特征值与特征向量优秀教学设计
《3.1.2 特征值与特征向量的求法》教案3
《3.1.2 特征值与特征向量的求法》教案3教学目标1. 让学生能够熟练的运用特征值和特征向量的求法2. 认真分析问题的方法，可以独立解决问题教学重难点掌握并且运用特征值和特征向量的求法教学过程1 特征值与特征向量的定义及性质定义1：设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE -A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。
若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE -A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。
定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。
性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。
证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n)设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =⋅A 则λ1-Aξ=ξ即有1-A ξ=1-λξ∴1-λ为1-A的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1-λ为1-Aξ的特征值性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ+101111x a x a xa n n +++--证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 0111+++-- )ξ = n n A a ξ+ 11--n n Aa ξ+… +E a 0 ξ=nn a λξ+11--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0∴ ()λf 是()A f 的特征值性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值证明：设 A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则由题设条件知：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a =a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111∴a 是A 的特征值2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 ① 基本计算法（ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=A λλ （ⅱ）求出A E -λ的全部根（ⅲ）把特征值i λ 逐个代入齐次线性方程组()0=A -E χλi 并求它的基础解系，即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.5 特征值与特征向量》1
特征值与特征向量教学案班级学号姓名学习目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3.利用的特征值、特征向量给出的简单表示。
重点难点重点：求二阶矩阵的特征值与特征向量难点：从几何变换的角度说明特征向量的意义问题情境〔一〕：根据以下条件试判断是否与共线：（1），非零向量；，非零向量；（2），非零向量，。
意义建构〔一〕：数学理论〔一〕：特征值与特征向量的定义：特征多项式定义:数学运用〔一〕：例1. 求出矩阵的特征值和特征向量。
随堂反应〔一〕求出以下矩阵的特征值和特征向量：〔1〕；〔2〕；〔3〕。
思考：怎样从几何直观的角度加以解释？数学理论〔二〕：线性变换的性质：数学运用〔二〕：例2. ，，试计算。
随堂反应〔二〕求投影变换矩阵的特征值和特征向量，并计算的值，解释它的几何意义。
稳固练习班级学号姓名1.从几何变换的角度，直接给出以下矩阵的特征值和特征向量。
〔1〕的特征值为，相应的特征向量分别为；〔2〕的特征值为，相应的特征向量分别为；2.向量在矩阵变换下〔〕A方向改变，长度不变B长度改变，方向不变C方向和长度都不变 D以上都不对3.以下对于矩阵的特征值的描述中错误的有（1）存在向量，使得；〔2〕对任意向量，有；〔3〕对任意非零向量，成立；〔4〕存在一个非零向量，有。
4.矩阵的特征值为对应的一个特征向量为。
5.求出以下矩阵的特征值和特征向量：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。
6.讨论矩阵，以及合成变换矩阵的一个特征向量，你发现了什么结论？7.如果向量既是矩阵的特征向量，又是矩阵的特征向量，试证明必是矩阵及的特征向量。
特征值与特征向量优秀教学设计
特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。
3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。
难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。
二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。
教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。
例 1：对于相关 x 轴的反射变换σ：x10x，从几何直观上可以发现，只有x 轴y01y和平行于 y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，反射变换σ只把形如k1 和0的向量（其中 k1， k2是任意常数），分别变成与自身共线的0k2向量。
可以发现，反射变换σ分别把向量k1 ，0变成k1 ，0。
特别0k20k2的，反射变换σ把向量11变成11，把向量20变成。
用矩形的形式可表示为00111 0 1 11 1 0 0 0 。
010 0，1 111x 1 0 x 例 2：对于伸缩变换 ρ：0 2，从几何直观上可以发现，只有 x 轴和平行于 yyy轴的直线在伸缩变换 ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，伸缩变换ρ只把形如k 1 和 0 的向量（其中 k 1 ， k 2 是任意常数）分别变成与自身共线的向量。
可以发k 2现，伸缩变换 ρ把向量k1，0 变成 k 1 ， 2 0 。
特别地，伸缩变换 ρ把向k 2 0 2k 2量 210 变成221 0 1 1变成 1，把向量 21 2 。
人教版高中选修4-22.特征向量在实际问题中的应用教学设计
人教版高中选修4-22．特征向量在实际问题中的应用教学设计
一、教学目标
1.1 知识目标
•掌握特征值和特征向量的基本概念和性质；
•理解特征值与特征向量的关系；
•理解特征向量在实际问题中的应用。
1.2 能力目标
•培养学生的数学建模能力；
•提高学生的计算和思维能力；
•培养学生的解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点
2.1 教学重点
•掌握特征值与特征向量的基本概念和性质；
•理解特征向量在实际问题中的应用。
2.2 教学难点
•培养学生的数学建模能力；
•提高学生的计算和思维能力；
•培养学生的解决实际问题的能力。
三、教学内容及教学方法
3.1 教学内容
1.特征值与特征向量的基本概念和性质；
2.特征向量在实际问题中的应用。
3.2 教学方法
1.讲授与演示相结合的方法；
2.课堂讨论和活动。
四、教学计划
时间教学内容教学方法
第一课时特征值、特征向量的概念和计算方法讲授
第二课时特征值、特征向量的性质及其应用讲授与演示相结合第三课时特征向量在实际问题中的应用（一）活动和讨论
第四课时特征向量在实际问题中的应用（二）活动和讨论
第五课时综合运用活动和讨论
五、教学评价
本课程的评价应基于以下几个方面：
5.1 学生的反应
学生认为本课程的内容和教学方法是否有启发性和主题；
5.2 学生的学情
学生的学习表现、学习成果以及教师评分等考核唯一的标准；
5.3 教学反思
教师评估自己在此节课教学中查漏补缺以及自我提升的程度。
《3.1.1 特征值与特征向量》教案1
《3.1.1 特征值与特征向量》教案1教学目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义． 2．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)． 3．利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题.知识梳理1．特征值与特征向量的定义设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．2．特征多项式的定义 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．3．特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0，求出λ的值．第二步：将λ的值代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋ λ－d y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．A n α(n ∈N *)的简单表示 (1)设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α，β是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t 1α＋t 2β(其中t 1，t 2为实数)，则A n γ＝t 1λn 1α＋t 2λn 2β(n ∈N *)．教学过程1．特征值与特征向量的几何意义如何？【提示】 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．2．特征值与特征向量有怎样的对应关系？【提示】 如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．3．如何求矩阵A 幂的作用结果？【提示】 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.课堂互动例一 (1)求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的特征值和特征向量；(2)已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A . 【思路探究】 (1)f (λ)→f (λ)＝0→特征值→特征向量 (2)利用Aα＝λα构建方程组求解．