有限元网格划分和收敛性

一、基本有限元网格概念

1.单元概述

几何体划分网格之前需要确定单元类型。单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。为适应特殊的分析对象和边界条件，一些问题需要采用多种单元进行组合建模。

2.单元分类

选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。根据不同的分类方法，上述单元可以分成以下不同的形式。

3.按照维度进行单元分类

根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。

一维单元的网格为一条直线或者曲线。直线表示由两个节点确定的线性单元。曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元，或者由具有确定形状的线性单元。杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元，如图1～图3所示。

二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸。这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等，如图4所示。二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时，这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。

三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体，这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示。在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以)。

4.按照插值函数进行单元分类

根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。

线性单元具有线性形式的插值函数，其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面。这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模。但是由于单元位移函数是线性的，单元内的位移呈线性变化，而应力是常数，因此会造成单元间的应力不连续，单元边界上存在着应力突变，如图6所示。

二次单元的插值函数是二次多项式，其网格不仅在每个顶点处有角节点，而且在棱边上还存在一个边节点，因此网格边界可以是二次曲线或者曲面。这类单元的优点是几何和物理离散精度较高，单元内的位移呈二次变化，应力呈线性变化，因此单元边界上的应力是连续的。但是在单元数量相同的条件下二次单元的节点数比线性单元的节点数多，模型的规模较大，如图7和图8所示。

三次单元的插值函数是三次多项式，其网格的每条边上存在两个节点，有些三次单元还具有内部节点。这类单元的离散精度更高，但是由于单元节点数较多，网格划分较为困难，模型规模很大，一般用于具有特殊精度要求的场合，如图9所示。

对于一阶和二阶单元，我们通常也称其为H单元。三阶及以上的单元，我们也称其为P 单元，高阶次的P单元可以更好地拟合变形形状，特别对于曲率或者应力梯度变化较大的区域会较为真实的模拟，但会比H-单元有较多的运算量，如图10所示。

5.结构单元与非结构单元

根据单元能否离散成实际结构，可以将单元分为结构单元和非结构单元。能离散成实际结构的称为结构单元，如轴对称单元离散轴对称结构，杆、梁单元用于离散杆件结构，实体单元用于离散空间结构等，这些单元都属于结构单元。除此之外，还有一类单元并不用于实际结构的离散，而是在模型中模拟一些特殊的结构和边界条件，如质量单元用于实际的物体质量效应，弹簧和阻尼单元用于模拟结构的弹性支承和减振吸能部件，间隙和接触单元用于结构之间的相互接触作用，螺栓预紧力单元用于模拟螺栓的预紧力，刚体单元用于模拟节点之间的刚性连接等，这些单元称为非结构单元。

由于非结构单元非常抽象，使用起来有一定的难度，在设计仿真一体化分析里面通常会将其工程化，帮助使用者淡化其力学概念。

6.节点和单元的重要力学概念

针对前述的单元分类，此处要澄清关于节点和单元的一些非常有用的总结性概念。

◎有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应单元的应变值，再计算积分点的应力。因此位移的准确性高于应变、应变高于应力;

◎当结构静力平衡时计算变形的单元是求得准确有限元分析结果的关键，因此线性计算中单元不可以变形过大，否则会造成求解失败;

◎网格质量概括来说，初始网格必须可呈现初始模型的几何形状，而且要足够“弹性”以符合静力平衡后的变形几何形状;

◎在预计会有应力梯度变化剧烈的位置上，为预测其准确变形情况，细小特征几何必须

要更精确符合，以利于准确计算这些位置上的应力值;

◎在理想曲率边线与网格曲率边线之间的差距称之为离散误差。

二、有限元误差分析

1.有限元误差

有限元的误差主要来自两个方面，一是模型误差，一是计算误差。

模型误差是指将实际工程问题抽象为适合计算机求解的有限元模型时所产生的误差，即有限元模型和实际问题之间的差异。它包括有限元离散处理所固有的原理性误差，也可能包括几何模型处理、实际工况转化为模型边界条件时所带来的偶然性误差。

计算误差是指采用数值方法对有限元模型进行计算所产生的误差，误差的性质是舍入误差和截断误差。

模型误差包含离散误差、边界条件误差和单元形状误差，离散误差包含物理离散误差和几何离散误差。

2.离散误差

物理离散误差是插值函数和真实函数之间的差异，其大小与单元尺寸和插值多项式的阶次有关，单元尺寸减小也就是网格划分越密，插值函数的阶次增加，将使有限元的解收敛于精确解。

几何离散误差是指离散后的几何体与原有几何形状上的差异。对于由直线或者平面边界构成的规则结构，这类误差较小。对于具有复杂曲线或者曲面边界构成的结构，离散后会产生较大的形状误差。

本文下面通过solidworks Simulation来详细讨论物理离散误差与几何离散误差的具体操作细节。

三、收敛性及自动收敛方法

一般而言，网格拥有较多的单元，可得到较准确的结果。会有更多的节点可供计算，所以结果会较准确。较多的单元也就表示单元大小较小，所以物理离散误差可减小。实际分析上也有极限，在收敛性分析过程中网格尺寸一再缩减也不一定会对精确结果有帮助。

对一给定几何而言，要达到收敛性的网格会与外部负载条件及边界约束条件有关(见图11)。在线性静态分析中，载荷大小不是收敛性的系数。