《3.3.2两点间的距离》教学案3

《3.3.2两点间的距离》教学案3

教学目标

知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题

教学重点：

两点间距离公式的推导.

教学难点：

应用两点间距离公式证明几何问题.

教学过程：

一、情境设置，导入新课

课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

平面直角坐标系中两点()(2

122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12P N N 12与P 相交于点Q .在直角ABC V

中，222

1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ， ，于是有

2222221

212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，2221212PP PQ QP =+=22

2121x x y y -+-.

由此得到两点间的距离公式12PP =

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.

二、例题解答，细心演算，规范表达.

例1 ：以知点A (-1，2)，B (2 )，在x 轴上求一点，使 PA PB =，并求 PA 的值.

解：设所求点P (x ，0)=由 PA PB =得2225411x x x x ++=-+解得 x =1.

所以，所求点P (1，0)且 PA ==通过例题，使学生对

两点间距离公式理解.应用.

解法二：由已知得，线段AB 的中点

为12⎛ ⎝⎭

Ｍ，２，直线AB 的斜率为

k

=

12⎛⎫ ⎪⎝

⎭３ｘ－ＰＡ＝

３２３ 线段

AB 的垂直平分线的方程是 y

12⎛⎫ ⎪⎝

⎭ｘ－在上述式子中，令y =0，解得x =1. 所以所求点P 的坐标为(1，0).因此

ＰＡ＝同步练习：书本106页练习第1，2 题

三、巩固反思，灵活应用.(用两点间距离公式来证明几何问题.)

例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ(0，0).设Ｂ(ａ，0)，Ｄ(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，因为 22222222AB a CD a AD b c BC ===+=，， ()2AC a b =+２２，＋ｃ()２２２ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ 所以，()２２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ

()

２２２２２ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ 所以，２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运算.第三步；把代数结果“翻译”成几何关系.

思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题.

四、课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.

五、布置作业：

1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与(-2，2)构成一个等边三角形. 3．点(0，5)到直线y=2x的距离是——.