【自主解答】 (1)矩阵A 的特征多项式为：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 00 λ－2＝(λ－1)(λ－2)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将λ1＝1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－1 x ＋0·y ＝0，0·x ＋ λ－2 y ＝0， 解得y ＝0，x 可以为任何非零实数， 不妨记x ＝k ，k ∈R ，且k ≠0.于是矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.将λ2＝2代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－1 x ＋0·y ＝0，0·x ＋ λ－2 y ＝0，解得x ＝0，y 可以为任何非零实数，不妨记y ＝m ，m ∈R ，且m ≠0.于是矩阵A 的属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 因此，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(2)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130.变式训练(1)若将本例(1)中A 变为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 652，则其特征值与特征向量如何求？(2)已知矩阵A 有特征值λ1＝8及对应的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并有特征值λ2＝2及对应的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，试确定矩阵A . 【解】 (1)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6－5 λ－2.令f (λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个不相等的特征值．将λ1＝8代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－3 x ＋ －6 y ＝0， －5 x ＋ λ－2 y ＝0，① 即⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，得5x ＝6y . 它有无穷多个非零解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 56x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，它是属于特征值λ＝8的一个特征向量．类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋ －6 y ＝0，－5x －5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0. 它有无穷多个非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量．(2)不妨设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数．由题意则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－a －b －c 8－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00及⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a －b －c 2－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，从而⎩⎪⎨⎪⎧8－a －b ＝0，－c ＋8－d ＝0，2－a ＋2b ＝0，－c ＋2d －4＝0.解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.例二 给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .【思路探究】 用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A 4B＝sλ41α1＋tλ42α2求A 4B .【自主解答】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2) ＝24α1＋34α2 ＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397.变式训练 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2， 所以求得m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.课堂练习1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221的一个特征值是________，相应的一个特征向量为________．【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴它的一个特征值为3，特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 【答案】 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤112．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112，则矩阵A 的特征多项式为________．【解析】 特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋4－1＝λ2－4λ＋3.【答案】 λ2－4λ＋3 3．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001的属于特征值λ1＝1的特征向量是________，属于特征值λ2＝2的特征向量是________，它们________(填“共线”“不共线”)．【解析】 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， ∴α1与α2不共线．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 不共线4．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，则A 20α＝________.【解析】 矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的属于特征值λ1＝1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值λ2＝12的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.由α＝s α1＋t α2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，s ＝1，t ＝3，∴A 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝1×120×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3×1220×⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 3220＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 3220. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 3220课后练习1．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗？为什么？。
特征值与特征向量精品教案
特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。
3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。
难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。
二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。
教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。
例1：对于相关x 轴的反射变换σ：，从几何直观上可以发现，只有x 1001x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，反射变换σ只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭1k 2k 线的向量。
可以发现，反射变换σ分别把向量，变成，。
10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫-= ⎪-⎝⎭特别的，反射变换σ把向量变成，把向量变成。
用矩形的形式可110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭01⎛⎫⎪-⎝⎭表示为，。
101110100⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100010111⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2：对于伸缩变换ρ：，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 1002x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴的直线在伸缩变换ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
高中数学苏教版选修4-2《2.5 特征值与特征向量》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学苏教版选修4-2矩阵与变换《2.5 特征值与特征向量》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
(板演与口答)学生口述,任课老师多媒体展示结果,并提出问题:以上等式有什么共同特征? (生):二阶矩阵列矩阵=一个数列矩阵
(师):列矩阵一般表示? 向量故
这样我们就有了特征值与特征向量的概念.
