多项式乘法的实现
叉乘法计算多项式的乘法
第一步：把两个因式都按照某一个字母的降幂排列；
第二步：把其中的一个因式的字母自左向右写出来，有缺项
要补出，常数项写作该字母的0次方【一般先写项数少的】；
第三步：把另一个因式的字母自左
向右写出来，有缺项要补出【与上 一个多项式之间要留两行写数字的 空；左右端对齐】；
a
b
1 ＋1
1 ＋1
第四步：依次写出各项的系数【正
要补出，常数项写作该字母的0次方【一般先写项数少的】；
第三步：把另一个因式的字母自左 向右写出来，有缺项要补出【与上 一个多项式之间要留两行写数字的 空；左右端对齐】；
适 用于难度较大的分解因式题目，所以必须学会。
下面将由简到繁、详细地学习计算多项式乘法的叉乘法
例一：(a＋5)(a－7)
第一步：把两个因式都按照某一个字母的降幂排列；
第二步：把其中的一个因式的字母自左向右写出来，有缺项
要补出，常数项写作该字母的0次方【一般先写项数少的】；
第三步：把另一个因式的字母自左 向右写出来，有缺项要补出【与上 一个多项式之间要留两行写数字的 空；左右端对齐】；
(a＋5)(a－2a＋7)
的需要再相加】得出结果的系数，
＝ a3＋3a2－3a＋35
并一补个出一次字二母项；式与一个二次三项式相乘，结果一般是一个三次四项式。
例六：(2a＋b)(a2－2ab＋3b2)
第一步：把两个因式都按照某一个字母的降幂排列；
第二步：把其中的一个因式的字母自左向右写出来，有缺项
a
b
号可以省略，负号一定要写出】；
a2 ＋2ab ＋b2
第五步：按照图示方法相乘【叉乘
(a＋b)2
的需要再相加】得出结果的系数，
＝ a2＋2ab＋b2
多项式的乘法
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
今天的努力是为了明天的幸福多项式的乘法
学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 熟练地计算.难点是理
解并掌握公式.本节内容是进一步学习乘法公式及后续知识的基础.
1.多项式乘法法则，是多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的.计算时，先把看成一个单项式，是一个多项式，运用单项式与多项式相乘的法则，得到
然后再次运用单项式与多项式相乘的法则，得到：
2.含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一字母的二次三项式，它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到;积的一次项是由两个因式中的常数基分别乘以两个因式中的一次项后，合并同类项得到;积的常数项等于两个因式中常数项的积.如果因式中一次项的系数都是1，那幺积的二次项系数也是1，积的一次项系数等于两个因式中的常数项的和，这就是说，如果用、分别表示一个含有系数是1 的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有
3.在进行两个多项式相乘、直接写出结果时，注意不要漏项”.检查的办法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多基同甘共苦的积.如积的项数应是，即六项：
当然，如有同类项则应合并，得出最简结果.
4.运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏，为此，相乘时，要按一定的顺序进行.例如，，可先用第一个多项式中的第一项”分别与第二。
最快的多项式乘法
在数学中，最快的多项式乘法算法是通过点值表示法来实现的，时间复杂度为O(n)。
如果两个多项式用的是同一组x坐标，那么只要将对应的y坐标相乘即可，时间复杂度是O(n)的。
但是通常使用的多项式是系数表示法，将朴素的系数表示法转换为点值表示法的时间复杂度为O(n^2)，将点值表示法转换为系数表示法（高斯消元法）的时间复杂度甚至达到了O(n^3)。
为了实现快速的多项式乘法，需要使用单位根来进行系数与点值之间的转换。
单位根是指在复平面上以原点为圆心，半径为1的圆上的n等分点，设幅角为正且最小的向量对应的复数为\omega_n，称为n次单位根。
根据复数乘法的运算法则，可以得到其余n-1个复数为
\omega_{2n},\omega_{3n},\ldots,\omega_{nn}。
并且满足
\omega_{0n}=\omega_{nn}=1（对应复平面上以x轴为正方向的向量）。
根据上述四条性质，就可以进行快速的系数与点值之间的转换，从而实现最快的多项式乘法。
探索多项式的乘法运算规律
探索多项式的乘法运算规律在代数学中，多项式是一种常见的数学表达式形式，由各种数的乘积相加而成。
在多项式的运算中，其中一个重要的操作就是乘法。
本文将探索多项式的乘法运算规律，介绍多项式的展开和乘法法则，并通过几个例子来说明这些规律的应用。
