浮点运算方法和浮点运算器

浮点加减法运算
舍入
（1） “0舍1入”法，即右移时丢掉的最高位为0，则 舍去；是1，则将尾数的末位加1(相当于进入)。 （2）“恒置1”法，即不管移掉的是0还是1，都把尾数 的末位置1。
溢出处理
阶码最高位为00或11不溢出 [E]补=01 XX…X为上溢，真正溢出，需做溢出处理。 [E] 补=10 XX…X为下溢，浮点数值趋于零，用机器零 表示。
解:浮点表示为: [X]浮= 00 010，0. 11011011 [Y]浮= 00 100，1. 01010100 （１）对阶
原则:小阶向大阶 • 设△E>0,表示Eｘ>Eｙ，则移动y的尾数，Mｙ右移△E 位，问题：为什么要小阶向大阶看齐？
• 阶差=Ex-Ey=00 010- 00 100 =11 110 • 即阶差为-2，Mx右移两位，Ex加2
2.6 浮点运算方法和浮点运算器
2.6.1 浮点加法、减法运算 2.6.2 浮点乘法、除法运算 2.6.3 浮点运算流水线 2.6.4 浮点运算器实例
2.6.1 浮点加法、减法运算
1、浮点加减运算
设有两个浮点数ｘ和ｙ,它们分别为 ｘ＝2Eｘ· Mｘ ｙ＝2Eｙ· Mｙ 其中 E ｘ和 E ｙ分别为数ｘ和ｙ的阶码 ,M ｘ和 M ｙ为 数ｘ和ｙ的尾数。两浮点数进行加法和减法的运算规 则是 ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ)2Eｙ， 设Eｘ<＝Eｙ
[X]浮=00100, 0.00110110(11)
（2）尾数求和
+
０．００１１０１１０（１１） １．０１０１０１００ １．１０００１０１０（１１）
（3）规格化和舍入处理
结果的符号位与最高符号数值位相同， 应执行左规处理，所谓左规格化的规则， 就是尾数左移1位，阶码减1，所以结果为 1.00010101(10) ，阶码为00 011 舍入处理,采用0舍1入法处理，则有 1. 0 0 0 1 0 1 0 1 ＋ 1 1. 0 0 0 1 0 1 1 0
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本章小结

一个定点数由符号位和数值域两部分组成。按小数点位置 按IEEE754标准，一个浮点数由符号位S、阶码E、尾数M 三个域组成。其中阶码E的值等于指数的真值e加上一个固 为了使计算机能直接处理十进制形式的数据，采用两种表 示形式：(1)字符串形式，主要用在非数值计算的应用领域； (2)压缩的十进制数串形式，用于直接完成十进制数的算术
(4).判溢出 阶码不溢出。所以最终的结果为 X+Y=2011*（-0.101）
2.6.2 浮点乘法和除法运算



设有两个浮点数ｘ和ｙ： ｘ＝2Eｘ· Mｘ ｙ＝2Eｙ· Mｙ ｘ×ｙ＝2(Eｘ＋Eｙ)· (Mｘ×Mｙ) ｘ÷ｙ＝2(Eｘ－Eｙ)· (Mｘ÷Mｙ) 乘除运算分为四步





在流水线中必须是连续的任务，只有不断的提供任务才能充 分发挥流水线的效率 把一个任务分解为几个有联系的子任务。每个子任务由一个 专门的功能部件实现 在流水线中的每个功能部件之后都要有一个缓冲寄存器，或 称为锁存器 流水线中各段的时间应该尽量相等，否则将会引起“堵塞” 和“断流”的现象 流水线需要有装入时间和排空时间，只有当流水线完全充满 时，才能充分发挥效率
0操作数检查 阶码加减操作 尾数乘除操作 结果规格化和舍入处理
2.6.2 浮点乘法和除法运算
•浮点乘、除法的运算步骤： 1.浮点数的阶码运算 阶码通常用补码和移码形式表示。对于 移码来说：（课本的证明） [X+Y]移=[X]移+[Y]补 [X-Y]移=[X]移+[-Y]补 在用移码进行计算时，判断溢出的条件 是当结果的最高符号位为1时，则产生了溢 出。
丢失
两个负数相加,结果为正数, 说明产生了溢出.
但是在浮点数的运算中，只有当阶码产生溢出时，才是溢出。 此时只是说明尾数的结果为不规格化数，应进行右规。
(3).规格化和舍入处理
由于结果产生了溢出，应执行右规处理，所谓右规格 化的规则，就是尾数右移1位，阶码加1，所以结果为 1.011(1) ，阶码为011 舍入处理,采用恒舍法处理，则有尾数为1.011
2.6.2 浮点乘法和除法运算

