第2章 规则金属波导

y)e jz
H X
m1 n1
jw
kc2
m
b
Emn
s
in(
m
a
x) cos(n
b
y)e jz
H y
jw
k2
m1 n1
c
m
a
Emn
cos
(
m
a
x) sin( n
b
y)e jz
第2章 规则金属波导
Hz=0
式中,
k
m
2
n
2
，
Emn为模式电场振幅数。
a b
TM11模是矩形波导TM波的最低次模, 其它均为高次模。
n0
jwu kc2
m
a
m
Hmn sin( a
x) cos(n
a
y)e jz
EZ 0
第2章 规则金属波导
H X
m0 n0
j
kc2
m
a
H
mn
s
in(
m
a
x) cos(n
a
y)e jz
HY
m0 n0
j
kc2
m
b
m
Hmn cos( a
x) sin( n
a
y)e jz
式中,
k
m
2
n
2
a b
第2章 规则金属波导
EZ |S 0
式中， S表示波导周界。 而由式（2 -1 -18）
TM 波的波阻抗为
ZTM
EX Hy
w
u
1 kc2 / k 2
(2)TE
将Ez=0而Hz≠0 的波称为电场纯横向波, 简称TE波, 此时只 有纵向磁场，故又称为H波。 它应满足的边界条件为
HZ | s 0 n
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其中, A1A2B1B2为待定系数, 由边界条件确定。 由式（2 - 1 - 22）知, Hz
H x
|x0
H z x
|xa 0
H z y
|y0
H z y
|xb 0
将式（2 -2 -5）代入式（2 -2 -6）可得
A2 0 B2 0
Kx
m
a
Ky
n
b
第2章 规则金属波导
第2章 规则金属波导
第2章 规则金属波导
2.1 导波原理 2.2 矩形波导 2.3 圆形波导 2.4 波导的激励与耦合
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第2章 规则金属波导
第 2 章 规则金属波导
2.1导
1. 对由均匀填充介质的金属波导管建立如图 2 - 1 所示坐标 系, 设z轴与波导的轴线相重合。由于波导的边界和尺寸沿轴向 不变, 故称为规则金属波导。为了简化起见, 我们作如下假设: ① 波导管内填充的介质是均匀、 线性、 各向同性的; ② 波导管内无自由电荷和传导电流的存在;
③ kc是微分方程（2 -1 -11）在特定边界条件下的特征值, 它是一个与导波系统横截面形状、 尺寸及传输模式有关的参 量。 由于当相移常数β=0时, 意味着波导系统不再传播, 亦称为 截止, 此时kc=k, 故将kc 称为截止波数。
2.
描述波导传输特性的主要参数有: 相移常数、截止波数、 相速、波导波长、群速、波阻抗及传输功率。下面分别叙述.
于是矩形波导TE波纵向磁场的基本解为
Hz
A1B1
c
os(m
a
x) cos(n
b
y)e jz
Hmn
cos(m
a
x) cos(n
b
y)e jz
代入式（2 -1 -13）， TE 波其它场分量的表达式为
E X
m0 n0
jwu kc2
n
b
m
Hmn cos( a
x) sin(n
a
y)e jz
E y
m0
相速vp已不能很好地描述波的传播速度, 这时就要引入“群速” 的概念, 它表征了波能量的传播速度, 当kc为常数时, 导行波的 群速为
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vg
dw
d
1
d / dw
1
ur r
1 kc2 / k 2
3)
定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗, 即
z Et Ht
4)
由玻印亭定理, 波导中某个波型的传输功率为
Ez(x, y, z)=Eoz(x, y)e-jβz 同理, 纵向磁场也可表达为:
Hz(x, y, z)=Hoz(x, y)e -jβz
而Eoz(x, y), Hoz(x, y)满足以下方程:
第2章 规则金属波导
t2Eoz ( x, y) ke2EOZ ( x, y) 0 t2Hoz ( x, y) ke2HOZ ( x, y) 0
总之, 矩形波导内存在许多模式的波, TE波是所有TEmn模式场
的总和, 而TM波是所有TMmn模式场的总和。
2.