一、多项式的展开多项式的展开是将一个多项式表达式按照指定规则进行乘法运算，得到的结果是一个简化的多项式。
在展开多项式的过程中，我们需要将每个单项式的系数与幂相乘，然后将得到的结果相加。
下面是一个多项式展开的例子：例子1：将多项式 (2x + 3y)(4x - y) 展开。
解析：首先，按照分配律将第一个多项式的每一项与第二个多项式进行乘法运算，得到如下结果：(2x + 3y)(4x - y) = 2x * 4x + 2x * (-y) + 3y * 4x + 3y * (-y)接下来，我们再对每一项进行乘法运算并合并同类项：= 8x^2 - 2xy + 12xy - 3y^2最后，合并同类项并整理得到最简形式：= 8x^2 + 10xy - 3y^2因此，(2x + 3y)(4x - y) 展开后的结果为 8x^2 + 10xy - 3y^2。
二、多项式的乘法法则多项式的乘法法则规定了多项式之间的乘法运算规律。
下面介绍几个常见的乘法法则：1. 分配律：a(b + c) = ab + ac分配律是多项式乘法的基本法则，它规定了先将多项式的每一项与括号外的项进行乘法运算，然后将得到的结果相加。
2. 幂运算法则：(a^m)(a^n) = a^(m+n)幂运算法则规定了相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。
3. 同类项相乘：a^m * b^n = (ab)^(m+n)同类项相乘的法则规定了指数相同的同类项相乘时，底数相乘，并将指数保持不变。
通过运用这些乘法法则，我们可以简化多项式的乘法运算，提高计算效率。
三、应用举例现在我们来看几个实际的例子，以展示多项式乘法运算规律的应用：例子2：计算多项式 (3x^2 + 2xy)(x - 5y)。
多项式的乘法运算
多项式的乘法运算多项式是代数学中一个重要的概念，通过对多项式的乘法运算，我们可以得到一个新的多项式。
本文将探讨多项式的乘法运算，并给出详细的步骤和示例。
一、多项式的定义多项式是指由一系列变量和常数通过加、减和乘运算得到的表达式。
多项式的一般形式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式的函数形式，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0称为多项式的系数，x为变量，n为多项式的次数。
二、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指将两个或多个多项式相乘的操作。
在进行乘法运算时，我们需要根据乘法分配律和乘法规律进行计算。
1. 乘法分配律：对于多项式P(x)、Q(x)和R(x)，我们有：P(x) * (Q(x) + R(x)) = P(x) * Q(x) + P(x) * R(x)2. 乘法规律：对于多项式P(x)和Q(x)，我们有：P(x) * Q(x) = a(x^n) * b(x^m) = a * b * (x^(n+m))其中，a和b为P(x)和Q(x)的系数，n和m为P(x)和Q(x)的次数。
三、多项式的乘法步骤下面，我们将通过一个具体的例子来说明多项式的乘法运算的步骤。
例：计算多项式 (3x^2 + 2x + 1) * (4x^3 - x)步骤1：将第一个多项式展开并与第二个多项式的每一项相乘。
(3x^2 + 2x + 1) * 4x^3 = 12x^5 + 8x^4 + 4x^3(3x^2 + 2x + 1) * (-x) = -3x^3 - 2x^2 - x步骤2：将第一步中的结果相加，并进行合并。
12x^5 + 8x^4 + 4x^3 + (-3x^3) + (-2x^2) + (-x) = 12x^5 + 8x^4 + x^3 - 2x^2 - x所以，(3x^2 + 2x + 1) * (4x^3 - x) = 12x^5 + 8x^4 + x^3 - 2x^2 - x四、多项式乘法的应用多项式的乘法运算在代数学中具有广泛的应用。
多项式的乘法
规律： +
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
×
练习：用推导的公式计算：
(x 3)(x 4) x2 x 12
(x 1)(x 1) x2 1
运用三：你会解答吗? 若(a + m) (a – 2 ) = a2 + na – 6 对 a 的任
①②
符(12、)号(多a相①项乘1③②式)(；④b乘1法)中a，b每 a一项b应1连同
(23、)(a要防1)(止b漏1乘) ；ab a b 1
③④
例2 计算: (3x-1)(x+3)
(a+b)(x+2y) (2a-5b)(a+5b) (3x+y)(x-2y+4s)
运用二：你发现了什么? (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6;
(x + 4)(x + 2) = x2 + 6x + 8;
(x + 6)(x + 5) = x2 + 11x + 30;
根据你发现的规律,你能快速写出下面 的结果吗?
