第七节 抛物线-高考状元之路
第七节 数学归纳法-高考状元之路
第七节 数学归纳法预习设计 基础备考知识梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 归纳法和 归纳法．2．数学归纳法(1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当n 取第1个值0n 时命题成立；②假设当 ,(,+∈=N k k n 且≥k 0n )时，命题成立的前提下成立的前提下，推出当1+=k n 时命题也成立，那么可以断定这个命题对于n 取第1个值后面的所有对正整数成立．(2)数学归纳法证题的步骤；①（归纳奠基）证明当n 取第一个值 时，命题成立． ②（归纳递推）假设 *),(0N k n k ∈≥时命题成立，证明当 对命题也成立． 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立，典题热身1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0答案：C2．已知,121111)(2nn n n n f +⋅⋅⋅⋅+++++=则( ) )(.n f A 中共有n 项，当2=n 时，3121)2(+=f )(.n f B 中共有1+n 项，当2=n 时，413121)2(++=f )(.n f c 中共有n n -2项，当2=n 时，3121)2(+=f )(.n f D 中共有12+-n n 项，当2=n 时，413121)2(++=f 答案：D3．用数学归纳法证明等式⋅⋅=+++12)()2)(1(n n n n n *),)(12(.3N n n ∈-⋅ 从”到“1+k k 左端需增乘的代数式为（ ）12.+k A )12(2.+k B 112.++k k c 132.++k k D 答案：B 4．记凸k 边形的内角和为),(k f 则凸1+k 边形的内角和=+)1(k f +)(k f答案：π5．用数学归纳法证明“n n 53+”能被6整除”的过程中，当=n 1+k 时，对式子)1(5)1(3+++k k应变形为答案：6)1(3)5(3++++k k k k课堂设计 方法备考题型一 用数学归纳法证明等式【例1】（2009．绵阳模拟）设nn f 131211)(++++= ).(⋅∈N n 求证：,2](1)([)1(...)2()1(≥-⋅=-+++n n f n n f f f *).N n ∈题型二 用数学归纳法证明不等式【例2】求证：当*)(1N n n ∈≥时，+++++211)(21(n .1...312n n>≥++ 题型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】用数学归纳法证明121)1(-+++n n a a 能被1.2++a a 整除*).(N n ∈ 题型四 归纳、猜想、证明【例4】 已知数列}{n a 中，22+=a a （a 为常数），n s 是}{n a 前n 项和，且n s 是n na 与na 的等差中项．(1)求⋅31,a a(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．技法巧点(1)利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明．(2)利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题．(3)利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题．(4)利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时常常利用凑数、凑多项式等恒等变形．失误防范1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个（或两个以上）初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．2．注意1+=k n 时命题的正确性．3．在进行1+=k n 命题证明时，一定要用*)(N k k n ∈=时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．随堂反馈1．用数学归纳法证明下列等式⋅+=+++⨯+⨯+⨯)1(4)22(2186641421n n n n I 2．若不等式24131...312111a n n n n >++++++++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 3．求证：*)(17)13(N n n n ∈-⨯+能被9整除．4．设数列}{n a 满足 ,3,2,1,112=+-=+n na a a n n n(1)当21=a 时，求,,,432a a a 并由此猜想出n a 的一个通项公式；(2)当31≥a 时，证明对所有的,1≥n 有.2+≥n a l高效作业 技能备考一、选择题1．对于不等式*),(12N n n n n ∈+<+某学生采用数学归纳法证明过程如下：(1)当1=n 时，,1111+<+不等式成立．(2)假设)(⋅∈=N k k n 时，不等式成立，即,1+<+k k k 则1+=k n 时，23)1()1(22++=+++k k k k)2()23(2++++<k k k.1)1()2(2++=+=k k∴ 当1+=k n 时，不等式成立，上述证法 ( )A ．过程全部正确B ．n=l 验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+l 的推理不正确 答案：D2．用数学归纳法证明等式2)1()12(531+=+++++n n *)(N n ∈的过程中，第二步假设k n =时等式成立，则当=n 1+k 时应得到( )2)12(531.k k A =+++++2)2()32(531.+=+++++k k B2)2()12(531.+=+++++k k C2)3()32(531.+=+++++k k D答案：B3．某个命题与自然数n 有关，若*)(N k k n ∈=时命题成立，那么可推得当1+=k n 时该命题也成立．现已知当5=n 时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当6=n 时，该命题不成立B ．当6=n 时，该命题成立C ．当4=n 时，该命题不成立D ．当4=n 时，该命题成立答案：C4．已知-=⨯++⨯+⨯+⨯+-na n n n (333433321132 *)N n c b ∈+对一切都成立，则a 、b 、c 的值为 （ ） 41,21.===c b a A 41.===c b a B 41,0.===c b a C D ．不存在这样的a 、b 、c 答案：A 5．在数列}{n a 中，,.311=a 且n n a n n s )12(-=，通过求,,32a a ,4a 猜想n a 的表达式为 )1)(1(1.+-n n A )12(21.+n n B )12)(12(1.+-n n c )22)(12(1.++n n D答案：C6．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”．那么，下列命题总成立的是 ( )A ．若9)3(≥f 成立，则当1≥k 时，均有2)(k k f ≥成立B ．若25)5(≥f 成立，则当5≤k 时，均有2)(k k f ≥成立C ．若49)7(<f 成立，则当8≥k 时，均有2)(k k f <成立D ．若25)4(=f 成立，则当4≥k 时，均有2)(k k f ≥成立答案：D二、填空题7．若,)2(321)(2222n n f ++++= 则)1(+k f 与)(k f 的递推关系是答案：22)22()12()()1(++++=+k k k f k f8．在数列}{n a 中，,11=a 且112,,s s s n n +成等差数列(n s 表示 数列}{n a 的前n 项和），则432,,s s s 分别 为 由此猜想=n s 答案：1212815,47,23--n π 9．下面三个判断中，正确的是),(1)(2⋅∈++++=N n k k k n f n ①当1=n 时，11)(=n f),(121...31211)(⋅∈+++++=N n n n f ② 当1=n 时，;31211)(++=n f ),(1312111)(⋅∈++++++=N n n n n n f ③ 则⋅++++++=+431331231)()1(k k k k f k f 答案：②三、解答题10．（2011．肇庆模拟）已知数列}{n a 中，=+=1,211n a a *),)(2sin(N n a n ∈π求证：.101<<<+n n a a 11.数列}{n a 满足*).(2N n a n s n n ∈-=(1)计算,,,,4321a a a a 并由此猜想通项公式,n a(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．12．已知数列∈=-++=≥+n a a a a a a n n n n n (11,0,0),{2211).⋅N 记,21n n a a a s +++=++++++= )1)(1(111211a a a T n ⋅+++)1()1)(1(121n a a a 求证：当*N n ∈时，;1)1(+<n n a a.2)2(->n s n。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 2-7
返回导航
第二章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
考点二
识图与辨图
