广东省开平市忠源纪念中学人教版高中数学必修三课件：132杨辉三角与二项式系数的性质（一）(共18张PPT)

2.(1-2x+3x2)7的展开式中所有项系数和是 128 3.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数
和是………（ A） A.2n+1-2 B.2n+1-1 C. 2n+1 D. 2n+1+1
4、已知：(2- 3X )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100， A=a0+a2+a4+…a100，B=a1+a3+a5+…+a99，
(a b)6
1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
百度文库
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
1.3.2杨辉三角和二项式系数性质
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 (律a b)n展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
求： A+B、A-B、A2-B2.
内容小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
例1 证明在(a+b)n的展开式中， 奇数项的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和．
练习：P35 2、1（2）(3)(1)
（一）求展开式中各项系数和
1.(2x-1)n的展开式的各项系数和为……（D ）
系数
C
2 n
取得最大值；
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
C
2 n
、
n1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1的增减情况由
nk k
1 决定．
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当 k n 1时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
A.2n+1
B.2n
C.0
D.1
求展开式中各项系数和常用赋值法： 令二项式中的字母为1
6、计算
Cn03n Cn13n1 2 Cn23n222 Cnr 3nr 2 r Cnn 2n
5.已知(3x-1)7＝a7x7+a6x6+…+a1x+a0， 求（1）a0
(2)a1+a2+…+a7; (3)a1+a3+a5+a7; (4)a0+a2+a4+a6.|a0|
2．二项式系数的性质
（1）对称性 与首末两端“等距离”
的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m得到．
图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于： Ckn
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以C
k n
相对于C
k n