(x + 3) (x + 5) = x2 + 8x + 15 你能说出与(x + a) (x + b)相等的 多项式吗?
= – 6x2 + 3x – 1 + x + 6x2 = 4x – 1
运用一：先化简,再求值: (2a – 3 )(3a + 1) – (6a-1)(a – 4 ), 其中 a 7
18 解:原式=6a2+2a-9a-3-(6a2-24a-a+4)
多项式的乘法定理
多项式的乘法定理多项式的乘法定理，这就像是一场数学世界里的奇妙组合游戏。
咱先来说说啥是多项式。
多项式就好比是一群小伙伴，每个小伙伴都带着自己的数字和字母。
比如说，3x + 2就是一个简单的多项式，3x是一个小伙伴，2也是一个小伙伴。
那多项式相乘呢，就像是这些小伙伴们要重新组合起来，组成新的大家庭。
就拿(x + 1)(x + 2)这个式子来说吧。
这就像是两组小伙伴要合并到一起。
我们可以这么想，把第一个括号里的x和1当成两个小团队，第二个括号里的x和2也当成两个小团队。
x这个小团队要去和第二个括号里的x和2分别交朋友，1这个小团队也要去和x和2分别交朋友。
这样就得到了x 乘以x等于x²，x乘以2等于2x，1乘以x等于x，1乘以2等于2。
最后把这些结果加起来，就成了x² + 3x + 2。
再看个复杂点的，(2x² + 3x - 1)(x - 2)。
这就好比是一场更大规模的社交聚会。
2x²这个比较厉害的小伙伴要去和x以及 - 2打交道，3x这个小伙伴也要去， - 1这个小伙伴也不能落下。
2x²乘以x得到2x³，2x²乘以 - 2得到 - 4x²。
3x乘以x得到3x²，3x乘以 - 2得到 - 6x。
- 1乘以x得到 - x， - 1乘以 - 2得到2。
把这些都加起来，就是2x³ - x² - 7x + 2。
那为啥要这么做呢？这就像是搭积木一样，多项式相乘能让我们构建出更复杂的数学结构。
比如说在物理学里，计算物体的运动轨迹或者受力情况的时候，可能就会用到多项式相乘。
如果把物理问题比作是盖房子，那多项式相乘就是其中一块非常重要的砖头。
有时候，多项式相乘还能帮我们解决一些有趣的谜题。
比如说，有个长方形的面积，长是3x + 2，宽是2x - 1，那这个长方形的面积是多少呢？这就是多项式相乘的问题啦。
按照前面说的方法，算出来就是6x² + x - 2。
多项式的乘法运算
多项式的乘法运算多项式是数学中一个重要的概念，它由若干个项组成，每个项是由系数与指数的乘积所得。
多项式的乘法运算是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
本文将详细介绍多项式的乘法运算，并给出相应的示例。
一、多项式的定义首先，我们来定义多项式的基本概念。
一个多项式由若干个项组成，每个项由系数与指数的乘积所得。
通常，多项式的形式可以表示为：P(x) = an * x^n + an-1 * x^(n-1) + ... + a1 * x + a0其中，P(x)表示多项式，x表示变量，an、an-1、...、a1、a0表示系数，n表示最高次数。
例如，一个多项式P(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1就是一个三次多项式。
二、多项式的乘法运算是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
具体来说，我们需要将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项进行相乘，然后将结果相加，得到最终的结果。
例如，设有两个多项式P(x) = 3x^2 + 2x + 1和Q(x) = 4x^3 - x^2 +2x - 1，我们将对它们进行乘法运算。
首先，我们将P(x)的每一项与Q(x)的每一项进行相乘：P(x) * Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) * (4x^3 - x^2 + 2x - 1)= 3x^2 * 4x^3 + 3x^2 * (-x^2) + 3x^2 * 2x + 3x^2 * (-1) + 2x * 4x^3 +2x * (-x^2) + 2x * 2x + 2x * (-1) + 1 * 4x^3 + 1 * (-x^2) + 1 * 2x + 1 * (-1)= 12x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 8x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 2x + 4x^3 - x^2 +2x - 1= 12x^5 + 5x^4 + 8x^3 + x^2 + 2x - 1最后，我们将所有相乘得到的项相加，得到多项式P(x) * Q(x) =12x^5 + 5x^4 + 8x^3 + x^2 + 2x - 1。
一元多项式加法、减法、乘法实现源代码