合作释疑一:小组合作讨论特征值与特征向量的定义共同解疑.
1.特征值与特征向量的定义
设A是一个二阶矩阵,如果对于实数 ,存在一个非零向量 ,使___________,那么称为A的
___________________________, 称为A的_______________________________.
注:①关键词:非零向量
②定义的核心
③从几何的角度理解此核心:
>0 <0
=0
合作释疑二:小组再次合作讨论如何求例中矩阵的特征值与特征向量(结合下面例题)
例求矩阵的特征值与特征向量. (温馨提示:紧抓定义核心)
设计意图:让学生紧抓定义,结合定义求特征值与特征向量。
找个学生板书,大部分学生会求出 ,特征值应是非零向量。
学生讨论,解决此难题。
学生提出D=0(解决本题的关键)
学生口述,教师板书,规范解题格式。
最后再总结求矩阵特征值与特征向量的步骤。
线性代数中特征值与特征向量的教学设计
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０线性代数中特征值与特征向量的教学设计线性代数中特征值与特征向量的教学设计Һ张林丽１㊀原乃冬２㊀张晶晶１㊀白忠玉２㊀（１．海南大学应用科技学院，海南㊀儋州㊀５７１７３７；２．海口经济学院网络学院，海南㊀海口㊀５７１１２７）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的特征值与特征向量是线性代数中两个重要的概念．本文通过人口迁移问题的引入，采用问题驱动法和启发式教学构造出特征值与特征向量的概念，勉励学生努力践行社会主义核心价值观，培养学生严谨的科学态度和创造能力；利用研究式和启发式的教学方法推导特征值与特征向量的求法，引导学生树立崇高的学习志向，建立正确的人生观，培养学生提出问题㊁分析问题和解决问题的能力；采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，通过特征值与特征向量在人口迁移问题中的应用，培养学生应用知识解决实际问题的能力．本文将课程思政元素与线性代数相结合，在教学实践中落实立德树人的任务．ʌ关键词ɔ特征值；特征向量；课程思政元素ʌ基金项目ɔ海南大学应用科技学院教育教学改革研究项目（ＨＤＹＫＪＧ２０２００１，ＨＤＹＫＪＧ２０２００５），海南大学教育教学改革研究项目（ｈｄｊｙ２０７４）本文以线性代数中 矩阵的特征值与特征向量 这一节教学内容为例，从学情分析㊁教学目标㊁教学重难点和教学过程这四个方面设计教学模型，在教学实践中落实立德树人的任务．一㊁学情分析线性代数是高校理工类㊁经济管理类专业必学的一门公共课，它为学生今后的专业课学习提供必需的数学知识，同时培养学生的逻辑推理能力㊁抽象思维能力㊁空间想象能力以及用所学知识分析㊁解决实际问题的能力．方阵的特征值和特征向量是线性代数中一个重要的概念，它在方阵的对角化㊁微分方程组的求解和工程技术中的振动等问题中都有着重要的应用．本节课授课对象为大二年级理工类㊁经济管理类学生，他们已经学习了高等数学的相关知识．他们的优势是年轻㊁专注㊁有梦想，动手操作能力强，劣势是抽象思维能力㊁空间想象能力不足，数学应用能力弱，尤其对纯数学概念的学习缺乏兴趣．二㊁教学目标知识目标：让学生理解矩阵的特征值与特征向量的概念和性质；掌握方阵的特征值与特征向量的求法．能力目标：在特征值和特征向量的求法教学中，使学生的计算能力得到进一步提高．情感目标：在教学的过程中渗透变形法的数学思想，提高学生的应用意识以及 立体 的学习习惯．三㊁教学重难点教学重点：特征值与特征向量的概念㊁求法和应用．教学难点：特征值与特征向量的求法．四㊁教学过程（一）复习预备知识１．计算：Ａｘ１＝１１０２æèçöø÷１１æèçöø÷＝２２æèçöø÷＝２１１æèçöø÷＝２ｘ１．２．计算行列式：λ－３１２－２λ２－２１λ＋１＝λ（λ－１）２．３．求方程组－３ｘ１＋ｘ２＋２ｘ３＝０，－２ｘ１＋２ｘ３＝０，－２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０ìîíïïï的基础解系？基础解系：ξ１＝１１１æèççöø÷÷；全部非零解：ｋ１ξ１（ｋ１ʂ０）．教学设计：课前复习的作业是本节课要用到的知识，目的是减少课内简单计算所用的时间，充分突出重点；同时也是本着 笨鸟先飞 的原则，使计算能力较差的学生提前练习，达到复习的目的，保障课堂教学任务的完成；通过计算和观察增加对特征值和特征向量的感性认识，达到分散难点的目的．（二）课题引入引例（人口迁移模型）㊀假设一个省的总人口是固定的，人口的分布因居民在城市和农村之间迁徙而变化．假设每年有５％的城市人口迁移到农村（９５％仍留在城市），有１２％的农村人口迁移到城市（８８％仍留在农村），记ｒｉ，ｓｉ分别表示第ｉ年的城市与农村人口数，则ｒｉ＋１＝０．９５ｒｉ＋０．１２ｓｉ，ｓｉ＋１＝０．０５ｒｉ＋０．８８ｓｉ，{将该方程组写成矩阵方程的形式：ｘｉ＋１＝Ａｘｉ，其中迁移矩阵Ａ＝０．９５０．１２０．０５０．８８æèçöø÷，ｘｉ＝ｒｉｓｉæèçöø÷．设海南省２０１０年的人口分布为ｘ０＝５０００００７８００００æèçöø÷，计算海南省２０３０年的人口分布．