知识讲解随机事件的概率提高

随机事件的概率
【学习目标】
1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；
2.正确理解事件A出现的频率的意义；
3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系；
4.通过实例了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据二者概念辨别一些事件是否是互斥是否是对立，初步学会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。

【要点梳理】
要点一：随机现象
（1）必然现象
在一定条件下必然发生某种结果的现象。

（2）在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象。

（3）试验
把观察到随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察的结果或实验的结果称为试验的结果。

要点二：随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；
确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件.
(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件.
要点诠释：
1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；
2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.
要点三：基本事件与基本事件空间
基本事件的概念类似于集合中元素的概念，试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件（或试验结果），基本事件不能分解，不能同时发生相当于集合中元素的互异的现象。

基本事件具有如下性质：
（1）不能或不必分解为更小的随机事件；
（2）不同的基本事件不可能同时发生。

要点诠释：
①基本事件与试验结果是同一概念，随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件。

②基本事件空间是必然事件，因为基本事件空间是由全体随机事件构成的，也是一个随机事件，而这个随机事件总是发生，当然是必然事件。

要点四：随机事件的频率与概率
1．频率与频数
在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()A n n f A n
为事件A 出现的频率。

2．概率 事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率n
m 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).
由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
要点诠释：
（1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用A n n
来表示()P A 越精确。

（2）任一事件A 的概率范围为0()1P A ≤≤，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[01]，范围内，则运算结果一定是错误的.
3．概率与频率的关系
（1）频率是概率的近似值。

随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，事件的概率未知时，常用频率作为它的估计值。

（2）频率是一个随机数
频率在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同。

（3）概率是一个确定数
概率是客观存在的，与每次试验无关。

（4）概率是频率的稳定值
随着试验次数的增加，频率就会逐渐地稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是概率。

要点五：事件间的关系
(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
(2)对立事件：不能同时发生，且必有一个发生的两个事件叫做对立事件；
(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；
要点诠释：
从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补.
若两事件A与B对立，则A与B必为互斥事件，而若事件A与B互斥，则不一定是对立事件.
“对立”只能是两个事件之间的关系，不会出现多个事件之间相互“对立”.
要点六：概率的加法公式
1．事件A与B的并（或和）和事件A与B的交（或积）
（1）一般地，由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A、B都发生）所构成的事件
C ，称为事件A 与事件B 的并（或和），记作C=A ∪B.
（2）把由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积），记作D=A ∩B.
2．互斥事件的概率加法公式
（1）设事件A 和事件B 是两个互斥事件，则P(A ∪B)=P(A)+P(B)；
（2）如果事件12,,n A A A ⋅⋅⋅两两互斥，那么1
212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅。

3．对立事件概率的求法 事件A 的对立事件A 的概率()1()P A P A =-。

要点诠释：
(1)在应用互斥事件的概率加法公式时，需先判断相关事件是否互斥，特别是在两事件中有一个或两个是由多个事件组成的并事件时，需仔细分清并事件中的每一事件是否都与另一事件互斥.在不互斥的事件中应用互斥事件的概率加法公式是本部分易错点之一.
（2）在求某些稍复杂的事情的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先求此事件的对立事件的概率.
（3）“对立”更多的是一种解题思想，若某个事件的概率不易求解，而其对立事件的概率较易求，则应从其对立事件的概率入手求解，以提高解决问题的效率.“对立”思想推广开来即数学中的“正难则反”的思想，若从某个角度解决问题较复杂，不妨考虑其对立面，往往有较好的效果，如反证法的应用等.
【典型例题】
类型一：概率的意义
例1．掷一枚硬币，连续出现10次正面朝上，试就下面两种情况进行分析．
（1）若硬币是均匀的，出现正面向上的概率是12
，由于连续出现10次正面，则下次出现反面朝上的概率必大于12
，这种理解正确吗？ （2）若就硬币是否均匀作出判断，你更倾向于哪一种结论？
【答案】（1）不正确（2）硬币不均匀
【解析】 （1）对于均匀硬币，抛掷一次出现正面向上的概率是12，大多数次抛硬币时，大约有12
出现正面朝上，而对于抛掷一次来说，其结果是随机的，多次重复抛硬币试验，其结果又呈现一定的规律性，实际上，连续抛掷10次均正面朝上的概率为1010.00097662
．尽管比较小，但发生的可能性是有的．对于第11次来说，其出现正面的概率仍为12
． （2）由（1）知，对于均匀硬币来说，连续10次出现正面朝上的概率很小，几乎是不可能发生的，但这个事件却发生了．根据极大似然法，如果就硬币是否均匀作出判断，我们更倾向于这一枚硬币是不均匀的，即反面可能重一些．
【总结升华】 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会越来越接近于该随机事件发生的概率．认识了这种随机性的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性
概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，频率是概率的近似值，同频率一样，概率也反映了事件发生可能性的大小。