【例 2】 (1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交 通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件 吻合得最好的图像是( )
A
B
C
D
第32页
返回导航
第二章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
第27页
返回导航
第二章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
通关特训 1 分别画出下列函数的图像： (1)y＝|lgx|; (2)y＝2x＋2；
x＋2 (3)y＝ ； (4)y＝|log2x－1|. x＋3
第28页
返回导航
第二章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
x0≤x≤1， f(x)＝ 11＜x≤2. 10≤x≤1， f(2－x)＝ 2－x1＜x≤2，
当 x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以
－10≤x≤1， y＝－f(2－x)＝ x－21＜x≤2.
故
故其对应的图像应为 B.
第38页
返回导航
第二章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
1. 描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3) 讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋 势)；(4)描点连线，画出函数的图像．
第5页
返回导航
第二章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
第七节 离散型随机变量及其分布列-高考状元之路
第七节 离散型随机变量及其分布列预习设计 基础备考知识梳理1．离散型随机变量的分布列 如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做2．离散型随机变量的分布列及性质(1)-般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为,1x X x x x n i ,,,,,2 取每一个值),,2,1(n i x i =的概率,)(i i p x X p ===则表称为离散型随机变量X 的 ，简称为X 的 ．有时为了表达简单，也用等式 表 示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质;,,2,1,0n i Pi =≥①.11=∑=ni i P ②3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中p= 称为成功概率．(2)超几何分布列：在含有M 件次品数的N 件产品中，任取咒件，其中含有X 件次品数，则事件}{k X =发生的概率为：==)(k X P ),,,2,1,0(m k C C C n Nk n M N k M =--其中=m ，且 ，则称分布列为超几何分布列．典题热身1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么4=X 表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗1点，另1颗3点C ．2颗都是2点D ．1颗是l 点，另l 颗是3点，或者2颗都是2点答案：D2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五4码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为繁X 的所有可能取值个数为 ( )25.A 10.B 7.c 6.D答案：C3．若随机变量X 的分布列为),3,2,1(2)(===i ai i X p 则==)2(X p （ ） 91.A 61.B 31.c 41.D 答案：C4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所人中女生人数不超过1人的概率是 答案：54 5．若ξ是离散型随机变量，31)(,31)(21====x p x p r ξξ且,21x x <又已知,92)(,34)(==ξξD E 则21x x +的值为答案：3课堂设计 方法备考题型一 利用离散型随机变量的分布列求解概率分布问题【例1】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．题型二 离散型随机变量分布列的性质及应用【例2】设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X+1的分布列；(2)︱X-1︱的分布列．题型三 超几何分布【例3】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列．技法巧点(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数，(x)的自变量是实数x ，而在随机变量的概念中，随机变量X 是试验结果．(2)对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．(3)求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率，失误防范掌握离散型随机变量的分布列，需注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的，每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.随堂反馈1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )1.A 221.±B 221.-c 221.+D 答案：C2．(2011．烟台模拟)随机变量X 的概率分布规律为=X p ()1()+=n n a n ),4,3,2,1(=n 其中a 是常数，则 )2521(<<X p 的值为( ) 32.A 43.B 54.c 65.D 答案：D3．（2011．安溪模拟）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)， 则)4(=X p 的值为( )2201.A 5527.B 22027.c 2521.D 答案：C4．（2011．荆门模拟）由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失（以“x 、y”代替），其表如下：则丢失的两个数据依次为答案：2，55．随机变量X 的分布列为若321,,P P P 成等差数列，则公差d 的取值范围是 答案：3131≤≤-d 高效作业 技能备考一、选择题1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于 ( )1.A 221.±B 221.-C 221.+D 答案：C2．已知随机变量X 的分布列为：..,,2,1,21)(⋅===k k X P k则)42(≤<X p 等于 ( ) 163.A 41.B 161.c 165.D 答案：A3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则)0( =ξP 的值为 ( )1.A 21.B 31.c 51.D 答案：C4．（2011．广州模拟）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，而X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于.156817C C C 的是 ( ) )2(.=X p A )2(.≤X p B )4(.=X P C )4(.≤X P D答案：C5．某射手射击所得环数X 的分布列为：则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为 ( )28.0.A 88.0.B 79,0.c 51.0.D答案：C6．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为1的概率 ( )3532.A 3512.B 353.c 352.D 答案：B二、填空题7．从装有3个红球，两个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为：答案：0.10.60.38．抛掷2颗骰予，所得点数之和X 是一个随机变量，则=≤)4(X p答案：619．(2011．济宁实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如下；若a 、b 、c 成等差数列，则==)1|(|ξp 答案：32 三、解答题10．（2011．广州模拟）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：(1)从这50名教师中随机选出2名，求两人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，11．(2011．西安五校联考)已知袋子里有红球3个，蓝球两个，黄球1个，其大小和质量都相同，从中任取一球确定颜色后再放回，取到红球后就结束选取，最多可以取三次．(1)求在三次选取中恰有两次取到蓝球的概率；(2)求取球次数的分布列．12．(2010．天津高考)某射手每次射击击中目标的概率是,32且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击五次，求恰有两次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击五次，求有三次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击三次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得O 分．在三次射击中，若有二次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若三次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列，。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分7二次函数与幂函数