解㊀ｘ２０＝Ａ２０ｘ０．难点：Ａ２０难计算．思想：Ａ２０转化ңＤ２０（Ｄ为对角矩阵）．教学设计：采用问题驱动法，由人口迁移问题，设想：（１）将迁移矩阵转化为对角矩阵？这个方法的实施感觉很渺茫；（２）能否将迁移矩阵线性化呢？继续寻求解决问题的思路，培养学生分析问题和解决问题的能力．在作业题第（１）题中：ＡＸ＝２Ｘ，左边是矩阵相乘的非线性运算，右边是数乘矩阵的线性运算，它启发我们可以将非线性运算简化成线性运算，由数２乘向量Ｘ等于矩阵Ａ乘向量Ｘ，也就是说，数２具备矩阵Ａ的特征，我们就把数２称为矩阵Ａ的特. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０征值，非零向量Ｘ称为矩阵Ａ的属于特征值２的特征向量．从直观的例子出发，让学生理解了特征值和特征向量的概念．再从２阶推广到ｎ阶，引导学生构造出特征值和特征向量的一般概念．（三）特征值与特征向量的概念定义㊀设Ａ是ｎ阶方阵，如果数λ和ｎ维非零向量Ｘ，使ＡＸ＝λＸ成立，则称数λ为方阵Ａ的特征值，非零向量Ｘ称为Ａ的对应于特征值λ的特征向量（或称为Ａ的属于特征值λ的特征向量）．说明：（１）Ａ是方阵；（２）特征向量是非零向量；（３）特征向量与特征值是对应关系．教学设计：采用启发式教学，引导学生构建特征值与特征向量的概念，达到分散难点的目的，也培养了学生的创造力．通过三点补充说明，培养学生严谨的科学态度．特征值和特征向量在振动㊁经济学等领域有着重要作用．例如，用乐器演奏音乐时，需要对乐器进行调音，使得各种乐器的频率相匹配，才能演奏出动听和谐的音乐，这里的频率就是特征值．和谐的东西是美的，和谐的社会是稳定的，我们应勉励学生努力践行社会主义核心价值观，共同维护当今来之不易的和谐文明社会，提醒学生要审慎地看待自己与身边人的关系，与社会的关系，牢牢树立和谐的观念，促进学生全面和谐的发展．（四）特征值与特征向量的求法有了特征值和特征向量的概念之后，学生会产生疑问：（１）方阵Ａ的特征值是否唯一？（２）属于特征值λ的特征向量是否唯一？（３）如果不唯一，如何求方阵Ａ的所有特征值和特征向量？下面，我们来回答这些问题．由定义可知：ＡＸ＝λＸ⇔λＸ－ＡＸ＝０⇔λＥ－Ａ()Ｘ＝０有非零解⇔λＥ－Ａ＝０．按照上面的分析，我们得出求特征值和特征向量的思路．（１）求特征值：求解特征方程λＥ－Ａ＝０的根；ｎ阶方阵Ａ在复数范围内有ｎ个特征值．（２）求λｉ的特征向量：齐次线性方程组λｉＥ－Ａ()Ｘ＝０的每个非零解都是方阵Ａ的属于λｉ的特征向量；它的全部非零解即为方阵Ａ的属于特征值λｉ的全部特征向量．例１㊀求Ａ＝１１０２æèçöø÷的特征值和特征向量．对比我们求得的方阵Ａ的属于特征值λ２＝２的特征向量ξ２＝１１æèçöø÷和作业题第（１）题中找到的特征向量ｘ１＝１１æèçöø÷，可以验证我们的求法正确．由例１可以引导学生给出求ｎ阶方阵Ａ的特征值和特征向量的步骤：（１）计算特征多项式λＥ－Ａ，求特征方程λＥ－Ａ＝０的根，即为Ａ的全部特征值；（２）对每个不同特征值λｉ，求齐次线性方程组λｉＥ－Ａ()Ｘ＝０的基础解系ξ１，ξ２， ，ξｎ－ｒ（ｒ＝ｒ（λｉＥ－Ａ）），则ｋ１ξ１＋ｋ２ξ２＋ ＋ｋｎ－ｒξｎ－ｒ（ｋ１， ，ｋｎ－ｒ不全为０），即是方阵Ａ的属于特征值λｉ的全部特征向量．例２㊀求矩阵Ａ＝３－１－２２０－２２－１－１æèççöø÷÷的特征值和特征向量．教学设计：采用研究式和启发式教学法，引导学生给出求ｎ阶方阵Ａ的特征值和特征向量的步骤．求特征值的关键是计算行列式，而行列式的计算我们在第一章学过．求特征向量的关键是求齐次方程组的基础解系，而基础解系的求解我们在第三章学过，从而达到用旧知识解决新问题的目的，分散本节课的难点．例２中行列式的计算可利用作业第二题的结果，简化课堂黑板板书运算过程．由λＸ－ＡＸ＝０⇔（λＥ－Ａ）Ｘ＝０，可以看到单位矩阵Ｅ在矩阵运算中起着雷锋 的作用，可引导学生树立正确的人生观，我们要做单位矩阵式的人，低调做人，认真做事，做一个有思想有抱负的人，在祖国和人民需要的时候做出应有的贡献．（五）应用回归起点，解决开始提出的问题，让学生完整体会科学研究中提出问题㊁分析问题和解决问题的全过程．例３㊀（人口迁移模型）已知Ａ＝０．９５０．１２０．０５０．８８æèçöø÷，ｘ０＝５０００００７８００００æèçöø÷，求ｘ２０＝Ａ２０ｘ０．解㊀矩阵Ａ的特征值为λ１＝１，λ２＝０．８３，其对应的特征向量分别是ｐ１＝２．４１æèçöø÷，ｐ２＝１－１æèçöø÷，令ｐ＝（ｐ１，ｐ２）＝２．４１１－１æèçöø÷，Ｄ＝１０００．８３æèçöø÷，则Ａ＝ＰＤＰ－１，Ａ２０＝ＰＤＰ－１()ＰＤＰ－１() ＰＤＰ－１()＝ＰＤ２０Ｐ－１，ʑｘ２０＝Ａ２０ｘ０＝ＰＤＰ－１ｘ０ʈ８９３８１５３８６１８５æèçöø÷，即２０３０年海南省人口分部情况为：城市人口为８９３８１５人，农村人口为３８６１８５人．教师提问：随着时间的流逝，预测海南省人口分布是否会趋于稳定？教学设计：采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，继续深化知识，研究解的稳定性．