2017届高三数学一轮总复习第七章立体几何7.8立体几何中的向量方法二——求空间角与距离模拟试题
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【状元之路】2017届高三数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.8 立体几何
中的向量方法(二)——求空间角与距离模拟试题
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1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。
(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；
(2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。
解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。 因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。
故AE ⊥平面A 1BC 。
由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。
故A 1D ∥AE 。
又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。
(2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。
由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，
得A 1B ＝A 1A ＝4。
由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。
由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。
由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得
BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43
，
由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－18。
方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。
由题意知各点坐标如下：
A 1(0,0，14)，
B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2， 2，14)。
因此A 1B →＝(0，2，－14)，BD →＝(－2，－2，14)，DB 1→
＝(0，2，0)。
设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)。
由⎩⎪⎨⎪⎧
m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧
2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0， 可取m ＝(0，7，1)。
由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧ 2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0，
可取n ＝(7，0,1)。
于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝18
。 由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值为－1
8
。
2．[2016·兰州模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点。
(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
(2)若二面角P －AC －E 的余弦值为63
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值。 解析：(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ，
∵底面ABCD 是直角梯形，
且AB ＝2AD ＝2CD ＝2， ∴AC ＝2，BC ＝2。
∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AC ⊥BC ，
∵PC ∩BC ＝C ，
∴AC ⊥平面PBC ，
∵AC ⊂平面EAC ，
∴平面EAC ⊥平面PBC 。
(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz 。 设PC ＝a ，
则A (0,0,0)，C (1,1,0)，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，a 2，P (1,1，a )，
B (0,2,0)。
∴AC →＝(1,1,0)，AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，a 2，AP →＝(1,1，a )，BC →
＝(1，－1,0)。
设平面EAC 的法向量为v ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ v ·AC →
＝0，v ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，
x ＋3y ＋az ＝0， 令x ＝1，则v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，2a ，
∵BC ⊥平面PAC ，
∴平面PAC 的一个法向量为u ＝BC →
＝(1，－1,0)， 设二面角P －AC －E 的大小θ，
则cos θ＝v ·u |v |·|u |＝1×1＋ －1 × －1 ＋0×2
a 2× 2＋4a 2
＝6
3
，解得a ＝2，
∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
cos 〈v ，AP →〉＝v ·AP →
|v |·|AP →|
＝1×1＋1× －
1 ＋2×1
3×6＝2
3。