开卷速查(七)二次函数与幂函数A级基础巩固练1．函数y＝x－x 13的图像大致为()ABCD解析：函数y＝x－x 13为奇函数．排除C、D；当x＞0时，由x－x 13＞0，即x3＞x可得x2＞1，即x＞1，结合选项，选A.答案：A 2．幂函数y ＝x m 2－4m(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵y ＝x m 2－4m(m ∈Z )的图像与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m ＜0，即0＜m ＜4.又∵函数的图像关于y 轴对称，且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2. 答案：C3．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像可能是( )ABCD解析：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0.∴图像开口向上与y 轴交于负半轴． 答案：D4．已知f (x )＝x12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b ) 解析：因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .答案：C5．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)解析：由已知可得二次函数图像关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c .答案：D6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，即－2＜a＜1.答案：C7．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x m－2为奇函数，则m＝__________.解析：由f(x)＝(m2－5m＋7)x m－2为幂函数得：m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，又因为该函数为奇函数，所以m＝3.答案：38．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.解析：由f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－(2a＋ab)＝0，解得a＝0或b＝－2.若a＝0，则f(x)＝bx2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，b ＝－2，又f(x)的最大值为4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x 2＋49．二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2－x )，若f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是__________．解析：由f (2＋x )＝f (2－x )，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|＜|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1＜x 2－2x ＋1，∴－2＜x ＜0.答案：(－2,0)10．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立，求c 的取值范围． 解析：由题意，得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点，且a ＜0，则⎩⎨⎧0＝a ×(－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab .解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18； 当x ＝1时，y ＝12.∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .∵g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，则需要g (1)≤0.即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．B 级 能力提升练11．已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0,4)解析：二次函数图像开口向上，对称轴为x ＝a2，又x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，即f (x )最小值＞0.①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a 2＞0，解得a ＞－23，与a ≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a2＞0， 解得a ＜2，与a ≥2矛盾；③当－1＜a 2＜1，即－2＜a ＜2时，Δ＝(－a )2－4·a2＜0，解得0＜a ＜2.综上得实数a 的取值范围是(0,2)． 答案：A12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a ＞0时，⎩⎨⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 13．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎨⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎨⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎨⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．14．[2015·“江淮十校”联考]设二次函数f (x )＝x 2－ax ＋b ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，求函数f (x )的解析式；(2)若F (x )＝f (x )＋2－a －a 2且f (1)＝0，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析：(1)由f (x )＝x ，得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.∵A ＝{x |f (x )＝x }＝{1,2}，∴1,2是关于x 的一元二次方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两个实数根．∴⎩⎨⎧a ＋1＝3，b ＝2.⇒⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.∴f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)∵f (1)＝0，∴1－a ＋b ＝0，b ＝a －1. ∴F (x )＝f (x )＋2－a －a 2＝x 2－ax ＋(1－a 2)．①当Δ≤0，即(－a )2－4(1－a 2)≤0，－255≤a ≤255时，应满足⎩⎨⎧a2≤0，－255≤a ≤255⇒－255≤a ≤0.②当Δ＞0，即a ＜－255或a ＞255时，设方程F (x )＝0的两个实数根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若a2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥1，F (0)＝1－a 2≤0⇒a ≥2；若a2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤0，F (0)＝1－a 2≥0.⇒－1≤a ＜－255.综上，实数a的取值范围是－1≤a≤0或a≥2.。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第2章 函数、导数及其应用-11
第27页
返回导航
第二章 第十一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
令h(x)＝4x－1x，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增， 所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥125或3a≤3， 解得a＜0或0＜a≤25或a≥1.