再次提到稳定的社会也是和谐的社会，勉励学生努力践行社会主义核心价值观．（六）小结特征值可以取代特征向量，让我们的世界变得简单；特征向量并不因此产生 嫉恨 ，用它包容和博大的胸怀，协同特征值改变了世界，数学的美体现了人性的真善美．其实，它们的魅力不仅如此，在后面 相似矩阵 和 对角矩阵 中它们联手作战，将ｎ阶方阵推向一个又一个高潮．如果你对它们感兴趣，就努力从特征值和特征向量做起吧，从做那个对了的特征值开始，去储藏更大的能量，为对了的事业做出自己的贡献．ʌ参考文献ɔ［１］崇金凤，卓泽朋．方阵的特征值和特征向量［Ｊ］．洛阳师范学院学报，２０１５，３４（１１）：２４－２６．［２］刘素兵，曲娜，曹大志．关于特征值与特征向量教学的探讨［Ｊ］．高师理科学刊，２０１７，３７（１０）：６２－６５．［３］同济大学数学系．工程数学：线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．. All Rights Reserved.。
高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量
高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量本文将介绍高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量，包括定义、求解方法和相关应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵运算中，特征值与特征向量是非常重要的概念，下面将对其进行详细定义。
设$A$为$n$阶矩阵，如果存在数$\lambda$和$n$维非零向量$\boldsymbol{x}$，使得$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，$\boldsymbol{x}$为矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量。
二、特征值与特征向量的求解方法在实际应用中，特征值与特征向量的求解十分重要，下面将分别介绍求解的方法。
1. 求解特征值设$\boldsymbol{x}$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，根据定义可得：$$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$$将两边同乘$\boldsymbol{x}^T$，即：$$\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}$$由于$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，所以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} \neq 0$，因此可以将上式两边同时除以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}$，即：$$\frac{\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}} {\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}} = \lambda$$上式右侧的$\lambda$即为对应的特征值，左侧的式子可以通过变形，变为关于$\lambda$的一元高次方程，进一步求解。
2. 求解特征向量在已知$A$的特征值$\lambda$的情况下，要求对应的特征向量$\boldsymbol{x}$，也是十分关键的一步。
《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计
《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计所属学科及专业：数学学科各专业所属课程：《高等代数》适用对象：本专科院校数学各专业学生一、教学背景首先，本节课的主讲内容“矩阵特征值与特征向量的定义与性质”是矩阵的运算和性质的简单应用，它是更好地理解线性变换的特征值与特征向量概念的前提和基础，是理解矩阵和线性变换的特征值和特征向量计算原理的基石，也为进一步学习和理解实二次型化标准型提供了一定的理论支持。
其次，通过之前线性变换和矩阵之间关系的学习，学生已感受到了矩阵的重要地位和作用，这为本节课的学习做了铺垫。
另外，矩阵的加法、数乘和乘法等运算及其性质的掌握为本节课的展开提供了理论支持。
再次，现今的大学数学教育，大部分学生的学习仍是被动学习，以学习知识为目的，不注重数学思想方法的领会，脱离了学习的最终目的和宗旨。
作为大学数学的授课教师，尤其是基础学科教师，应该尽其所能向学生展示数学知识的形成和发展过程，达到教育和学习的真正目的。
二、教学目标及教学重难点根据所讲内容在教材中的地位和作用，结合学生的认知水平，设定下列教学目标。
