第五单元 分布函数与函数的分布
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经济数学基础 10章 随机变量与数字特征
第五单元 分布函数与函数的分布
一、学习目标
通过本节课的学习，认识分布函数的概念，会求简单的分布函数．知道随机变量的函数仍是随机变量，因此知道该函数有分布．
二、内容讲解
1.分布函数
设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x )，则事{X ≤x }的概率，即
⎰
∞
≤x
t
t f x X P -d )(=
)(=∆
F x ()称为随机变量X 的分布函数．有
F '(x )=f (x )（在f (x )的连续点）
几何上看：
事件{X ≤x }的概率，等于由－∞至x ，密度f (x )与x 轴围成的面积． 2.随机变量函数的分布
设X 是随机变量，y =g (x )是一个函数，如果当随机变量X 取值x 时，随机变量Y 按y =g (x )取值，则称Y 为随机变量X 的函数，记作Y ＝g (X )
如果X 是离散型随机变量，其概率分布为P (X =x k )=p k (k =1,2,…)， 则随机变量Y 的概率分布为P (Y =y k )=P (Y =g (x k ))=p k (k =1,2,…) 问题思考：连续型随机变量X 的分布函数为F (x )=⎰∞
-x x
x f d )(，其中密度函数f (x )
可以大于1，那么F (x )可以大于1吗？
经济数学基础10章随机变量与数字特征答案不可以．因为分布函数是事件{X≤x}的概率，概率显然只能是大于或等于0，小于或等1的数值．
三、例题讲解
例1:求二点分布的分布函数．
解:二点分布的概率分布为
分布函数F(x)=P(X≤x)＝∑
≤
=
x
x
k
k
x
X
P)
(
．
当x<0时，事件{X=0}不包含在事件{X≤x}内．
F(x)=P(X≤x)=0
当0≤x<1时，事件{X≤x}={－∞ F(x)=P(X≤x)=P(－∞ =0+1－p+0=1－p 当x≥1时，有F(x)=P(X≤x) =P(－∞ =0+1－p+0+p=1 于是二点分布的分布函数为F(x)=⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ - < 1 1 1 1 0 0 x x p x 二点分布的分布函数F(x)图形如下： 经济数学基础 10章 随机变量与数字特征 可见，二点分布的分布函数是一个右连续的曲线．任何离散型随机变量的分布函数都是右连续的分段函数． 例2:求均匀分布的分布函数． 解:均匀分布的密度函数为f (x )=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<<-其他 1b x a a b 分布函数F (x )=P (X ≤x )．