chap4-数学规划模型-奶制品的生产与销售
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多元函数 条件极值 问题
决策变量个数 n 和约 束条件个数 m 较大 最优解在可行域的边 界上取得，不能用微 分法求解
T
数 学 规 划
线性规划 非线性规划 整数规划
本章侧重点：如何建立优化模型；用现成软件求解后，对结
果进行分析。不涉及数学规划的具体计算方法.
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次
敏感性分析1
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
x1的允许范围需x2系数64不变，反之亦然.
敏感性分析1
1桶 牛奶 或 12h 8h 3kgA1 4kgA2 获利24元/kg 获利16元/kg
O
x1 x2 50
l1 : x1 x2 50
A
l1 B l2 C z=3360 l3
目标 函数
max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
l5
z=0
x1 D z=2400
总结 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
在B(20,30)点得到最优解. 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得.
max z 72x1 64x2
x1 x2 50
12x1 8x2 480
可 加 性
3x1 100
x1 , x2 0
连续性
. 模型求解 决策变量只有两维，用图解法便于直观把握线性规划的基本性质 x2
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0
用牛奶生产A1和A2两种奶制品
背 景
3kg A1 1桶 12h(设备甲) 牛奶 或 4kg A2 8h (设备乙)
获利24元/kg
获利16元/kg
设备甲加工能力： 至多加工100kg A1
生产条件 供应50桶牛奶 正式工总劳动 (每天)： 时间480h 下3个附加问题：
问题： 制订生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划？
敏感性分析2：影子价格在什么条件下才有意义
对资源约束右端项的敏感性分析 model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
B '
• 对于约束条件[milk]，随着牛奶桶数的增加，l1向右上方平 移，交点B（仍是最优解）向A靠近，利润增长（影子价格）； • 当B与A重合后，再增加牛奶就不可能使利润增长 —— 影子 价格的作用是有限制的.
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划. 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划. 本节课题
例1 加工奶制品的生产计划
gi(x) 0~约束条件 （多组） f(x)~目标函数 （多元函数）
T
（Subject to 受约束于）
max z 72x1 64x2
s.t.
x1 x2 50
12x1 8x2 480 3x1 100
x1 , x2 0
min(或max) z f ( x), x ( x1 , , x n ) s.t. gi ( x) 0, i 1, 2, , m
基本 1桶 模型 牛奶 或
12h
3kgA1
4kgA2
获利24元/kg
获利16元/kg
8h 每天 50桶牛奶 时间480h x1桶牛奶生产A1
至多加工100kgA1
x2桶牛奶生产A2
决策变量
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗?
35 <48, 应该买！ 2元！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?
敏感性分析1：目标函数系数发生变化时（约束条件不
变），最优解和最优值会改变吗？ model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end • 目标函数的系数决定了等值线的斜率； • 等值线斜率： 72/64 = 9/8； • l1斜率：1；l2斜率：12/8 = 3/2； • 1 < 9/8 < 3/2; • 只要目标函数系数的变化在(1, 2/3)范围 内，最优解不变； • 当等值线族的斜率小于1时，最优解在A 点取得； • 当等值线族的斜率大于3/2时，最优解在 C点取得.
最优解 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000 x1系数范围(72-8,72+24) x2系数范围(48,72)
结果解释
Global optimal solution found. model: Objective value: 3360.000 max = 72*x1+64*x2; Total solver iterations: 2 [milk] x1 + x2<50; Variable Value Reduced Cost [time] 12*x1+8*x2<480; X1 20.00000 0.000000 [cpct] 3*x1<100; X2 30.00000 0.000000 end Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000
软件实现
LINGO
1. 以“model:”开始，“end”结束， 也可省略不写； 2. 字母不区分大小写； 3. 每个语句以英文的分号结束；
4. 决策变量默认为非负； 5. “>=”,“<=”与“>”,“<”等效； 6. [milk]等是为了对各约束条件命名， 便于从输出结果中查找相应信息， 也可以不命名，软件会自动用数字 按顺序对约束条件命名.