（一）知识目标1、通过总结、归纳和剖析，深刻理解矩阵特征值和特征向量的概念；2、通过激发学生的好奇心和求知欲，熟悉并掌握矩阵特征值和特征向量的相关性质。
（二）能力目标1、通过基本概念的学习，提高仔细观察和深入思考的能力；2、通过性质的学习过程，培养学生自己提出问题、分析问题和解决问题的能力，增加学习动力和热情。
（三）情感目标1、通过对概念的剖析，培养学生一丝不苟的学习态度和严谨求实的数学素养，最终形成老老实实做人，踏踏实实做事的工作学习作风；2、通过性质的学习，让学生感受从不同角度观察和认识事物，培养其多角度分析、解决实际问题处世技能。
根据教学目标和学生特点，将特征值与特征向量的性质作为本节课的教学重点和教学难点。
三、教学方法针对要讲解的两大知识点（特征值和特征向量的概念和性质），结合人类认识事物的规律，采取以问带学，边学边问的启发、探索式授课。
人教版高中选修4-22.特征值与特征向量的计算教学设计
人教版高中选修4-22．特征值与特征向量的计算教学设计1. 教学目标1.掌握方阵特征值与特征向量的概念及计算方法。
2.理解特征向量在线性代数中的重要性及应用。
3.能够运用特征值与特征向量求解矩阵对角化和矩阵的幂。
4.提高学生的综合思考能力和解决问题的能力。
2. 教学内容和教学方法2.1 教学内容1.方阵的特征值与特征向量的概念和定义。
2.方阵特征值的求解方法。
3.方阵特征向量的求解方法。
4.特征向量在线性代数中的应用。
5.矩阵对角化和矩阵的幂的求解方法。
2.2 教学方法1.前置知识的引入：复习向量的概念、矩阵的基本概念。
2.通过举例讲解特征值和特征向量的含义、计算方法和性质，并注重与现实问题的联系。
3.采用课堂讲授、案例分析和小组讨论等教学方法，培养学生的综合思考能力和解决问题的能力。
4.鼓励学生自主学习，在课后完成作业，并与同学分享归纳出的经验。
3. 教学流程设计时间教学内容教学方法10 min 引入课堂讲授20 min 特征值的概念与计算方法课堂讲授，案例分析20 min 特征向量的概念与计算方法课堂讲授，案例分析20 min 特征向量的应用课堂讲授，案例分析，小组讨论20 min 矩阵的对角化和矩阵的幂课堂讲授，案例分析10 min 课堂总结课堂讲授4. 教学评估4.1 教学评估方式1.课堂提问：随机抽取学生回答问题。
2.练习与作业：检验学生对特征值和特征向量的掌握程度，收集学生的问题。
3.期末考试：考察学生对本模块知识的整体掌握情况。
4.2 教学评估标准1.能够清楚地解释特征值和特征向量的概念和计算方法。
2.能够熟练地利用特征值和特征向量求解矩阵对角化和矩阵的幂。
3.能够理解并应用特征向量在线性代数中的重要性。
4.能够解决与特征值和特征向量相关的实际问题。
2019-2020年高二数学特征值与特征向量教案
2019-2020年高二数学特征值与特征向量教案变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
引例：根据下列条件试判断M 是否与共线：⑴M= ，非零向量=⑵ M= ，非零向量=⑶M ＝10⎡⎢⎢⎢⎣ 012⎤⎥⎥⎦，非零向量α＝， 解：⑴ M= ==3，所以M 与共线。
⑵ M= =，而与不共线。
即此时M 与不共线。
⑶M 与共线。
二、特征向量与特征值设二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量。
几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一直线上。
λ＞0方向不变；λ＜0方向相反；λ＝0，特征向量就被变换成零向量。
代数方法：特征多项式例2 求初等变换矩阵的特征值与特征向量，并作出几何解释。
例3 求矩阵M=⎢⎢⎣⎡251- 的特征值和特征向量： 解：矩阵M 的特征值满足方程25-1+λ =(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0 解得，矩阵M 的两个特征值1=4，2=-2⑴设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,则可取为属于特征值1=4的一个特征向量。
⑵设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量。
综上所述：M=⎢⎢⎣⎡251- 有两个特征值1=4，2=-2， 属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。
例3 已知：矩阵M= ，向量 = 求M 3解：由上题可知1 =,2 =是矩阵M= 分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1与2不共线。
线性代数教案-第五章 特征值和特征向量
