电路时域分析方法

线性电阻电路：线性代数方程组
线性动态电路：线性微分方程组
非线性电阻电路：非线性代数方程组 非线性动态电路：非线性微分方程组 后3类方程的解析解难以求出，可借助计算机求 数值解。
线性电阻电路时域分析方法
1.回路电流法
基本思想
以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。当 取网孔电流为未知量时，称网孔法 为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中 有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的 线性组合表示。来求得电路的解。 i3 独立回路为2。选图示的两个独立 回路，支路电流可表示为：
对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电 流、支路电压未知量共有2b个。只要列出2b个独立的 电路方程，便可以求解这2b个变量。
独立方程的列写
（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程
（2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程 （3）写出每条支路的元件约束方程VCR
示例
（1）线性电阻电路 1 2
duc RC uc U S dt
(t >0) R + Us
i
uL
–
L
Ri uL U S di Ri L U S dt
一个 动态 元件
有源 电阻 电路 二阶电路 (t >0) ＋
一阶 电路
i
R +
US －
－
uC
C
uL
L
Ri uL uc U S
d 2 uc duc LC 2 RC uc U S dt dt
uS2
–
b
观察可以看出如下规律：
R11=R1+R2 R22=R2+R3 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。 自电阻总为正。 R12= R21= –R2 回路1、回路2之间的互电阻。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取 正号；否则为负号。 ul1= uS1-uS2 ul2= uS2 回路1中所有电压源电压的代数和。 回路2中所有电压源电压的代数和。
0
us
-
t
过渡期为零
R2
电容电路 (t = 0) Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R +
i = 0 , uC = 0
C
K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
uC
–
(t →)
i
R +
i = 0 , uC= Us
C
US R
Us
uC
–
uc
US
?
0
过渡状态
i
t1 新稳态 t
有一过渡期
G23= G32 =-G3
自电导总为正，互电导总为负。
iSn1=iS1+iS2 iSn2=-iS2＋uS/R5
流入节点1的电流源电流的代数和。 流入节点2的电流源电流的代数和。
流入节点取正号，流出取负号。
由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电 压，各支路电流可用节点电压表示：
un1 i1 R1 un2 i4 R4
（3）非线性电阻电路
①
i1
i2
u2
②
i3
12A
u1
u3
4A
KCL:
i1 i2 12 i2 i3 4
KVL： u1 U n1 , u2 U n1 U n2 , u3 U n2 VCR： i1 U 1 , i2 U 2 , i 3 U 3
3 2 3 2
（4）小结
1. 电路的图
i 抛开元 件性质
n5
1
b8
8
R1
R3
3
5
R2 + uS
R4
2 7
4 6
_
R5
1
5
3
元件的串联及并联 组合作为一条支路
2
6
4
一个元件作 为一条支路
n4
b6
有向图
(1) 图(Graph)
G={支路，节点}
① １ ②
(2) 路径
从图G的一个节点出发沿着一些支路连续 移动到达另一节点所经过的支路构成路 经。 图G的任意两节点间至少有一条路经 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。
bt n 1
bl b bt b (n 1)
回路 (Loop)
L是连通图的一个子图，构成一条闭合 路径，并满足：(1)连通(2)每个节点关 联2条支路
1 2 7 5 8 4 3
1 7 6
2 5 8
3
2
不是 回路
4
5
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
回路1 回路2
R1
ຫໍສະໝຸດ Baidui1 3 4
R5
i5 i6
U1 R1i1 U 2 R2i2 U 5 R5i5
R6
+ u – S
回路3
U 3 R3i3 U 4 R4i4 U 6 R6i6 uS
（2）线性动态电路 i
L R
L
+
Ee( ) t
C -
u C
微分方程为：
d 2 uc duc LC RC uc E dt dt
2 i2 1
R2
1
i3
R4
R3
2
i4 3
3
i1 i2 i6 0 i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0
u2 u3 u1 0 u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 uS
取网孔为基本回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:
初始状态
换路
电路结构、状态发生变化
支路接入或断开
电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发 生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
w p t
2. 动态电路的方程
应用KVL和元件的VCA得： Us
(t >0) R +
i
uC
–
C
Ri uc U S
l bl b (n 1)
基本回路(单连支回路)
基本回路具有独占的一条连枝
6
4 2 1 3 1
5
6
2 1 3
5
2 3
结论
结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
2.KCL、KVL的独立方程数
1 2 1 1 6 4
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i 2 i5 i 6 0 i3 i4 i5 0
G33=G3+G5 G12= G21 =-G2
节点1的自电导，等于接在节点1上所有 支路的电导之和。 节点2的自电导，等于接在节点2上所有
支路的电导之和。 节点3的自电导，等于接在节点3上所有 支路的电导之和。 节点1与节点2之间的互电导，等于接在 节点1与节点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。 节点2与节点3之间的互电导，等于接在节 点1与节点2之间的所有支路的电导之和， 为负值。