但概率只提供了一种“可能性”，并不是精确值．
举一反三：
【变式1】某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？
【答案】不一定
【解析】从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只
有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为
9
10
n，其中n为射击次数，而且当n越大时，击中的次数就
越接近
9
10
n。

类型二：频率与概率
例2．某人做了三次向桌面投掷硬币的试验，这三次试验的结果如下：第一次
第二次
第三次
（1）就这三个表格，谈一谈你对频率是一个随机数的认识．
（2）设想：把这三个表格里面的试验次数不断地增加．预测1：每一个表格里面的试验次数增至原来的10倍时，这三次试验中，正面向上的频率是0.5；预测2：随着试验次数的不断增加，这三次试验中，反面向上的概率都是0.5．预测1、预测2正确吗？
【解析】 （1）第一次试验中，正面向上的频率14991000f =
． 第二次试验中，正面向上的频率24971000f =
． 第三次试验中，正面向上的频率3149749930001000
f ==． 12f f ≠，说明相同的试验次数下频率可以不同；13f f =，说明不同的试验次数下频率可以相同；23f f ≠，说明不同的试验次数下频率可以不同．
综上，就本例提供的信息而言，频率是一个随机数．
（2）预测1不正确．
以第一次试验为例，当试验次数增至原来的10倍时，试验次数为10000，这时正面向上的频率是0.5，也就是正面向上的次数刚好是5000，这种说法是不对的，因为它有可能是4999，4998，…，也有可能是5001，5002，…，当然不排除它确有可能是5000．
综上，预测1不正确．
预测2正确．
当试验次数不断地增加时，反面向上的频率就会逐渐地稳定在常数0.5上，即三次试验中，反面向上的概率都是0.5．
【总结升华】 频率()n f A 依赖于试验次数n 、频率n A ，即()A n n f A n
=，它是一个随机数．概率P （A ）
f A稳定于区间[0，1]中的一个常数，概率是一个确定的数，它是客是指随着试验次数n的增加，频率()
n
观存在的，与每次试验无关．例如，本例的第（2）小题的预测1说明了频率与试验次数、频数有关，它是一个随机数，预测2说明了概率与每次试验无关，它是客观存在的一个确定的数．举一反三：
【变式1】如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位
从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟）10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数0 4 16 16 4
（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【答案】（1）0.44（2）略（3）甲应选择L1；乙应选择L2
【解析】
（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，∴用频率估计相应的概率为0.44．
（2）选择L1的有60人，选择如的有40人，故由调查结果得频率为：
（3）A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，P（A1）＞P（A2），
∴甲应选择L1；
P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1），
∴乙应选择L2．
类型三：随机事件的关系
例3.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E．
【答案】（1）不是互斥事件（2）对立事件（3）不是互斥事件（4）不是互斥事件（5）不是互斥事件【解析】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E
是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B 与E还是对立事件．
（3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
（4）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C不是互斥事件．
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况，事件C与事件E 可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
【总结升华】一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件.
举一反三：
【变式1】判断下列给出的条件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
【答案】（1）是互斥事件，但不是对立事件（2）既是互斥事件，又是对立事件（3）既不是互斥事件，也不是对立事件
【解析】
(1)是互斥事件，但不是对立事件.
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生.
(3)既不是互斥事件，也不是对立事件
理由：有可能抽出的牌既是5的倍数，又是点数大于9，如抽得的点数为10的牌.
【变式2】把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个.事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是( )
(A)互斥但非对立事件(B)对立事件
(C)相互独立事件 (D)以上都不对
【答案】A
类型四：随机事件概率的应用
例4．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一（2）班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看．
【答案】机会一样大
【解析】其实机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1、2、3，抽到1就表示中签，设抽签的次序
为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：
从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．
【总结升华】抽签中每一个个体被抽到的概率均是相同的，实际上在任何一个抽奖活动中，在前面一个人抽奖而后一个人未知结果的情况下，每个人抽到每张奖票中奖的概率也是相同的，但是由于中奖率太低，所以真正中奖的概率非常小，有兴趣的同学可以统计一下发生在你身边的彩票中奖情况．举一反三：
【变式1】如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B．转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
【答案】不公平
【解析】列表如下：
B
A
3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因为P（和为6）=
31
124
，所以甲、乙
获胜的概率不相等所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则是公平的．
类型五：互斥事件与对立事件的概率
例5．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：
排队人数0 1 2 3 4 5人及以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 （1）至多2人排队等候的概率是多少？
（2）至少3人排队等候的概率是多少？
【答案】（1）0.56（2）0.44
【解析】记事件“在窗口等候的人数为0，1，2，3，4，5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．
（1）至多2人排队等候的概率是
P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56．
（2）至少3人排队等候的概率是
P（D∪E∪F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44．
【总结升华】对于求“至多”“至少”的复杂概率问题，通常有两种处理方法：一是将所求事件的概率化为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．如第（2）小题：P（D∪E∪F）=1－P（A∪B∪C）=1－0.56=0.44．
举一反三：
【高清课堂：事件与概率400482 例2】
【变式1】一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在这次射击中：
（1）射中10环或7环的概率；
（2）射中的环数低于7环的概率．
【答案】（1）0.49（2）0.03
【解析】（1）设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，则“射中10环或7环”的事件为A ∪B．
∴P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.28=0.49．
∴射中10环或7环的概率为0.49．
（2）设“低于7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”．由于“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．
故()P E =0.21+0.23+0.25+0.28=0.97。