第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、 教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相 似 矩 阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论 若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相 似 矩 阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。
线性代数中特征值与特征向量的教学设计
线性代数中特征值与特征向量的教学设计《线性代数中特征值与特征向量的教学设计》一、线性代数中特征值与特征向量的概念特征值（eigenvalue），即特征根或者特征数，是指一个矩阵的线性变换下的某个特殊的复数，用denotationlambda表示，它满足矩阵A与列向量x的某种关系：A*x=lambda*x。
特征向量（eigenvector）是一个实向量，表达线性变换中关于A的任意倍数x，它满足A*x=lambda*x，其中lambda是矩阵A的某个特征值。
二、特征值与特征向量的实践应用特征值和特征向量非常实用，能被广泛应用在计算机科学，图论，生物学，信号处理，数据挖掘，模式识别，机器学习，机械工程，系统分析和网络优化等研究领域中。
特征值和特征向量 often used in principal components analysis (PCA)研究来确定矩阵中最重要的特征，在多维数据分析中得到广泛的应用。
另外，有些科学研究和实际应用中，特征值也可以用来判断系统的稳定性。
三、特征值与特征向量的教学设计（一）理论知识篇首先，给学生介绍线性代数中的特征值和特征向量的概念，包括它的定义，限制条件和属性。
然后，为了让学生更好地理解这两个概念，介绍几何意义和计算过程，以及更深入的概念，如矩阵特征值分解，特征值与特征向量之间的有限关系，特征向量的归一化，叉乘定理等内容。
（二）实践演练篇学习理论知识后，学生可以用一些练习题和习题熟悉这些内容，并用一些实际案例进行实践练习。
学生可以自己实现求特征值或特征向量的算法，并探讨算法的时空复杂度，或者学生可以编程求解一些实际的问题，如矩阵最大特征值，最大特征向量等。
（三）应用实践篇学生可以对某些给定的矩阵计算特征值和特征向量，并对矩阵进行分析。
另外，学生要学习如何将特征值和特征向量应用在实际问题中，如运动学，图论和通信等领域，以及如何重新组合它们来解决实际问题。
《特征值与特征向量》 说课稿
《特征值与特征向量》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是《特征值与特征向量》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“特征值与特征向量”是高等数学中线性代数的重要内容，它不仅在线性代数中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学、计算机科学等领域也有着重要的地位。
本节课选自_____出版社出版的《线性代数》教材的第____章第____节。
在此之前，学生已经学习了矩阵的运算、线性方程组等相关知识，这为本节课的学习奠定了基础。
而特征值与特征向量的学习，又为后续学习矩阵的对角化、二次型等内容提供了重要的理论支持。
二、学情分析授课对象为_____专业的学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和逻辑思维能力。
但是，线性代数的抽象性和逻辑性较强，学生在学习过程中可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生理解概念的本质，通过实例帮助学生掌握相关知识和方法。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解特征值与特征向量的概念。
（2）掌握特征值与特征向量的求法。
（3）能够运用特征值与特征向量解决简单的实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
（2）通过例题和练习，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）让学生体会数学在实际生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）特征值与特征向量的概念。
（2）特征值与特征向量的求法。
2、教学难点（1）特征值与特征向量的概念的理解。
（2）特征方程的求解。
五、教法与学法1、教法为了突出重点、突破难点，我将采用讲授法、启发式教学法、案例教学法相结合的教学方法。
通过讲授法，让学生系统地掌握特征值与特征向量的相关知识；通过启发式教学法，引导学生思考问题，培养学生的思维能力；通过案例教学法，让学生将所学知识应用到实际问题中，提高学生的应用能力。
《3.1.2 特征值与特征向量的求法》教案1