1)
由式（2 -2 -10）和（2 -2 -14）, 矩形波导TEmn和TMmn模 的截止波数均为
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kc2mm
m
a
2
n
b
2
对应截止波长为
cTEmn
cTMmn
第2章 规则金属波导
1)
在确定的均匀媒质中, 波数k=ω-με与电磁波的频率成正比, 相移常数β和k的关系式为
β=- k 2 kc2 k 1 k / k 2
2) 相速vp与波导波长λg
电磁波在波导中传播, 其等相位面移动速率称为相速, 于
是有
vp
2
2
k
1/ urr
1 kc2 / K 2
第2章 规则金属波导
第2章 规则金属波导
2)TM 对TM波, Hz=0, Ez=Eoz(x, y)e-jβz, 此时满足
12EOZ KC2 EOZ 0 其通解也可写为
Eoz(x, y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy) 由式（2 -1 -20）, 应满足的边界条件为
Ez(0, y)=Ez(a, y)=0 Ez(x, 0)=Ez(x, b)=0
kc2
要使上式成立, 上式左边每项必须均为常数, 设分别为
k
2 x
和
k
2 y
, 则有
d
2X( dx2
x)
k
2 x
X
(
x)
0
d
2Y ( y) dy2
k y2Y
(
y)
0
k
2 x
k
2 y
kc2
于是, Hoz(x, y)的通解为
Hoz(x, y)=(A1coskxx+A2 sinkxx)(B1 coskyy+B2sinkyy)
1 Re
2
s
(E H ).ds 1 Re 2
s (E Ht).azds
1 z 2s
Et
2
ds
z 2
s
2
Ht ds
第2章 规则金属波导
式中, Z为该波型的波阻抗。
3.
用以约束或导引电磁波能量沿一定方向传输的结构称为 导波结构，在其中传输的波称为导行波。导行波的结构不同， 所传输的电磁波的特性就不同，因此，根据截止波数kc的不同 可将导行波分为以下三种情况。
2)
K
2 C
＞0
这时β2＞0, 而Ez和Hz不能同时为零, 否则Et和Ht必然全为 零, 系统将不存在任何场。一般情况下, 只要Ez和Hz中有一个 不为零即可满足边界条件, 这时又可分为两种情形:
(1)TM
将Ez≠0而Hz=0的波称为磁场纯横向波, 简称TM波, 由于只 有纵向电场故又称为E波。 此时满足的边界条件应为
第2章 规则金属波导 图 2 – 1 金属波导管结构图
第2章 规则金属波导
③ 波导管内的场是时谐场。
由电磁场理论, 对无源自由空间电场E和磁场H满足以下矢 量亥姆霍茨方程:
2E K 2E 0 2H K2H 0
式中, k2=ω2με。 现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量, 即
E=Et+azEz H=Ht+azHz
这时β= k2 kc2 k 而相速vp= w/ c urr , 即相速比
无界媒质空间中的速度要慢, 故又称之为慢波。
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2.2
通常将由金属材料制成的、矩形截面的、内充空气的规 则金属波导称为矩形波导, 它是微波技术中最常用的传输系 统之一。
设矩形波导的宽边尺寸为a, 窄边尺寸为b, 并建立如图 2 2 所示的坐标。
为矩形波导TE波的截止波数,
显然它与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TE波沿x方
向和y方向分布的半波个数, 一组m、n, 对应一种TE波, 称作
TEmn模; 但m和n不能同时为零, 否则场分量全部为零。因此， 矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模; 其中TE10 模是最低次模, 其余称为高次模。
x
EZ )
x
w Ez )
y
Hy
j kc2
(
H Z x
w
Ez ) y
从以上分析可得以下结论:
① 在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程, 结
合相应边界条件即可求得纵向分量Ez和Hz, 而场的横向分量即 可由纵向分量求得;
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② 既满足上述方程又满足边界条件的解有许多, 每一个解 对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性;
1) KC2 =0 即kc=0 这时必有Ez=0和Hz=0, 否则由式（2 -1 -13）知Ex、Ey、Hx、 Hy将出现无穷大, 这在物理上不可能。这样kc=0 意味着该导行 波既无纵向电场又无纵向磁场, 只有横向电场和磁场, 故称为 横电磁波，简称TEM波。
