随机过程习题解答(习题课_1)

中科院研究生院 2005～2006 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
随机过程习题解答（一）
1、设随机向量 ( X , Y ) 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布 N (0,1) 。 （a）分别写出随机变量 X + Y 和 X − Y 的分布密度 （b）试问： X + Y 与 X − Y 是否独立？说明理由。 解： （a） X + Y ~ N (0,2), （b）由于：
D{ X (t )} = ∫ A 2 cos 2 (ω c t + ϕ )
−π
（b） R XY (t1 , t 2 ) = E{ X (t1 )Y (t 2 )} = 0
1 1 P33/1．解： （1） P{η n = k} = C 2 2
k n
k
n−k
1 =C 2
) ( µσ
=
2 1
σ1 µ2
2 2 2 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2
)
ρ ZX < 1 ，故 Z 和 X
（b）当 ρ XZ = 0 的时候，即 σ 1 µ 2 = 0 时， Z 和 X 不相关，由于 之间不会有严格的线性关系。
3 、 设 { X (t ), t ≥ 0} 是 一 个 实 的 均 值 为 零 ， 二 阶 矩 存 在 的 随 机 过 程 ， 其 相 关 函 数 为
k n
n
10 1 k C , k ≥ 10 （2） P{n = k} = k 2 0, k < 10
P33/2．解：
ξ (t ) =
A 0
nT < t ≤ nT + η nT + η < t ≤ (n + 1)T
其中 n 为整数，η 为脉宽
0 0 t Fξ ( x, t ) = P{0 ≤ η < t − [t / T ]T ≤ T } = − [t / T ] T 1 1
2 2
（a）试求 Z = XY 和 X 的相关系数； （b） Z 与 X 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解： （a）利用 X , Y 的独立性，由计算有：
Cov( Z , X ) = E{[ XY − E ( XY )][ X − E ( X )]} = [σ 12 + µ12 ]µ 2 − µ12 µ 2 = σ 12 µ 2
从而有一维分布密度：
2
x<0 0≤ x< A x≥ A
中科院研究生院 2005～2006 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
t t f ξt ( x, t ) = − [t / T ]δ ( x) + 1 − + [t / T ]δ ( x − A) T T
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
4
中科院研究生院 2005～2006 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
P36/7．证明： (1)
Rξξ (t1 , t 2 ) = ∫ η 2 cos t1 cos t 2 dη =
1 0
1
1 cos t1 cos t 2 3
1
(2) 由协方差函数的定义，有：
Cξξ (t1 , t 2 ) = Rξξ (t1 , t 2 ) − ∫ η cos t1 dη ⋅ ∫ η cos t 2 dη
孙应飞
D[ X (t ) − X (t + T )] = D[ X (t )] + D[ X (t + T )] − 2 E{[ X (t ) − EX (t )][ X (t + T ) − EX (t + T )]} = B(0) + B(0) − 2 E{ X (t ) X (t + T )} = B(0) + B(0) − 2 B(T ) = 0
Rηη (n1 , n 2 ) =
1≤i ≤ n1 1≤ j ≤ n2 i≠ j
∑ E (ξ ξ
i
j
) + n ⋅ 1 = [n ⋅ ( N − 1)]( p − q ) 2 + n = (n1 ⋅ n 2 − n)( p − q ) 2 + n
Cηη (n1 , n 2 ) = Rηη (n1 , n 2 ) − E (η (n1 )) ⋅ E (η (n2 )) = (n1 ⋅ n2 − n)( p − q ) 2 + n − n1 ( p − q ) ⋅ n 2 ( p − q ) = 4npq
4、考察两个谐波随机信号 X (t ) 和 Y (t ) ，其中：
X (t ) = A cos(ω c t + φ ), Y (t ) = B cos(ω c t )
式中 A 和 ω c 为正的常数； φ 是 [− π , π ] 内均匀分布的随机变量， B 是标准正态分布的随机 变量。 （a）求 X (t ) 的均值、方差和相关函数； （b）若 φ 与 B 独立，求 X (t ) 与 Y (t ) 的互相关函数。 解： （a） E{ X (t )} = 0
R XX (t1 , t 2 ) = E{ X (t1 ) X (t 2 )} = = ∫ A 2 cos(ω c t1 + ϕ ) cos(ω c t 2 + ϕ )
−π
π
A2 1 dϕ = cos(ω c (t1 − t 2 )) 2π 2
=
π
A2 cos ω cτ τ = t1 − t 2 2 1 A2 dϕ = 2π 2
2 2 2 2 D( Z ) = E ( Z 2 ) − E 2 ( Z ) = E ( X 2 ) E (Y 2 ) − µ12 µ 2 = µ12σ 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2
ρ ZX =
2 2 2 σ 1 µ12σ 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2
(
σ 12 µ 2
∑ξ ⋅ ∑ξ
i =1 i j =1
n1
n2
j
) = E(
1≤i ≤ n1 1≤ j ≤ n2
∑ξ ξ
i
j
)=
2
1≤i ≤ n1 1≤ j ≤ n2
∑ E (ξ ξ
i
j
)
当 i = j 时， E (ξ i ξ j ) = 1 ；否则 E (ξ i ξ j ) = ( p − q ) 令 n = min(n1 , n 2 ) ， N = max(n1 , n2 ) ，则有
