直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程
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直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程
归纳整理:杜响
1.斜率公式
21
21
y y k x x -=
-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).
2.直线的五种方程
(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
(3)两点式
11
2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).
(4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、)
(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
3.两条直线的平行和垂直
(1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111
12222
||A B C l l A B C ⇔
=≠
; ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=; 4.夹角公式
(1)21
21
tan |
|1k k k k α-=+.
(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)12
21
1212
tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2
π. 5. 1l 到2l 的角公式
(1)21
21
tan 1k k k k α-=
+.
(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是
2
π. 6.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是
0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.
83.点到直线的距离
d =
点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).
7. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=,则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是:
若0B ≠,当B 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的上方的区域;当B 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
8. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠),则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是: 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.
9. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.
(2)圆的一般方程 2
20x y Dx Ey F ++++=(22
4D E F +->0).
(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
.
(4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
10. 圆系方程
(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=
1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是
待定的系数.
(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :2
2
0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是
22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.
(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :22
2220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是
2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.
11.点与圆的位置关系
点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =
d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.
12.直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;