第28页
返回导航
第二章 第十一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
2．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(
)
A．(－1)
解析：函数y＝
1 2
x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－
1 x
＝
x－1xx＋1，令y′≤0，则可得0<x≤1.
答案：B
第14页
返回导航
第二章 第十一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第21页
返回导航
第二章 第十一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
②当a＞0时，f′(x)≤0(x＞0)等价于(2ax＋1)(ax－1)≥0(x＞ 0)，即x≥1a，
此时f(x)的单调递减区间为1a，＋∞. 由1a≤1， 得a≥1.
a＞0，
第22页
返回导航
第二章 第十一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第二章
函数、导数及其应用
第1页
返回导航
第二章 函数、导数及其应用
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第十一节 导数的应用(一)
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 8-7
2p n s i 2α
(α为AB所 在 直 线 的 倾 斜
第9页
第八章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
4 ( ) 过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛 物线的通径长为2p. 3个注意点——抛物线问题的三个注意点 (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首 先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置 (或开口方向)判断是哪一种标准方程．
|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6， 所 以 |AA1|＋ |BB1|≥6 2 ,| MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴 的 距 离 d≥2，选D.
第19页
返回导航
第八章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
2 ( ) 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝ |PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直 |1＋5| 线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为 2 ＝3 2 ，所以d1＋d2 1 ＋－12 的最小值为3 2－1.
第10页
返回导航
第八章
第七节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
2 ( ) 注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题． (3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切， 因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交 点．
第11页
返回导航
第八章
第七节
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单 考 性质(范围、对称性、顶点、离心率等)． 纲 2.了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背 导 景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中 学 的作用． 3.理解数形结合思想.
第七节 抛物线
第七节 抛物线A 组 基础题组1.设抛物线y 2=2px 的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=-1 B.x=-2 C.x=-3 D.x=-4答案 D 因为抛物线y 2=2px 的焦点(p2,0)在2x+3y-8=0上,所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=-4,故选D.2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A.y 2=12xB.y 2=-12xC.x 2=-12yD.x 2=12y答案 D 由抛物线的定义知,过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x 2=12y.3.已知抛物线C 1:x 2=2py(p>0)的准线与抛物线C 2:x 2=-2py(p>0)交于A,B 两点,C 1的焦点为F,若△FAB 的面积等于1,则C 1的方程是( ) A.x 2=2y B.x 2=√2y C.x 2=y D.x 2=√22y答案 A 由题意得F (0,p2),不妨设A (p ,-p2),B (-p ,-p2),∴S △FAB =12×2p×p=1,则p=1,即抛物线C 1的方程是x 2=2y,故选A.4.(2018四川成都检测)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,点A(0,-√3).若线段FA 与抛物线C 相交于点M,则|MF|=( ) A.43 B.√53C.23D.√33答案 A 如图.由题意得F(1,0),|AF|=2,设|MF|=d,则M 到准线的距离为d,M 的横坐标为d-1,由△AMN ∽△AFO,可得d -11=2-d 2,所以d=43,故选A.5.已知点A(0,2),抛物线C1:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线方程交于点N.若|FM|∶|MN|=1∶√5,则a的值为( )A.14B.12C.1D.4答案 D 依题意,点F的坐标为(a4,0),设点M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,|KM|∶|MN|=1∶√5,则|KN|∶|KM|=2∶1.∵kFN =0-2a4-0=-8a,kFN=-|KN||KM|=-2,∴8a=2,解得a=4.6.抛物线的顶点在坐标原点,开口向上,其准线经过双曲线y 24-x29=1的一个顶点,则此抛物线的标准方程为.答案x2=8y解析由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),因为双曲线的下顶点为(0,-2),所以-p2=-2,p=4,抛物线的标准方程为x2=8y.7.(2018沈阳质量检测)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y2=3x上,则△AOB的边长是.答案6√3解析如图,设△AOB的边长为a,则A(√32a,12a),∵点A在抛物线y2=3x上,∴14a2=3×√32a,∴a=6√3.8.(2018河南新乡二模)已知A(1,y 1),B(9,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,y 2>y 1>0,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则y 12+y 2的值为 .