移码采用双符号位，为了对溢出进行判断 01 为正 00 为负 10 上溢 11 下溢
ｘ＝＋011,ｙ＝＋110,求[ｘ＋ｙ]移 和 [ｘ－ｙ]移,并判断是否溢出。
[ｘ]移＝01 011, [ｙ]补＝00 110, [－ｙ]补＝11 010 [ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]补＝10 001, 结果上溢。 [ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]补＝00 101, 结果正确,为－3。

本章小结

数的真值变成机器码时有四种表示方法：原码表示法，反 码表示法，补码表示法，移码表示法。其中移码主要用于 表示浮点数的阶码E，以利于比较两个指数的大小和对阶 字符信息属于符号数据，是处理非数值领域的问题。国际 上采用的字符系统是七单位的ASCII码。直接使用西文标 准键盘输入汉字，进行处理，并显示打印汉字，是一项重 大成就。为此要解决汉字的输入编码、汉字内码、字模码 等三种不同用途的编码。
解:浮点表示为: [X]浮=001，1. 001 [Y]浮=010，0. 101 （１）对阶 [△E]补=[Ex]补-[Ey]补=001+110=111 即△E为-1，X的阶码小，应使Mx右移1位， Ex加1， 得: [X]浮=010, 1.100（1）
(2).尾数求差: [-Y]补=1.011 1 . 1 0 0 （1） + 1.011 1 1 0 . 1 1 1 (1)
只要尾数最低为1或者移出位中有1数值位，使最低位置1 0舍1入 * 尾数用补码表示时 丢失的位全为0，不必舍入。 丢失的最高位为0，以后各位不全为0时；或者最高为1， 以后各位全为0时，不必舍入。 丢失的最高位为1，以后各位不全为0时，则在尾数的 最低位入1的修正操作。

2.6.2 浮点乘法和除法运算
流水线原理
设过程段 S i 所需的时间为 τ i , 缓冲寄存器的延时为 τ l,线性流水线的时钟周期定义为 τ ＝max{τ i}＋τ l＝τ m＋τ l 流水线处理的频率为 f＝1/τ 。
流水线原理
一个具有 k 级过程段的流水线处理 n 个任务需要的时钟 周期数为Tk＝k＋(n－1)， 所需要的时间为： T＝Tk × τ 而同时，顺序完成的时间为：T＝n×k×τ k级线性流水线的加速比： Ck ＝ TL ＝ n· k Tk k＋(n－1)
判溢出 阶码的符号位为 00 ，不溢出。所以最终的 结果为： X+Y=2011*（-0.11101010）
结果规格化 (1)在浮点加减运算时,尾数求和的结果也可以得到 01.ф …ф 或10.ф …ф ,即两符号位不等,此时将运算结 果右移以实现规格化表示,称为向右规格化。 规则：尾数右移1位，阶码加1 (2)结果是00.0..01.....或11.1...10...时，则向左规 格化 规则：尾数左移1位，阶码减1，直到规格化 右规，阶码加1，左规，阶码减1 例子中左规为11.00010101（10），阶码减1为00011 练习：01.1101 10.0001 11.1001
2.6.1 浮点加法、减法运算
•浮点数的加法、减法运算
设有两个浮点数的分别为X=Mx*2Ex，Y=My*2Ey， 实现浮点加减法算的基本步骤分为四步完成： 0操作数检查：用来判断两个操作数中是否有一 个为0. 对阶操作：即比较两个浮点数的阶码值的大小， 求E=Ex-Ey，然后将小阶对大阶。 尾数进行加或减运算：实现尾数的加减运算， 执行两个完成对阶后的浮点数的求和（差）的过程