模型求解
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
软件实现
LINGO
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
• A1获利增加到 30元/kg，应否改 变生产计划?
x1系数范围(64,96)
x1系数由24 3=72增加为303=90， 在允许范围内不变
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元.
结果解释
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 model: Total solver iterations: 2 max = 72*x1+64*x2; Variable Value Reduced Cost [milk] x1 + x2<50; X1 20.00000 0.000000 [time] 12*x1+8*x2<480; X2 30.00000 0.000000 [cpct] 3*x1<100; Row Slack or Surplus Dual Price end 1 3360.000 1.000000 原料无剩余 MILK 0.000000 48.00000 三 TIME 0.000000 2.000000 时间无剩余 种 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力剩余40kg
第四章
数学规划模型
4.1 奶制品的生产与销售 4.2 接力队选拔和选课策略
4.3 钢管和易拉罐下料
实际问题中 的优化模型
x~决策变量 （多维）
数学规划模型
min(或max) z f ( x), x ( x1 , , x n ) s.t. gi ( x) 0, i 1, 2, , m
约束条件
劳动时间 12x1 8x2 480 加工能力 3x1 100 x1 , x2 0 非负约束
线性 规划 模型 (LP)
线性规划模型特征
比 例 性 xi对目标函数的“贡 献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比 xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡 献”与xj取值无关 xi取值连续
资 源
对应图中的B点
―资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
结果解释
model: Global optimal solution found. Objective value: 3360.000max = 72*x1+64*x2; Total solver iterations: 2 [milk] x1 + x2<50; Variable Value Reduced Cost [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; X1 20.00000 0.000000 end X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 桶 元 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 原料增加1单位, 利润增长48 TIME 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 影子价格:“资源”的潜在价值. 1桶牛奶的影子价格为48元.
线性规划的基本性质
模型求解
软件实现
优化模型
连续优化
整数规划
线性规划
二次规划 LINDO LINGO
非线性规划
Ref. 优化建模与LINDO/LINGO软件，谢金星等，清华大学出版社，2012
来自百度文库
模型求解
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策变量个数 n 和约 束条件个数 m 较大 最优解在可行域的边 界上取得，不能用微 分法求解
T
数 学 规 划
线性规划 非线性规划 整数规划
本章侧重点：如何建立优化模型；用现成软件求解后，对结
果进行分析。不涉及数学规划的具体计算方法.
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划 空间层次
敏感性分析1
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
x1的允许范围需x2系数64不变，反之亦然.
敏感性分析1
1桶 牛奶 或 12h 8h 3kgA1 4kgA2 获利24元/kg 获利16元/kg
O
x1 x2 50
l1 : x1 x2 50
A
l1 B l2 C z=3360 l3
目标 函数
max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
l5
z=0
x1 D z=2400
总结 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
在B(20,30)点得到最优解. 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得.
max z 72x1 64x2
x1 x2 50
12x1 8x2 480
可 加 性
3x1 100
x1 , x2 0
连续性
. 模型求解 决策变量只有两维，用图解法便于直观把握线性规划的基本性质 x2
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0
用牛奶生产A1和A2两种奶制品
背 景
3kg A1 1桶 12h(设备甲) 牛奶 或 4kg A2 8h (设备乙)
获利24元/kg
获利16元/kg
设备甲加工能力： 至多加工100kg A1
生产条件 供应50桶牛奶 正式工总劳动 (每天)： 时间480h 下3个附加问题：
问题： 制订生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划？
敏感性分析2：影子价格在什么条件下才有意义
对资源约束右端项的敏感性分析 model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
B '
• 对于约束条件[milk]，随着牛奶桶数的增加，l1向右上方平 移，交点B（仍是最优解）向A靠近，利润增长（影子价格）； • 当B与A重合后，再增加牛奶就不可能使利润增长 —— 影子 价格的作用是有限制的.