答案 10解析 由抛物线的定义可知,9+p2=5(1+p2),解得p=2,∴抛物线的方程为y 2=4x,又∵A,B 两点在抛物线上,∴y 1=2,y 2=6,∴y 12+y 2=22+6=10.9.已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上一点,横坐标为4,且位于x 轴上方,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线的方程;(2)若过M 作MN ⊥FA,垂足为N,求点N 的坐标.解析 (1)抛物线y 2=2px 的准线为x=-p2,于是4+p2=5,∴p=2,∴抛物线的方程为y 2=4x. (2)由(1)知点A 的坐标是(4,4). 由题意得B(0,4),M(0,2). 又∵F(1,0),∴k FA =43. ∵MN ⊥FA,∴k MN =-34,∴直线FA 的方程为y=43(x-1),① 直线MN 的方程为y=-34x+2,② 由①②联立得x=85,y=45, ∴N 的坐标为(85,45).10.已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C 与直线l 1:y=-x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程;(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB 的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB 的面积.解析 (1)易知直线与抛物线的一个交点的坐标为(8,-8), ∴(-8)2=2p×8,∴2p=8,∴抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)直线l 2与l 1垂直,故可设直线l 2:x=y+m(m ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),且直线l 2与x 轴的交点为M.由{y2=8x,x=y+m,得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m>0,∴m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2=y12y2264=m2,由题意可知OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=m2-8m=0,∴m=8或m=0(舍),∴直线l2:x=y+8,M(8,0).故S△FAB =S△FMB+S△FMA=12·|FM|·|y1-y2|=3√(y1+y2)2-4y1y2=24√5.B组提升题组1.(2018湖北武汉调研,6)已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,若OA,AB 的斜率分别为2,6,则OB的斜率为( )A.3B.2C.-2D.-3答案 D 由题意可知,直线OA的方程为y=2x,与抛物线方程y2=2px联立得{y=2x,y2=2px,得{x=p 2 ,y=p,即A(p2,p),则直线AB的方程为y-p=6(x-p2),即y=6x-2p,由{y=6x-2p,y2=2px,得{x=2p9,y=-2p3或{x=p2,y=p,所以B(2p9,-2p3),所以直线OB的斜率k OB=-2p32p9=-3.故选D.2.(2018福州质量检测)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交C于A,B两点,若|AF|=3|BF|=3,则p=( )A.3B.2C.32D.1答案 C 解法一:如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于D,BD交x轴于E.由已知条件及抛物线定义得,|BB 1|=|BF|=1,|AA 1|=|AF|=3,所以|AD|=3-1=2.在Rt △ABD 中,因为|AB|=4,|AD|=2,所以∠ABD=30°,所以|EF|=12|BF|=12,所以焦点F 到准线的距离为12+1=32,即p=32.故选C.解法二:依题意,直线AB 不与x 轴垂直,设直线AB 的方程为y=k (x -p2),将其代入抛物线C 的方程y 2=2px 得k 2x 2-p(k 2+2)x+k 2p 24=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2=p 24.因为|AF|=3|BF|=3,所以x 1+p2=3(x 2+p2)=3,即x 1=3-p2,x 2=1-p2,所以(3-p2)(1-p2)=p 24,解得p=32.故选C.3.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5.(1)求抛物线的标准方程;(2)是否存在直线l,使l 过点(0,1),并与抛物线交于B,C 两点,且满足OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. 解析 (1)∵点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5, ∴4+p2=5,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y 2=4x. (2)存在.理由:由题意可设直线l 的方程为x=k(y-1)(k ≠0), 代入抛物线方程,整理得y 2-4ky+4k=0, 则Δ=16k 2-16k>0⇒k<0或k>1,设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则y 1+y 2=4k,y 1y 2=4k, 由OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得x 1x 2+y 1y 2=0,所以(k 2+1)y 1y 2-k 2(y 1+y 2)+k 2=0, 则有(k 2+1)·4k-k 2·4k+k 2=0, 解得k=-4或k=0(舍去),∴直线l 存在,其方程为x+4y-4=0.4.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,且|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)若A关于x轴的对称点为D,抛物线的准线与x轴的交点为E,求证:B,D,E三点共线. 解析(1)F的坐标为(1,0),则l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知k≠0,且[-(2k2+4)]2-4k2·k2=16(k2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,∴2k 2+4k2=6,∴k2=1,即k=±1,∴直线l的方程为y=±(x-1).(2)证明:由抛物线的对称性知,D点的坐标为(x1,-y1),又E(-1,0),∴kEB -kED=y2x2+1--y1x1+1=y2(x1+1)+y1(x2+1)(x1+1)(x2+1),y2(x1+1)+y1(x2+1)=y2(y124+1)+y1(y224+1)=y1y24(y1+y2)+(y1+y2)=(y1+y2)(y1y24+1).由(1)知x1x2=1,∴(y1y2)2=16x1x2=16,又y1与y2异号,∴y1y2=-4,即y1y24+1=0,∴kEB=kED,又ED与EB有公共点E,∴B,D,E三点共线.。
2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线【课件】
x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
提醒：(1)焦点在 x 轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2，焦点在 y 轴上时，方程的 右端为±2py，左端为 x2.