溢出判断和处理

课堂作业

设[ｘ1]补＝11.01100000,
[ｘ2]补＝11.01100001, [ｘ3]补＝11.01101000, [ｘ4]补＝11.01111001,
求执行只保留小数点后4位有效数字的 舍入操作值。
• 例：设X=2001*（-0.111），Y=2010*0. 101 ，求X-Y.(假设两数均以补码表示,阶码采 用3位,尾数采用4位，均包括符号位.)
设有浮点数ｘ＝2－5×0.0110011,ｙ＝ 23×(－0.1110010),阶码用4位移码表示,尾数 (含符号位)用8位补码表示。求[ｘ×ｙ]浮。要 求用补码完成尾数乘法运算,运算结果尾数保 留高8位(含符号位),并用尾数低位字长值处理 舍入操作。
[解:] 移码采用双符号位,尾数补码采用单符号位,则有 [Mｘ]补＝0.0110011, [Mｙ]补＝1.0001110, [Eｙ]移＝01 011, [Eｙ]补＝00 011, [Eｘ]移＝00 011, [ｘ]浮＝00 011, 0.0110011, [ｙ]浮＝01 011, 1.0001110 (1)判断操作是否为”0”,求阶码和 [Eｘ＋Eｙ]移＝[Eｘ]移＋[Eｙ]补＝00 011＋00 011＝00 110, 值为移码形式－2。 (2) 尾数乘法运算可采用补码阵列乘法器实现,即有 [Mｘ]补×[Mｙ]补＝[0.0110011]补×[1.0001110]补 ＝[1.1010010,1001010]补 (3) 规格化处理 乘积的尾数符号位与最高数值位符号相同,不是规格化的数,需 要左规,阶码变为00 101(-3), 尾数变为 1.0100101,0010100。 (4) 舍入处理 尾数为负数,取尾数高位字长，按舍入规则,舍去低位字长，故 尾数为1.0100101 。 最终相乘结果为 [ｘ×ｙ]浮＝00 101,1.0100101 其真值为 ｘ×ｙ＝2－3×(－0.1011011)
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规格化：若得到的结果不满足规格化规则，就 必须把它变成规格化的数。
规格化规则： 尾数的符号为01或10时，绝对值大于1，尾数 右移1位，阶码+1
尾数的符号为11或00时，补码表示的数往左移 n位，将尾数移成1.0或0.1
注意：在执行对阶或右规操作时，会使位数低位上的 一位或若干位的数值被移掉，使数值精度受到影响， 可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。

舍入处理（对阶和向右规格化时）


就近舍入(0舍1入):类似”四舍五入”,丢弃 的最高位为1,进1 朝0舍入:截尾 朝＋∞舍入:正数多余位不全为”0”,进1;负 数,截尾 朝－∞ 舍入:负数多余位不全为”0”,进1;正 数,截尾
阶码上溢，一般将其认为是＋∞和－∞ 。 阶码下溢，则数值为0
2.6.1 浮点加法、减法运算
2.6.1 浮点加法、减法运算
[例25] 设x＝22×0.11011011,y=24×0.10101100
1、0操作数检查（非0） 2、对阶：阶码对齐后才能加减。规则是阶码小的向 阶码大的数对齐； 若△E＝0,表示两数阶码相等,即Eｘ＝Eｙ； 若△E>0,表示Eｘ>Eｙ； 若△E<0,表示Eｘ>Eｙ。 当Eｘ≠Eｙ 时,要通过尾数的移动以改变Eｘ或Eｙ, 使之相等。
2.
浮点数的尾数处理 第一种方法：无条件地丢掉正常尾数最 低位之后的全部数值，这种方法称为截断 处理。 第二种方法：运算过程中保留右移中移 出的若干高位的值，最后按某种规则用这 些位上的值修正尾数，这种处理称为舍入 处理。
2.6.2 浮点乘法和除法运算

尾数处理

截断 舍入 * 尾数用原码表示时

流水线浮点运算器
A＝a×2P, B＝b×2q 在4级流水线加法器中实现上述浮点加法时, 分为以下操作： (1) 求阶差 (2) 对阶 (3) 相加 (4) 规格化
2.6.4浮点运算器实例

浮点运算器实例


CPU之外的浮点运算器（数学协处理器）如80287 完成浮点运算功能，不能单用。 可以和80386或80286异步并行工作。 高性能的80位字长的内部结构。有8个80位字长以堆栈方式 管理的寄存器组。 浮点数格式完全符合IEEE标准。 CPU之内的浮点运算器（486DX以上）
2.6.2 浮点乘法和除法运算

实现的逻辑框图
C A M
阶码加法器
尾数相加以 及控制线路
C
B
2.6.3 浮点运算流水线
1、提高并行性的两个渠道： 空间并行性：增加冗余部件，如增加多操作部件处 理机和超标量处理机 时间并行性：改善操作流程如：流水线技术
2.6.3 浮点运算流水线
2、流水技术原理