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划. 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划. 本节课题
例1 加工奶制品的生产计划
gi(x) 0~约束条件 （多组） f(x)~目标函数 （多元函数）
T
（Subject to 受约束于）
max z 72x1 64x2
s.t.
x1 x2 50
12x1 8x2 480 3x1 100
x1 , x2 0
min(或max) z f ( x), x ( x1 , , x n ) s.t. gi ( x) 0, i 1, 2, , m
基本 1桶 模型 牛奶 或
12h
3kgA1
4kgA2
获利24元/kg
获利16元/kg
8h 每天 50桶牛奶 时间480h x1桶牛奶生产A1
至多加工100kgA1
x2桶牛奶生产A2
决策变量
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗?
35 <48, 应该买！ 2元！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?
敏感性分析1：目标函数系数发生变化时（约束条件不
变），最优解和最优值会改变吗？ model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end • 目标函数的系数决定了等值线的斜率； • 等值线斜率： 72/64 = 9/8； • l1斜率：1；l2斜率：12/8 = 3/2； • 1 < 9/8 < 3/2; • 只要目标函数系数的变化在(1, 2/3)范围 内，最优解不变； • 当等值线族的斜率小于1时，最优解在A 点取得； • 当等值线族的斜率大于3/2时，最优解在 C点取得.
最优解 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000 x1系数范围(72-8,72+24) x2系数范围(48,72)
结果解释
Global optimal solution found. model: Objective value: 3360.000 max = 72*x1+64*x2; Total solver iterations: 2 [milk] x1 + x2<50; Variable Value Reduced Cost [time] 12*x1+8*x2<480; X1 20.00000 0.000000 [cpct] 3*x1<100; X2 30.00000 0.000000 end Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000
软件实现
LINGO
1. 以“model:”开始，“end”结束， 也可省略不写； 2. 字母不区分大小写； 3. 每个语句以英文的分号结束；
4. 决策变量默认为非负； 5. “>=”,“<=”与“>”,“<”等效； 6. [milk]等是为了对各约束条件命名， 便于从输出结果中查找相应信息， 也可以不命名，软件会自动用数字 按顺序对约束条件命名.
模型求解
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
软件实现
LINGO
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
• A1获利增加到 30元/kg，应否改 变生产计划?
x1系数范围(64,96)
x1系数由24 3=72增加为303=90， 在允许范围内不变
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元.
结果解释
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 model: Total solver iterations: 2 max = 72*x1+64*x2; Variable Value Reduced Cost [milk] x1 + x2<50; X1 20.00000 0.000000 [time] 12*x1+8*x2<480; X2 30.00000 0.000000 [cpct] 3*x1<100; Row Slack or Surplus Dual Price end 1 3360.000 1.000000 原料无剩余 MILK 0.000000 48.00000 三 TIME 0.000000 2.000000 时间无剩余 种 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力剩余40kg
第四章
数学规划模型
4.1 奶制品的生产与销售 4.2 接力队选拔和选课策略
4.3 钢管和易拉罐下料
实际问题中 的优化模型
x~决策变量 （多维）
数学规划模型
min(或max) z f ( x), x ( x1 , , x n ) s.t. gi ( x) 0, i 1, 2, , m
约束条件
劳动时间 12x1 8x2 480 加工能力 3x1 100 x1 , x2 0 非负约束
线性 规划 模型 (LP)
线性规划模型特征
比 例 性 xi对目标函数的“贡 献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比 xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡 献”与xj取值无关 xi取值连续
资 源
对应图中的B点
―资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
结果解释
model: Global optimal solution found. Objective value: 3360.000max = 72*x1+64*x2; Total solver iterations: 2 [milk] x1 + x2<50; Variable Value Reduced Cost [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; X1 20.00000 0.000000 end X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 桶 元 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 原料增加1单位, 利润增长48 TIME 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 影子价格:“资源”的潜在价值. 1桶牛奶的影子价格为48元.
线性规划的基本性质
模型求解
软件实现
优化模型
连续优化
整数规划
线性规划
二次规划 LINDO LINGO
非线性规划
Ref. 优化建模与LINDO/LINGO软件，谢金星等，清华大学出版社，2012
来自百度文库
模型求解
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end