(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，长等于 2p，是过焦点最短的弦．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通 径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( √ ) (5)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0， 准线方程是 x＝－a4.( × )
易错点睛：(1)求抛物线方程时容易忽视 p 的几何意义致错，解题时应注意． (2)直线与抛物线相交时，忽视与抛物线的对称轴平行的直线致错，如 6 题中忽视对 k ＝0 的讨论．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 抛物线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的
的点的轨迹
2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
【瀚海导航】高考数学总复习第十单元 第七节 抛物线精品课件
规律总结
(1)当直线与抛物线相交时，弦长，弦中点的问
题一般结合韦达定理，整体代入计算； (2)抛物线的焦点弦的性质，设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦 点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： 性质1：由抛物线的定义易得|AB|＝x1＋x2＋p.
性质2：由根与系数的关系易得x1x2＝，y1y2＝－p2.
从而确定p的值，得到抛物线的标准方程；
(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确 定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种 形式．从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2 ＝ax(a≠0)；焦点在y轴的，设为x2＝by(b≠0)．
过点(0,3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公 共点，求直线l的方程．
错解 设直线l的方程为y＝kx＋3，将其代入y2＝
4x，整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，则由Δ ＝0解得
k＝ .
∴直线l的方程为y＝x＋3.
错解分析 上述解法只考虑了直线的斜率k存在的情况，而忽视 了k不存在以及直线l平行抛物线对称轴时的两种情形．
正解 当斜率k存在且k≠0时，由上述知直线l的方程为y＝x＋3.
变式训练1
已知点A(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，
P在抛物线上移动时，求|PA|＋|PF|的最小值，并求这时 点P的坐标．
【解析】
如图所示，点A(3,2)在抛物线内部，作PQ垂直于准线l，
垂足为Q，因为|PF|＝|PQ|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋
|PQ|，所以过A作准线l的垂线交抛物线的点P可使|PA|＋
当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时l平行于对称轴，且与轨 物线只有一个交点. 当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时l的方程 为x＝0.
《状元之路》2020届高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练5-2 Word版含解析
高考专题训练时间：45分钟 分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．以双曲线x 23－y 2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x解析 由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y 2＝－8x .答案 D2．(2021·广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1解析 双曲线中c ＝3，e ＝32，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝5，故双曲线方程为x 24－y 25＝1.答案 B3．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析⎩⎨⎧2k －1>2－k ，2－k >0，∴1<k <2.答案 C4．(2021·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B |sin A －sin C |为( )A.32B.23C.54D.45解析 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝b|a －c |，由双曲线的标准方程和定义可知，A ，C 是双曲线的焦点，且b ＝10，|c －a |＝8.所以sin B |sin A －sin C |＝b |a －c |＝54.故选C.答案 C5．(2021·山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433解析 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p ，由题意得，对y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p ，所以M 点处的切线斜率为x 0p ，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，所以x 0p ＝33，x 0＝33p ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6，又知M 与双曲线右焦点F 2(2,0)与抛物线焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2共线，所以p 633p －2＝p 6－p 233p .整理得32p ＝2，所以p ＝43＝433，故选D.答案 D6．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，2) D ．(1，2]解析 由b ＋ca ＝a 2－c 2＋ca＝1－e 2＋e ，又0<e <1，设f (x )＝1－x 2＋x,0<x <1，则f ′(x )＝1－x1－x 2＝1－x 2－x 1－x 2.令y ′＝0，得x ＝22，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1上单调递减，∴f (x )max ＝1－12＋22＝2，f (0)＝1，f (1)＝1.∴1<f (x )≤2，故1<b ＋ca ≤ 2.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.∴⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.解得|PF 1||PF 2|＝18，∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9. 答案 98．(2021·北京大兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点间的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x ＝－p 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp 2a ，x ＝－p2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－bp 2a ＝－1，－p2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4，又已知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝ 5.所以双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 59．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a24的切线，切点为E ，。
【状元之路】(新课标 通用版)高考数学一轮复习 10-7抛物线同步检测(1)文
【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 10-7抛物线同步检测（1）文1．[2013·江西]已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：射线FA 的方程为x ＋2y －2＝0(x ≥0)． 如图所示，知tan α＝12，∴sin α＝55. 过M 点作准线的垂线，交准线于点G ， 由抛物线的定义知|MF |＝|MG |，∴|FM ||MN |＝|MG ||MN |＝sin α＝55＝15.故选C 项． 答案：C2．[2013·课标全国Ⅰ]O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C 项． 答案：C3．[2013·课标全国Ⅱ]设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0， 即y 202－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 20＝2px 0，得16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C 项． 答案：C4．[2014·聊城模拟]点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A. y ＝12x 2B. y ＝12x 2或y ＝－36x 2C. y ＝－36x 2D. y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析：将y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，当a >0时，准线y ＝－14a ，由已知得3＋14a ＝6，∴1a ＝12，∴a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，由已知得|3＋14a |＝6，∴a ＝－136或a ＝112(舍)．∴抛物线方程为y ＝x212或y ＝－136x 2，故选D.答案：D5．[2014·太原调研]设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由抛物线方程知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴直线l 为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，与y 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2.∴S △OAF ＝12·|OA |·|OF |＝12·|－a 2|·|a 4| ＝a 216＝4. ∴a ＝±8，∴抛物线方程为y 2＝±8x . 答案：B。
高考总动员高考数学大一轮复习 第8章 第7节 抛物线课件 文 新人教版
∴x0＝5－p2.∴y0＝
2p5－2p.