我们有 (V , φ ) 的联合分布密度为：
− 1 f (V ,φ ) (v, ϕ ) = ve 2 2π v2
v ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
因此有：
f V (v) = ve
−
v2 2
v≥0
f φ (ϕ ) =
且 V 和 φ 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。
1 2π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
X +Y 是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： X −Y 1 1 1 0 1 1 2 0 D = BE2 B T = = 1 − 1 0 1 1 − 1 0 2
因此 X + Y 与 X − Y 独立。 2、设 X 和 Y 为独立的随机变量，期望和方差分别为 µ1 , σ 1 和 µ 2 , σ 2 。
P35/6．证明：由均值函数的定义，有：
E{η (t )} = 1 × P{η (t ) = 1} + 0 × P{η (t ) = 0} = P{η (t ) = 0} = P{ξ (t ) < x} = Fξ ( x, t )
由自相关函数的定义，ห้องสมุดไป่ตู้：
Rηη (t1 , t 2 ) = E{η (t1 )η (t 2 )} = 1 × 1P{η (t1 ) = 1,η (t 2 ) = 1} + 1 × 0 P{η (t1 ) = 1,η (t 2 ) = 0} + + 0 × 1P{η (t1 ) = 0,η (t 2 ) = 1} + 0 × 0 P{η (t1 ) = 0,η (t 2 ) = 0} = P{η (t1 ) = 1,η (t 2 ) = 1} = P{ξ (t1 ) < x, ξ (t 2 ) < y} = Fξ ( x, y; t1 , t 2 )
0 0
1 1 1 = cos t1 cos t 2 − cos t1 cos t 2 = cos t1 cos t 2 3 4 12
P37/10. 解： （1） E (η ( n)) = nE (ξ i ) = n ⋅ [ q ⋅ ( −1) + p ⋅ 1] = n( p − q ) （2） Rηη (n1 , n 2 ) = E (
ξ (t ) =
反函数 τ 0 = T + t −
A (t + T −τ 0 ) T
t ∈ [τ 0 − T , τ 0 ]
T ξ (t ) ，因此有一维分布： A 1 dτ 0 1 T 1 = ⋅ = f ξt ( x) = T dx T A A 0 x ∈ (0, A) 其它
P35/4. 解：(1)
E{ X ( s ) X (t )} = B(t − s ), s ≤ t ，且是一个周期为 T 的函数，即 B (τ + T ) = B(τ ), τ ≥ 0 ，
试求方差函数 D[ X (t ) − X (t + T )] 。 解：由定义，有：
1
中科院研究生院 2005～2006 第一学期
随机过程讲稿
2
所以 P ( A) = P (ξ + η > c) ，因此 当 c ≤ 0 时，
P ( A) = 1
当 c > 0 时，
P ( A) = 1 − P( ξ 2 + η 2 ≤ c )
由（1）中的结论，有： P ( A) = 1 − FV ( c ) = e
− c 2
P35/5. 解： （1） E{ς (t )} = E{ξ cos ω t + η sin ω t} = E{ξ } cos ω t + E{η} sin ω t = 0 （2）
ς (t ) = V sin (ωt + φ )
其中： ξ = V cos φ , η = V sin φ , V =
ξ 2 +η 2
由题意可知， (ξ ,η ) 的联合概率密度为：
f (ξ ,η ) ( x, y ) =
利用变换：
1 exp{−( x 2 + y 2 ) / 2} 2π
x = v cos ϕ ⇒ v = x 2 + y 2 ，及雅克比行列式： y = v sin ϕ ∂x ∂v J= ∂y ∂v ∂x ∂ϕ =v ∂y ∂ϕ
X − Y ~ N (0,2)
1 1 X X + Y 1 1 X 1 − 1 , det B = −2 ≠ 0 Y , B = 1 − 1 Y = B X −Y =
因此
R (t1 , t 2 ) = E{ς (t1 )ς (t 2 )} = E{[ξ cos ω t1 + η sin ω t1 ][ξ cos ω t 2 + η sin ω t 2 ]} = E{ξ 2 } cos ω t1 cos ω t 2 + E{η 2 } sin ω t1 sin ω t 2 + E{ξη} cos ω t1 sin ω t 2 + E{ηξ } sin ω t1 cos ω t 2 = E{ξ 2 } cos ω t1 cos ω t 2 + E{η 2 } sin ω t1 sin ω t 2 + E{ξ }E{η} cos ω t1 sin ω t 2 + E{η}E{ξ } sin ω t1 cos ω t 2 = E{ξ 2 } cos ω t1 cos ω t 2 + E{η 2 } sin ω t1 sin ω t 2 = cos ω t1 cos ω t 2 + sin ω t1 sin ω t 2 = cos[ω (t1 − t 2 )]
（3）给定一时刻 t ，由于 ξ , η 独立、服从正态分布，因此 ς (t ) 也服从正态分布，且
E (ς (t )) = E (ξ cos ωt + η sin ωt ) = cos ωtE (ξ ) + sin ωtE (η ) = 0
3
中科院研究生院 2005～2006 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
D(ς (t )) = D(ξ cos ωt + η sin ωt ) = D(ξ cos ωt ) + D(η sin ωt ) = cos 2 ωtD(ξ ) + sin 2 ωtD(η ) = 1
所以 ς (t ) ~ N (0,1) 。 （4） 由于：
2ω
π
2
∫
π ω
0
ς 2 (t )dt = ξ 2 + η 2