线性电路的时域分析方法
电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 方法的基础： （a）电路的连接关系—KCL，KVL定律。 （b）元件的电压、电流约束特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压 和电流关系列方程、解方程。
网络图论
A
B D
A C B D
C
2 4
3 5 3
2 3
4 1
＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。 KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1) n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：
(n 1) b (n 1) b
2b法
以各支路电流、支路电压为未知量列 写电路方程分析电路的方法。
整理，得：
1 1 1 ( ) un1 ( )un2 iS1 iS2 R1 R2 R2 1 1 1 1 1 un1 ( ) un 2 un3 0 R2 R2 R3 R4 R3 uS 1 1 1 ( )un2 ( ) un3 iS2 R3 R3 R5 R5
Gii —自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和 (包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 Gij = Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所 支路的电导之和，总为负。 iSni — 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括 由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。 当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
其中
一阶线性动态电路时域分析方法
1. 动态电路
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。
例
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
+
i
R1
i U S ( R1 R2 )
（3）连通图
(3) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
树 (Tree)
T是连通图的一个子图满足下列条件： (1)连通 (2)包含所有节点 (3)不含闭合路径
树
不 是 树
树支：构成树的支路
连支：属于G而不属于T的支路
特点
1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的： 连支数：
a
i1 R1
uS1 + – il1
i2 R2 + – il2
R3
uS2
i1 il1
i3 i l 2
b
i2 il 2 il1
列写的方程 回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一 次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回 路列写KVL方程，方程数为： 与支路电流法相比， b ( n 1) 方程数减少n-1个。
节点电压法列写的是结点上的KCL方 程，独立方程数为： 与支路电流法相比， 方程数减少b-(n-1)个。
列写的方程
( n 1)
说明
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即 是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。
uA-uB uA uB
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足
iS3
令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为：
等效电 流源
G11un1+G12un2 ＋G13un3 = iSn1 G21un1+G22un2 ＋G23un3 = iSn2 G31un1+G32un2 ＋G33un3 = iSn3
标准形式的结点 电压方程
其 G11=G1+G2 中 G22=G2+G3+G4
把支路电流用结点电压表示： iS1
1
i1 R1
i2 R 2
i3 R3
3 i5
2
R4
i4
R5 + uS _
un1 un1 un2 iS1 iS2 R1 R2 un1 un2 un2 un3 un2 0 R2 R3 R4 un2 un3 un3 uS iS 2 R3 R5
其中: Rkk:自电阻(为正) + : 流过互阻两个回路电流方向相同 Rjk:互电阻 - : 流过互阻两个回路电流方向相反 0 : 无关
2.结点电压法
基本思想：
以节点电压为未知量列写电路方程分析 电路的方法。适用于结点较少的电路。 选节点电压为未知量，则KVL自动满足， 就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可 视为结点电压的线性组合，求出节点电压后， 便可方便地得到各支路电压、电流。
un1 un2 i2 R2 un3 uS i5 R5
un2 un3 i3 R3
一 般 情 况
G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
2. 方程的列写
(1) 选定参考节点， 标 明 其 余 n-1 个 独 iS1 立节点的电压
1 i1 R1
i2 R 2 2 R4
i3 R3 i4 R5 + uS _
3 i5
(2) 列KCL方程：
iS2
iR出= iS入 i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=－iS2
2. 方程的列写
a i1 R1 uS1
回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
i3 整理得：
+
–
il1
i2 R2
+
il2
R3
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之 取正号。
由此得标准形式的方程：
R11il1+R12il2=uSl1 R12il1+R22il2=uSl2
对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有:
R11il1+R12il1+ …+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+ …+R2l ill=uSl2 … Rl1il1+Rl2il1+ …+Rll ill=uSll