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对于TEM波, β=k, 故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀 媒质中相同。而且由于截止波数kc=0, 因此理论上任意频率均 能在此类传输线上传输。 此时不能用纵向场分析法, 而可用二 维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析。
函数, 与(x, y)无关。只有二者均为一常数，上式才能成立, 设
该常数为γ2, 则有
t2EZ ( x, y) (k 2 r2 )EZ ( x, y) 0
d2 dz2
z(z)
r2z(z)
0
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上式中的第二式的形式与传输线方程(1 -1 -5)相同, 其通 解为
Z(z)=A+e -rz+A-erz A+为待定常数, 对无耗波导γ=jβ, 而β为相移常数。 现设Eoz(x, y)=A+Ez(x, y),
第2章 规则金属波导
用TE波相同的方法可求得TM波的全部场分量
EX
m1
n 1
j
kc2
m
a
Emn
cos
(
m
a
x) sin( n
b
y)e jz
E y
m1
n 1
j
kc2
m
b
Emn
s
in(
m
a
x) cos(n
b
y)e jz
Ez
m1 n1
m
Emn sin( a
x) sin( n
b
t2
2 x 2
2 y 2
,
上式可写作
(
2 x2
2 y 2
)Hoz ( x,
y)
kc2Hoz ( x,
y)
0
应用分离变量法, 令
Hoz(x, y)=X(x)Y(y)
代入式（2 -2 -2）, 并除以X(x)Y(y), 得
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1 X (x)
d 2X (x) dx2
1 Y (y)
d 2Y ( y) dy2
式中, k2c=k2-β2为传输系统的本征值。 由麦克斯韦方程, 无源区电场和磁场应满足的方程为
H jwE E jwE
将它们用直角坐标展开, 并利用式（2 -1 -10）可得:
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Ex
j kc2
(wu
Hz y
EZ x
)
E Hx
ykjkc2jc2(
(wu Hz y
HZ
下面以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式。
设2t为二维拉普拉斯算子, 则有
第2章 规则金属波导
利用分离变量法, 令
2
t2
2 z 2
代入式(2 -1 -3), 并整理得
(t2
k2)EZ (x, y)
d dz2
z(z)
EZ (x, y)
z(z)
上式中左边是横向坐标(x, y)的函数, 与z无关; 而右边是z的
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式中， S表示波导周界； n为边界法向单位矢量。 而由式（2 -1 -18）波阻抗的定义得TE波的波阻抗为
zTE
EX Hy
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u
1 1 kc2 / k 2
无论是TM波还是TE波,其相速vp=ω/β＞c/ 无界媒质空间中的速度要快, 故称之为快波。
3)
k
2 c
＜0
k 2 kc2 k均比
2
Kcmn
2 (m / a)2 (n / b)2
c
此时, 相移常数为
2
2
1
c
其中, λ=2π/k，为工作波长。
第2章 规则金属波导
式中, az为z向单位矢量, t表示横向坐标, 可以代表直角坐
标中的(x, y); 也可代表圆柱坐标中的(ρ, φ)。为方便起见, 下面
以直角坐标为例讨论, 将式（2 -1 -2）代入式(2 -1 -1), 整理后
可得
2EZ K 2EZ 0
2Et K 2Et 0 2HZ K 2HZ 0 2Ht K 2Ht 0
式中, c为真空中光速, 对导行波来说k＞kc, 故vp＞c/ urr , 即在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播
的速度要快。
导行波的波长称为波导波长, 用λg表示, 它与波数的关系式
为
g
2
2
k
1 1 kc2 / k 2
另外, 我们将相移常数β及相速vp随频率ω的变化关系称为 色散关系, 它描述了波导系统的频率特性。当存在色散特性时,
1. 由上节分析可知, 矩形金属波导中只能存在TE波和TM 波。下面分别来讨论这两种情况下场的分布。
1)TE
第2章 规则金属波导 图 2 – 2 矩形波导及其坐标
第2章 规则金属波导
此时Ez=0, Hz=Hoz(x, y)e-jβz ≠0, 且满足
12Hoz ( x, y) kc2HOZ ( x, y) 0