
y
n y 1 2 2
e
y0
( x )


0
t
x 1 t
e dt
当互相独立的高斯变量Xi的方 2 差不是1，而是 时，Y的概 率密度为
fY ( y )
jX
] e


jx
X ( ) ln X ( )
随机变量X的第二特征函数定 义为特 征函数的对数，即
对二维随机变量，可用类似的方法定 义特征函数
X (1,2 )




f X ( x1, x2 )e
j1 x1 j2 x2
dx1dx2
f X ( x1 , x2 ) 1 4
e
r2 2 2
In (
2 1
r

2
) r0
4随机序列收敛
4.1 随机序列收敛 设有随机变量X及随机变量序列{Xn} (n=1,2,…)，均有二阶矩，且
lim E[( X n X ) ] 0
2 n
则称随机变量序列{Xn} 依均方收敛于X， 或者说，随机变量X是随机变量序列{Xn} 在n趋于无穷时的均方极限。（m.s.收敛）
2 随机变量的特征函数
2.1 特征函数的定义 随机变量X的特征函数就是由X组成的 一个新的随机变量ejwX的数学期望，即
X ( ) E[e
jX
]
离散随机变量和连续随机变量的特征 函数分别表示为
X ( ) E[e X ( ) E[e
jX
] e
i
jxi
P{X xi } f X ( x)dx
2




X (1 , 2 )e
j1 x1 j 2 x2
d1d 2
Defining：第二特征函数
X (1, 2 ) ln X (1, 2 )
特征函数作用
可以简化各阶矩的运算 可以简化一维随机变量函数的运算
可以简化独立随机变量和的分布的计算
2.2 特征函数的性质
lim F ( xn ) F ( x)
n
四种收敛的关系
lim P( X n X ) 1
n
依概率收敛（p收敛，随机收 敛）
若对于给定的正数 0 ，随机变量序 列Xn满足
lim P{ X n X } 1
n
则称随机变量序列Xn依概率收敛于X
分布收敛（d收敛，弱收敛）
若Xn的概率分布函数在x的每一连续点 收敛于X的概率分布函数，则称随机变量序 列依分布收敛于随机变量X，记为

C1n C2 n Cnn
则n维联合概率密度函数为
f ( y) 1 ( 2 )
n 2
C
12
e
( y m )T C 1 ( y m ) 2
2 三. 分布
1) 中心 2 分布 若n个互相独立的高斯变量X1, X2,…, Xn的数学期望都为零，方差为1，它们 n 的平方和 2
r 2
( n 2 ) 2
n 1 n
( n 2 )
e
r2 2 2
r0
2) 莱斯分布 当高斯变量XΒιβλιοθήκη Baidu(I=1,2,…,n)的数学期望 为 mi 不为零时，
Y
2
Xi
i 1
n
2
是非中心 分布，而 R Y 则是 莱斯分布。
对于任意n值有
f R (r)
r
n2

2 n 2
2
Y Xi
i 1
n
2
2 为n个自由度的非中心 分布。
其概率密度为
fY ( y )
1 2
n
( ) 2
y

n 2 4
e
y 2 2
y In ( 2 ) y 0 1 2
mi
i 1

2
称为非中心分布参量
n2 m x ( ) 2 I n ( x) m 0 m! ( n m 1)
n
N
3.2.3 特征函数与矩函数的关系 矩函数与特征函数之间存在如下关系：
d X ( ) E[ X ] j | 0 d n n n d X ( ) E[ X ] ( j ) | 0 n d
3.2.4 特征函数与概率密度的关系
由定义可知，特征函数与概率密度 函数有类似傅氏变换的关系
如果随机变量序列{Xn}满足
lim E[( X n X ) ] 0 k 0
k n
那么该序列k阶收敛于X。
以概率1收敛（a.e.收敛，准处处收敛，强 收敛）
X n (e) X (e) 的概率为 若随机变量满足 lim n 1，则称随机变量序列Xn以概率1收敛于 X，记为
Y X X2 Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为 2 且相互独立的高斯变量，则
R Y X
2 1
2 1
2
X2
2
为瑞利分布。
R的概率密度为
f R (r)
r

2
e
r2 2 2
r0
对n个自由度的 分布，若令
2
R Y
X
i 1
n
2 i
则R为广义瑞利分布
f R (r)
概率分布函数
FX ( x)
1 2

x m


e dt (
t2 2
xm

)
对高斯变量进行归一化处理后的 随机变量，称为归一化高斯变量。即 令 Y X m ，归一化后的概率密 度为
fY ( y )
1 e 2
y2 2
服从标准正态分布N(0,1)的高 斯变量X，其特征函数为