高等数学等价无穷小替换_极限的计算
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又如，
解： 商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限
例如，
解:
左右极限存在且相等,
【启发与讨论】
思考题1：
解：
无界，
不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
2. 分解因式，消去零因子法
例如， 。
3. 分子（分母）有理化法
例如，
又如，
4. 化无穷大为无穷小法
例如， ，实际上就是分子分母同时除以 这个无穷大量。由此不难得出
又如， ，（分子分母同除 ）。
再如， ，（分子分母同除 ）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
例如， ，（无穷小量乘以有界量）。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了 数列 的极限、 （ 、 ）函数 的极限、 （ 、 ）函数 的极限这七种趋近方式。下面我们用
讲义
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
【分析】“抓大头法”，用于 型
解：原极限= = ，或原极限
（4） ；
【分析】分子有理化
解：原极限= = =
（5）
【分析】 型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
解： = = =
（6）
【分析】“ ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
解：原极限= =6
（7）
解: 先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1)无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。
思考题2：若 ，且 ，问：能否保证有 的结论？试举例说明.
解：不能保证.例
思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
解：不能．例如当 时 都是无穷小量
但 不存在且不为无穷大，故当 时 和 不能比较.
【课堂练习】求下列函数的极限
（1） ；
解：原极限=
（2）求
【分析】“ ”型，拆项。
解：原极限= = =
（3） ；
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法,注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求ຫໍສະໝຸດ Baidu段函数极限.
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如： ， ，
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如， 观察各极限：
不可比.
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义:设 是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且
， ，
所以 当 时为无穷小，当 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，
则 为无穷小；反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
正解:
故原极限
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5
解:
原式
三、极限的简单计算
1. 代入法：直接将 的 代入所求极限的函数中去，若 存在，即为其极限，例如 ；若 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如， 就代不进去了，但我们看出了这是一个 型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
定义：当在给定的 ＊下， 以零为极限，则称 是 ＊下的无穷小，即 。
例如,
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的 ＊下， 无限增大，则称 是 ＊下的无穷大，即 。显然， 时， 都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
例1
证：
例2
解
2．常用等价无穷小:
（1） ～ ； （2） ～ ； （3） ～ ；
（4） ～ ； （5） ～ ； （6） ～
（7） ～ （8） ～ （9） ～
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如
3．等价无穷小替换
定理：
证：
例3（1） ；（2）
解:（1） 故原极限 = 8
（2）原极限= =
例4
错解: =0
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1 其中 是自变量在同一变化过程 （或 ）中的无穷小.
证：（必要性）设 令 则有
（充分性）设 其中 是当 时的无穷小，则
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
解： 商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7. 分段函数、复合函数求极限
例如，
解:
左右极限存在且相等,
【启发与讨论】
思考题1：
解：
无界，
不是无穷大．
结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
2. 分解因式，消去零因子法
例如， 。
3. 分子（分母）有理化法
例如，
又如，
4. 化无穷大为无穷小法
例如， ，实际上就是分子分母同时除以 这个无穷大量。由此不难得出
又如， ，（分子分母同除 ）。
再如， ，（分子分母同除 ）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
例如， ，（无穷小量乘以有界量）。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了 数列 的极限、 （ 、 ）函数 的极限、 （ 、 ）函数 的极限这七种趋近方式。下面我们用
讲义
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
【分析】“抓大头法”，用于 型
解：原极限= = ，或原极限
（4） ；
【分析】分子有理化
解：原极限= = =
（5）
【分析】 型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
解： = = =
（6）
【分析】“ ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
解：原极限= =6
（7）
解: 先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1)无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。
思考题2：若 ，且 ，问：能否保证有 的结论？试举例说明.
解：不能保证.例
思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？
解：不能．例如当 时 都是无穷小量
但 不存在且不为无穷大，故当 时 和 不能比较.
【课堂练习】求下列函数的极限
（1） ；
解：原极限=
（2）求
【分析】“ ”型，拆项。
解：原极限= = =
（3） ；
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法,注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求ຫໍສະໝຸດ Baidu段函数极限.
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如： ， ，
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如， 观察各极限：
不可比.
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义:设 是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且
， ，
所以 当 时为无穷小，当 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，
则 为无穷小；反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
正解:
故原极限
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5
解:
原式
三、极限的简单计算
1. 代入法：直接将 的 代入所求极限的函数中去，若 存在，即为其极限，例如 ；若 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如， 就代不进去了，但我们看出了这是一个 型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
定义：当在给定的 ＊下， 以零为极限，则称 是 ＊下的无穷小，即 。
例如,
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的 ＊下， 无限增大，则称 是 ＊下的无穷大，即 。显然， 时， 都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
例1
证：
例2
解
2．常用等价无穷小:
（1） ～ ； （2） ～ ； （3） ～ ；
（4） ～ ； （5） ～ ； （6） ～
（7） ～ （8） ～ （9） ～
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如
3．等价无穷小替换
定理：
证：
例3（1） ；（2）
解:（1） 故原极限 = 8
（2）原极限= =
例4
错解: =0
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1 其中 是自变量在同一变化过程 （或 ）中的无穷小.
证：（必要性）设 令 则有
（充分性）设 其中 是当 时的无穷小，则
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.