从而P （E ）=1－()P E =1－0.97=0.03．
∴射中的环数低于7环的概率为0.03．
例6．玻璃盒子中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，设事件A 为“取出一只红球”，事件B 为“取出一只黑球”，事件C 为“取出一只白球”，事件D 为“取出一只绿球”，求（1）“取出一球为红球或黑球”的概率．（2）“取出一球为红球或黑球或白球”的概率．
【答案】（1）3/4（2）11/12
【解析】 由于事件A 、B 、C 、D 彼此为互斥事件，因此可通过两种角度解决此问题．
解法一：视其为互斥事件，进而求概率．
（1）“取出红球或黑球”的概率为513()()()1234
P A B P A P B =+=+=。

（2）“取出红球或黑球或白球”的概率为
51111()()()()123612
P A B C P A P B P C =++=++=． 解法二：应用对立事件求概率．
（1）“取出红球或黑球”的对立事件为“取出白球或绿球”，即A ∪B 的对立事件为C ∪D ，
∴“取出红球或黑球”的概率为113()1()1()()16124
P A B P C D P C P C =-=--=--=． （2）“取出一球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出一球为绿球”，即A ∪B ∪C 的对立事件为D ，111()1()11212
P A B C P C =-=-=． 【总结升华】 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率，这也就是我们常说的“正难则反”．
举一反三：
【变式1】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一个球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为去，得到黄球或绿球的概率也为512
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？ 【答案】14、16、14
【解析】从袋中任取一个球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为事件A 、
B 、
C 、
D ，可知它们彼此互斥，则有1()3P A =；5()()()12
P B C P B P C =+=；5()()()12P C D P C P D =+=，则2()()()()1()3P B C D P B P C P D P A =++=-=
，所以1()4P B =，1()6P C =，1()4P D =．即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为14、16、14
． 【变式2】某省是高中新课程改革实验省份之一，按照规定每个学生都要参加学业水平考试，全部及格才能毕业，不及格的可进行补考．某校有50名同学参加物理、化学、生物水平测试补考，已知只补考物理的概率为950，只补考化学的概率为15，只补考生物的概率为1150
．随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率．
【答案】0.4
【解析】设“不止补考一门”为事件E，“只补考一门”为事件F，“只补考物理”为事件A，则
9 ()
50
P A=，
“只补考化学”为事件B，则
1
()
5
P B=，“只补考生物”为事件C，则
11
()
50
P C=．这三个事件为互斥事
件，所以
30
()()()()()0.6
50
P F P A B C P A P B P C
==++==．
又因为事件E和事件F互为对立事件．所以P（E）=1－P（F）=1－0.6=0.4．即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4．。