∵|AN|＝|M2F|＝52，∴|AN|2＝245.
∴x0＋2 p22＋y20－22＝245.
即5－p24＋p22＋
2p25－p2－22＝245.
∴
2p25－p2－2＝0.整理得 p2－10p＋16＝0.
解得 p＝2 或 p＝8.∴抛物线方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.
考向二 抛物线的标准方程与几何性质
[典例剖析]
【例 2】 (1)(2014·郑州模拟)如图 8-7-1 所示，过抛物线 y2
＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线交抛物线于点
A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|，
且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
所以∠ABD＝30°Байду номын сангаасm
的斜率为
33或－
3 3.
当 m 的斜率为 33时，由已知可设 n：y＝ 33x＋b，代入
x2＝2py 得 x2－233px－2pb＝0.
由于 n 与 C 只有一个公共点，故 Δ＝34p2＋8pb＝0. 解得 b＝－p6. 因为 m 的截距 b1＝2p，||bb1||＝3，所以坐标原点到 m，n 距 离的比值为 3. 当 m 的斜率为－ 33时，由图形对称性可知，坐标原点到 m，n 距离的比值也为 3. 综上，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3.
2．(2013·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两
条渐近线与抛物线 y2＝2px(p>0)的准线分别交于 A，B 两点，
O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 3，
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 7-4
4 □
⇒
a∥b
第6页
返回导航
第七章
第四节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
2 .平 面 与 平 面 平 行 1 ( ) 判 定 定 理 ： 文 字 语 言 如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 判 定 5 _ □ _ _ _ 的 直 线 都 平 行 于 图 形 语 言 符 号 语 言 6 □
第11页
返回导航
第七章
第四节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
1．下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
B．1个
第14页
返回导航
第七章
第四节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
解 析 ： 对 于 命 题 以①不 正 确 ； 对 于 命 题 不 正 确 ； 对 于 命 题 异 面 ， 因 此
①， 若 a∥b，b⊂α， 则 应 有
a∥α或a⊂α， 所
②， 若 a∥b，a∥α， 则 应 有
第四节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
2 个注意点——证明平行问题应注意的两个问题 1 () 在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线 a 在已知 平面外；二是直线 b 在已知平面内；三是两直线平行． 2 () 把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平 面与已知平面相交，则该直线与交线平行．
第七章
第四节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
第七节 抛 物 线
)
(4)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线， a x＝－ .( 4 )
新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
提示：(1)错误．当定点不在定直线上时才表示抛物线． (2)错误．抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 2 而非 4. (3)错误．抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形． (4)错误． 方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 y 轴上的抛物线，
新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
开口 方向 焦半径 (其中 P(x0，y0))
向右 |PF|＝ p x0＋2
向左 |PF|＝ p －x0＋2
向上 |PF|＝ p y0＋2
向下 |PF|＝ p －y0＋2
新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
二、必记结论 1．抛物线的焦半径 抛物线上的点 P(x0，y0)与焦点 F 的距离称为焦半径，记作 r＝|PF|. p (1)y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋2； p (2)y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋2； p (3)x2＝2py(p>0)，r＝y0＋2； p (4)x2＝－2py(p>0)，r＝－y0＋2. 2．与焦点弦有关的结论
b 过 C，F 两点，则 ＝________． a
新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
由|MF|＝5，得 ＝8，故选 C.
