高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）

一、选择题（3分×10）

1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.

A.3

B.4

C.5

D.6

2.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.

A.a∥b

B.a⊥b

C.a,b=

D.a,b=

3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.

A.{(x,y)|1

B.{(x,y)|x,y<0}

C.{(x,y)|1

D.{(x,y)|2+y^2

4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.

A.a·b=0

B.a×b=0

C.a-b=0

D.a+b=0

5.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.

A.2

B.-2

C.1

D.-1

6.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.

A.2/√2

B.-2/√2

C.2

D.-2

7.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.

A.p1 D.p≥1

8.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.

A.[-1,1]

B.(-1,1)

C.[-1,1)

D.(-1,1]

9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.

A.1/(1-x)

B.2/(1-x)^2

C.2/(1+x)

D.1/(1+x)

10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.

A.y=cx

B.y=e^x

C.y=cxe^x

D.y=ex

二、填空题（4分×5）

1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.

2.函数z=sin(xy)的全微分是

______________________________.

3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-

___________________________.

三、计算题（5分×6）

4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.

2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求

∂z/∂x.

3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量

i+j的值.

4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，

其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.

5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-

2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.

6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和

∂f/∂y在点(0,0)处连续.

1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则

方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，因此f(x)在[0,1]上必然存在一点c使得f(c)=0.又因为f(x)在(0,1)内连续，所以方程f(x)=0在(0,1)内至少存在一个实根。

2.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则下列函

数在[0,1]上必定存在零点的是（）。

A.2x-1

B.x^2-x

C.x^3-x

D.x^2-x+1

答案：B

解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.对于选项A，当x=1/2时，函数值为0；对于选项B，当x=0

或x=1时，函数值为0；对于选项C和D，它们在[0,1]上都没

有零点。因此，选项B是正确答案。

3.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则函数

g(x)=f(x)-x在[0,1]内必有（）个零点。

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.函数g(x)=f(x)-x在[0,1]上也连续，且g(0)=0，g(1)=0，因此

g(x)在[0,1]内必定存在至少一个零点。又因为g(x)是一次函数，所以在[0,1]内至多存在一个零点。因此，选项B是正确答案。

4.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则

下列结论错误的是（）。

A.方程f(x)=1有解

B.方程f(x)=1/2有唯一解

C.方程f(x)=x有唯一解

D.方程f(x)=x/2有解

答案：D

解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.对于选项A，因为f(1)=1，所以方程f(x)=1有解；对于选项B，因为f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，所以方程

f(x)=1/2有唯一解；对于选项C，因为f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，所以方程f(x)=x有唯一解；对于选项D，

因为f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，所以方程

f(x)=x/2在[0,1]内没有解。因此，选项D是错误的。

5.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则下列函

数在[0,1]上必定存在最小值的是（）。

A.2x-1

B.x^2-x

C.x^3-x

D.x^2-x+1

答案：C

解析：由题意可知，f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1.对于选项A，函数在[0,1]上单调递增，没有最小值；对于选项B，函数在[0,1]上单调递增，没有最小值；对于选项C，因为

f(x)在[0,1]上连续，所以在[0,1]上必定存在最小值；对于选项D，函数在[0,1]上单调递增，没有最小值。因此，选项C是正

确答案。

一、选择题

1、D

2、C

3、C

4、A

5、B

6、D

7、C

8、A

9、B 10、A