白中英《计算机组成原理》(第5版)教材精讲(运算方法和运算器 浮点运算方法和浮点运算器)

2.6　浮点运算方法和浮点运算器

一、浮点加法、减法运算

1．浮点加减运算

设有两个浮点数ｘ和ｙ,它们分别为

ｘ＝2Eｘ·Mｘ

ｙ＝2Eｙ·Mｙ

其中Eｘ和Eｙ分别为数ｘ和ｙ的阶码,Mｘ和Mｙ为数ｘ和ｙ的尾数。两浮点数进行加法和减法的运算规则是

ｘ±ｙ＝（Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ）2Eｙ，设Eｘ<＝E。

2．浮点运算

步骤如下：

（1）0操作数的检查,看有无简化操作的可能；

（2）比较阶码大小并完成对阶（小阶向大阶对齐）；

（3）尾数进行加或减运算；

例：设1010,0.5,0.4375x y ==，假设尾数有效位为4位，用二进制形式求

()x y +浮点运算。

解：

01

102220.50.10.12 1.0002x -===⨯=⨯02

102220.43750.01110..1112 1.1102y -=-=-=-⨯=⨯第一步，对阶：因y 阶小，调整y 的指数向2阶看齐

21

221.11020.1112y --=⨯=-⨯第2步，尾数相加：

111

2221.0002(0.1112)0.1112x y ---+=⨯+-⨯=⨯第3步，规格化：

234

2220.11120.1002 1.0002x y ---+=⨯=⨯=⨯第4步，检查上溢或下溢：

由于指数采用移码，1274126≥-≥-，求和结果既无上溢也无下溢

求和结果()x y +

浮421.0002-=⨯，尾数有效位恰好是4位，舍入时无需做任何改变。

最后结果：()x y +浮422101.00020.00010000.0625-=⨯==十进制数验证：10

0.510(0.437510)0.0625x y +=+=为突出浮点加减法运算中小数点位置必须对齐的概念，下面再举一个十进制数浮点加减法运算的例子。

例：设210100.3x E x x M =⨯=⨯，310100.2y E y y M =⨯=⨯。求x y +，x y -。

解：2,3,x y x y E E E E ==<，对阶时小阶向大阶看齐。

233(10)10(0.3100.2)10x y y E E E

x y x y M M --+=∙-⨯=⨯+⨯30.2310230

=⨯=233(10

)10(0.3100.2)10x y y E E E x y x y M M ---=∙-⨯=⨯+⨯ 3(0.17)10170

=-⨯=二、浮点乘法和除法运算

设有两个浮点数ｘ和ｙ：

ｘ＝2E ｘ·M ｘ

ｙ＝2E ｙ·M ｙ

ｘ×ｙ＝2（E ｘ＋E ｙ）·（M ｘ×M ｙ）

ｘ÷ｙ＝2（E ｘ－E ｙ）·（M ｘ÷M ｙ）乘除运算分为四步：0操作数检查，阶码加减操作，尾数乘除操作，结果规格化和舍入处理。

浮点数的阶码运算（移码的运算规则）[X]移+[Y]移=2n +[X+Y]移

)2(mod ][][][][2][][][1++=+=++=+n n

x y y x y x

y x 补

移补移移移移

移码采用双符号位，为了对溢出进行判断

01

为正 00 为负10 上溢 11 下溢

ｘ＝＋011，ｙ＝＋110,求[ｘ＋ｙ]移和[ｘ－ｙ]移，并判断是否溢出。

[ｘ]移＝01011, [ｙ]补＝00110,[－ｙ]补＝11010

[ｘ＋ｙ]移＝[ｘ]移＋[ｙ]补＝10001，结果上溢。

[ｘ－ｙ]移＝[ｘ]移＋[－ｙ]补＝00101，结果正确，为－3。尾数处理

截断

舍入

尾数用原码表示时，只要尾数最低为1或者移出位中有1数值位，使最低位置1。0舍1入

尾数用补码表示时，丢失的位全为0，不必舍入。

丢失的最高位为0，以后各位不全为0时；或者最高为1，以后各位全为0时，不必

舍入。丢失的最高位为1，以后各位不全为0时，则在尾数的最低位入1的修正操作。例：设有浮点数10100.5,0.435x y ==，用二进制求()x y ⨯浮

解：先将十进制数表示成二进制形式

12

1021020.5 1.0022,0.435 1.1102x y --==⨯==-⨯()x y ⨯浮1222(1.0022)( 1.1102)

--=⨯⨯-⨯第1步，将x 和y 的指数部分相加：

1(2)3

x y e e +=-+-=-用移码表示，则为：

3127124

x y E E +=-+=-第2步，将被乘数和乘数的尾数相乘：

1.000

* 1.110

0000

1000

1000

+ 1000 1110000

得到的乘积为321.1100002

-⨯，由于我们只需要4位有效数，因此将乘积结果修

正为321.1102-⨯。

第3步，规格化与溢出检查：

乘积的有效位数已经规格化，且由于1273126≥-≥-，没有发生上溢和下溢。第4步，舍入到4位有效数字，这一步无需做任何操作，结果仍为3

21.1102-⨯第5步，确定积符号：x 和y 符号相反，乘积为负数，即：()x y +浮3

21.1102-=-⨯十进制浮点数验证：

322210

1.11020.001100.001110.21875--⨯=-=-=-0.5(0.4375)0.21875

⨯-=-例：设基数

2310,10100.4,10100.2y x E

E x y R x M y M ==⨯=⨯=⨯=⨯用浮点法求x y ⨯，x y ÷。

解：

2,3,0.4,0.2

x y x y E E M M ===+=+()2310()10(0.40.2)8000

x y E E x y x y M M -+⨯=⨯⨯=⨯⨯=()

2310()10(0.40.2)0.2x y E E x y x y M M --÷=⨯÷=⨯÷=实现的逻辑框图：