8 p2 － ＋16＝5.又 p 2
p＞0，解得 p＝2 或 p
新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
(2)由正方形的定义可知 BC＝CD，结合抛物线的定义得点 D
新课标高考总复习·数学
创新方案系列丛书
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七节 抛物线
预习设计 基础备考
知识梳理
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 直线l 叫做抛物线的
2．抛物线的标准方程与几何性质
典题热身
1．抛物线2
2x y -=的准线方程是 （ ） 21.=
x A 81.=x B 21=⋅y c 81=⋅y D 答案：D
2．抛物线)0(242>=a ax y 上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为
( )
x y A 82=⋅ x y B 122=⋅ x y C 162=⋅ x y D 202=⋅
答案：A
3．若点P 到直线1-=x 的距离比它到点(2，O)的距离小1，则点P 的轨迹为( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
答案：D
4．已知直线01=--y x 与抛物线2ax y =相切，则=a 答案：
41
5．在平面直角坐标系xoy 中，有一定点A(2，1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22>=P Px y 的焦点，则该抛物线的准线方程是 答案：4
5-=x 课堂设计 方法备考
题型一 抛物线的定义及其应用
【例1】已知抛物线x y 22=的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3，2)．
(1)求||||PF PA +的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．
(2)求点P 到点)1,21(-
B 的距离与点P 到直线2
1-=x 的距离之和的最小值． 题型二 抛物线的标准方程及几何性质
【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m ，-3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出此抛物线的方程．
题型三 直线与抛物线的位置关系
【例3】A 、B 是抛物线)0(22>=P Px y 上的两点，且B OA 0⊥
(1)求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB 过定点；
(3)求弦AB 中点P 的轨迹方程；
(4)求△AOB 面积的最小值．
技法巧点
(1)焦半径：)0(22>=P Px y 的焦半径为;2
0P x +通径长为2p. 注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径．
(2)抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于),,(),,(2211y x B y x A 则
;4,2
212
21P x x P y y =-=① ②若直线AB 的倾斜角为θ，则;sin 2||2θ
P AB = ③若F 为抛物线焦点，则有⋅=+P
BF AF 2||1||1 失误防范
1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．
2．注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题，
随堂反馈
1．已知点M(l ，O)，直线,1:-=x l 点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( )
A ．抛物线
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．直线
答案：A
2．（2011．广东汕头模拟）如图，过抛物线)0(22>=P Px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|,|2||BF BC =且,3||=AF 则此抛物线的方程为 ( )
x y A 232=
⋅ x y B 32=⋅ x y C 2
92=⋅ x y D 92=⋅ 答案：B
3．(2011．福建福州模拟)若抛物线x y 42
=的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 、M(4，4)且与l 相切的圆
共有 ( )
A ．O 个
B ．1个
C ．两个
D ．4个
答案：c
4．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则
π
+m mn 等于( ) a A 21. a B 41. a c 2. 4a D ⋅ 答案：B
5．已知抛物线Py x 22=（p 为常数，p≠O）上不同两点A 、B 的横坐标恰好是关于x 的方程0462
=++q x x （q 为常数）的两个根，则直线AB 的方程为
答案：023=++q Py x 高效作业 技能备考
一、选择题
1．（2011．陕西高考）设抛物线的顶点在原点，准线方程为,2-=x 则抛物线的方程是( )
x y A 82-=⋅ x y B 42-=⋅ x y C 82=⋅ x y D 42=⋅
答案：C
2．（2011．湖北高考）将两个顶点在抛物线)0(22>=P Px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形
个数记为n ，则( )
0.=n A 1.=n B 2.=n C 3.≥n D
答案：C
3．（2010．山东高考）设斜率为2的直线l 过抛物线=2y )0(=/a ax 的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （0为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 ( )
x y A 42±=⋅ x y B 82±=⋅ x y C 42=⋅ x y D 82=⋅
答案：B
4．(2011．辽宁高考)已知F 是抛物线x y =2的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，,3||||=+BF AF 则线
段AB 的中点到y 轴的距离为
43.A 1.B 45.c 4
7.D 答案：C
5．（2011．天津高考）已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左顶点与抛物线)0(22>=P Px y 的焦点的距离为4，且双曲 线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，1），则双曲线的焦距为
32.A 52.B 34.C 54.D
答案：B
6．(2011．山东高考)设),(00y x M 为抛物线y x C 8:2=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是
)2,0.(A ]2,0.[B ).2.(∞+c ),2.[+∞D
答案：C
二、填空题
7．（2011．烟台期末）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升2
1为后，水面的宽度是 米， 答案：34
8．（2010．北京朝阳区模拟）过抛物线)0(22>=P Px y 的焦点F 作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点，如果,3=那么直线l 的斜率=k 答案：22±
9．（2011．山东临沂模拟）已知A 、B 是抛物线y x 42=上的两点，线段AB 的中点为M(2，2)，则︱AB ︱等于 答案：24
三、解答题
10．（2011．福建高考）如图，直线b x y l +=:与抛物线:C y x 42=相切于点A ．
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
11．(2011．江西高考)已知过抛物线)0(22>=P Px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于
<∞1,211)((),,(x x B y x A )2x 两点，且.9||=AB
(1)求该抛物线的方程；
(2)0为坐标原点，C 为抛物线上一点，若,λ+=求λ的值．
12．（2011．岳阳联考）如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82
=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两
点．
(1)求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程；
(2)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.。