高等数学上册第三章

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例 3 讨论函数 y 3 x2 的单调性
解 函数的定义域为( )
y 32 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少
因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加
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讨论 1 设函数yf(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f (x)的两个相邻的零点 问f(x)在[x1 x2]上是否单调？ 2 如何把区间[a b]划分成一些小区间 使函数 f(x) 在每个小区间上都是单调的？ 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论
因为当x1时 f (x)0 所以f(x)在[1 )上f(x)单调增加 因此当x1时 f(x)f(1)0 即
2 x (3 1 ) 0 x
也就是
2 x 3 1 (x1) x
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二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外 还有不同的弯曲方向 如何 根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？
第三章微分中值定理与导数的应用
应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
罗尔定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a, b]上连续 (2)在开区间(a, b)内可导 (3)在区间端点处的函数值相等 即f(a)f(b) 那么在(a, b)内至少有一点(ab) 使得f ()0 应注意的问题 如果定理的三个条件有一 个不满足 则定理的结论有可 能不成立
说明 把定理中的 “ xa‖ 换成 “x‖ 把条件(2)换成 “当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0‖ 结论仍然成立
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―零比零”型未定式的定值法
3 x x2 例 2 求 lim 3 3 x1 x x2 x 1
3 2 3 ( x 3 x 2 ) 3 x 3 x 3 x 2 解 lim 3 2 lim 2 lim 3 2 x1 x x x 1 x1 ( x x x 1) x 1 3x 2 x 1 (3x2 3) 6 x 3 lim 2 lim x1 (3x 2x 1) x1 6x 2 2
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三、柯西中值定理
柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a b]上连续 (2)在 开区间(a b)内可导 (3)对任一x(a b) F (x)0 那么在(a b) 内至少有一点 使得
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
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―无穷比无穷”型未定式的定值法
例 5 求 lim ln nx (n0) x x 1 x lim x lim 1 0 解 lim lnn x x x nx n 1 x nx n n x 例 6 求 xlim (n 为正整数 >0) ex 2 2 2 n n( (n n 1 1 ) )x xnn xnn nx nxnn11 x n n ! ! lim lim lim lim lim 0 0 解 lim lim lim 解 n n x x 2 2 x x x x x x x x e x x x x x xx e e e e e e e
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拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a b]上连续 (2)在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内至少有一点(ab) 使得f(b)f(a)f ()(ba)
直线AB的斜率
f (b) f (a) k ba f (b) f (a) f () ba
f ( x) 0
动画演示
f ( x) 0
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定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少
定理的几何意义 f (b) f (a) 弦 AB 的斜率为 F (b) F (a) dY f ( ) 在点 x 处 dX F ( )
结束
§3.2 洛必达法则
未定式
如果当 xa (或 x)时 两个函数 f(x)与 F(x)都趋于 零或都趋于无穷大 那么极限可能存在、也可能不存在 0或 通常把这种极限叫做未定式 并分别简记为 0 其它类型的未定式 0 00 1 0
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定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的 例7 判断曲线yln x 的凹凸性 解 y 1 y 12
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸 性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸性与拐点
一、函数单调性的判定法
函数yf(x)的图象有时上升 有时下降 如何判断函数的 图象在什么范围内是上升的 在什么范围内是下降的呢？ 观察与思考 函数的单调性与导数的符 号有什么关系？ 观察结果 函数单调增加时导数大于 零 函数单调减少时导数小于 零
定理1(洛必达法则) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 函数f(x)及g(x)都趋于零(或无穷) (2)在点a的某去心邻域内f (x)及g(x)都存在 且g(x)0 f (x) (3) lim 存在(或为无穷大) xa g( x) f (x) f (x) lim lim 那么 xa g(x) xa g( x)
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例1 不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数 说明方程 f (x)0有几个实根 并指出它们所在的区间 解 f(1)f(2)f(3)0 f(x)在[1 2] [2 3]上满足罗尔定理的 三个条件 在(1 2)内至少存在一点1 使 f (1)0 1是 f (x)0的一 个实根 在(2 3)内至少存在一点2 使f (2)0 2也是f (x)0的一 个实根 f (x)是二次多项式 f (x)0只能有两个实根 分别在区间 (1 2)及(2 3)内
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其它类型未定式的定值法 未定式0、、00、1、0都可以转化为 “零比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式
1 n x ln x x n 解 lim x ln x lim n lim lim 0 n 1 x 0 nx x 0 n x 0 x 0 x
x0
例 7 求 lim xn ln x (n0)
(secx tan x) 例 8 求 lim π
x
1 sin x lim cos x 0 (sec x tan x ) 解 lim lim x π x π sin x x π cos x 2
2
2
2
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y2x39x212x3
函数f(x)在区间( 1]和[2 )内单 调增加 在区间[1 2]上单调减少
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例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 1 x 证明 令 f (x) 2 x (3 1 ) 则 x f ( x) 1 12 12 ( x x 1) x x x
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―零比零”型未定式的定值法 x 例 3 求 lim x sin 3 x0 x ) ( ( x ( x x sin sin sin x x ) x ) x x x sin sin sin x x x 1 1 1 cos cos cos x x x 解 lim lim lim lim lim lim lim lim lim 解 解 333 222 333 xx x 000 x xx x 000 3 x x x 000 (( ) x x 3 3 x x x x ( x x)) ) (1 ( 1 cos cos x ) (1 cos xx ) sin sin x x 1 1 sin x 1 lim lim lim lim lim lim 22 2 x xx 000 (( x 0006 xx ) 6 6 x x 6 6 6 x ( 3 3 x x 3 x )) π arctan x 2 例 4 求 xlim 1 x π arctan x 12 2 x 2 1 x xlim 1 解 xlim lim 2 x 1 x 1 12 x x
x x
因为在函数 yln x 的定义域(0 )内 y0 所以曲线yln x是凸的
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定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的
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拐点 连续曲线yf(x)上凹弧与 凸弧的分界点称为该曲线的 拐点

拐点
讨论 如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)存在 问f (x0)？ 如何找可能的拐点？ 提示 如果在x0的左右两侧f (x)异号 则(x0 f(x0))是拐点 在拐点(x0 f(x0))处f (x0)0或f (x0)不存在 只有f (x0)等于零或不存在 (x0 f(x0))才可能是拐点
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定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 例1 判定函数yxsin x 在[0 2p]上的单调性 解 因为在(0, 2p)内 y1cos x >0 所以函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加
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例4 确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间 解 这个函数的定义域为( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 导数为零的点为x11 x22 列表分析 x f (x) f (x) ( 1) ＋ ↗ (1 2) － ↘ (2 ) ＋ ↗
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定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 例2 讨论函数 yex x1的单调性 解 函数yexx1的定义域为( ) yex1 因为在( 0)内y<0 所以函数 yexx1在( 0]上单 调减少 因为在(0 )内y>0 所以函数 yexx1在[0 )上单 调增加