《3.1.2 特征值与特征向量的求法》教案1教学目标1. 让学生能够熟练的运用特征值和特征向量的求法2. 认真分析问题的方法，可以独立解决问题教学重难点掌握并且运用特征值和特征向量的求法教学过程一、矩阵的特征值的定义定义1：设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如果存在非零n 维向量α，使得：λαα=A ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，非零向量α为矩阵A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量。
下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。
设A 是n 阶矩阵，如果0λ是A 的特征值，α是A 的属于0λ的特征向量， 则0000()0(0)A A E A αλαλααλαα=⇒-=⇒-=≠因为α是非零向量，这说明α是齐次线性方程组0)(0=-X A I λ的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵0E A λ-的行列式等于零，即0E A λ-＝0而属于0λ的特征向量就是齐次线性方程组0()0E A x λ-=的非零解。
定理1：设A 是n 阶矩阵，则0λ是A 的特征值，α是A 的属于0λ的特征向量的充分必要条件是0λ是0E A λ-＝0的根，α是齐次线性方程组0()0E A X λ-=的非零解。
定义2：称矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵，它的行列式E A λ-称为A 的特征多项式，E A λ-＝0称为A 的特征方程，其根为矩阵A 的特征值。
由定理1可归纳出求矩阵A 的特征值及特征向量的步骤：（1）计算E A λ-；（2）求E A λ-＝0的全部根，它们就是A 的全部特征值；（3）对于矩阵A 的每一个特征值0λ，求出齐次线性方程组0()0E A X λ-=的一个基础解系：r n -ηηη,,,21 ，其中r 为矩阵0E A λ-的秩；则矩阵A 的属于0λ的全部特征向量为：r n r n K K K --+++ηηη 2211其中r n K K K -,,,21 为不全为零的常数。
例1 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=011101110A 的特征值及对应的特征向量。
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特征值与特征向量
【教学目标】
1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。
3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学重难点】
重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。
难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学过程】
一、新课引入
教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。
二、讲授新课
教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？ 学生：伸缩变换，反射变换等等。
教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。
例1：对于相关x 轴的反射变换σ：1001x x y y '⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，反射
变换σ只把形如10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭和20k β⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的向量（其中1k ，2k 是任意常数），分别变成与自身共线的
向量。
可以发现，反射变换σ分别把向量10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭，20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭变成10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭，20k β⎛⎫
-= ⎪-⎝⎭。
特别的，反射变换σ把向量110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭变成110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，把向量201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭变成01⎛⎫
⎪-⎝⎭。
用矩形的形式可表示为
2．设二阶矩阵A 有两个不同特征值1λ，2λ，1ξ，2ξ是分别属于特征值1λ，2λ的任意特征向量，证明向量1ξ与2ξ不共线。