⼀元多项式加法、减法、乘法实现源代码////链接程序：#include#include#include//using namespace std;#define N 1000//#define INF 65535void link();void shunxu();void Menu();typedef struct{int a[N];//记录多项式int len;//记录多项式的长度}Ploy;typedef struct //项的表⽰{ float coef; //系数int expn; //指数}term;typedef struct LNode{ term data; //term多项式值struct LNode *next;}LNode,*LinkList; //两个类型名typedef LinkList polynomail; //⽤带头结点的有序链表表⽰多项式/*⽐较指数*/int cmp(term a,term b){ if(a.expn>b.expn) return 1;if(a.expn==b.expn) return 0;if(a.expnelse exit(-2);}/*⼜⼩到⼤排列*/void arrange1(polynomail pa){ polynomail h=pa,p,q,r;if(pa==NULL) exit(-2);for(p=pa;p->next!=NULL;p=p->next); r=p;for(h=pa;h->next!=r;)//⼤的沉底{ for(p=h;p->next!=r&&p!=r;p=p->next)if(cmp(p->next->data,p->next->next->data)==1){ q=p->next->next;p->next->next=q->next;q->next=p->next;p->next=q;}r=p;//r指向参与⽐较的最后⼀个，不断向前移动} }/*由⼤到⼩排序*/void arrange2(polynomail pa){ polynomail h=pa,p,q,r;if(pa==NULL) exit(-2);for(p=pa;p->next!=NULL;p=p->next); r=p;for(h=pa;h->next!=r;)//⼩的沉底{ for(p=h;p->next!=r&&p!=r;p=p->next)if(cmp(p->next->next->data,p->next->data)==1){ q=p->next->next;p->next->next=q->next;q->next=p->next;p->next=q;}r=p;//r指向参与⽐较的最后⼀个，不断向前移动} }/*打印多项式,求项数*/int printpolyn(polynomail P){ int i;polynomail q;if(P==NULL) printf("⽆项！\n");else if(P->next==NULL) printf("Y=0\n");else{ printf("该多项式为Y=");q=P->next;i=1;if(q->data.coef!=0&&q->data.expn!=0){ printf("%.2fX^%d",q->data.coef,q->data.expn); i++; }if(q->data.expn==0&&q->data.coef!=0)printf("%.2f",q->data.coef);//打印第⼀项q=q->next;if(q==NULL){printf("\n");return 1;}while(1)//while中，打印剩下项中系数⾮零的项，{ if(q->data.coef!=0&&q->data.expn!=0){ if(q->data.coef>0) printf("+");printf("%.2fX^%d",q->data.coef,q->data.expn); i++;}if(q->data.expn==0&&q->data.coef!=0){ if(q->data.coef>0) printf("+");printf("%f",q->data.coef);}q=q->next;if(q==NULL){ printf("\n"); break; }}}return 1;}/*1、创建并初始化多项式链表*/polynomail creatpolyn(polynomail P,int m){//输⼊m项的系数和指数，建⽴表⽰⼀元多项式的有序链表P polynomail r,q,p,s,Q;int i;P=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));r=P;for(i=0;i{s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));printf("请输⼊第%d项的系数和指数：",i+1);scanf("%f%d",&s->data.coef,&s->data.expn);r->next=s;r=s;}r->next=NULL;if(P->next->next!=NULL){for(q=P->next;q!=NULL/*&&q->next!=NULL*/;q=q->next)//合并同类项for(p=q->next,r=q;p!=NULL;)if(q->data.expn==p->data.expn){q->data.coef=q->data.coef+p->data.coef;r->next=p->next;Q=p;p=p->next;free(Q);}else{r=r->next;p=p->next;}}return P;}/*2、两多项式相加*/polynomail addpolyn(polynomail pa,polynomail pb) {//完成多项式相加运算，即：Pa=Pa+Pb polynomail s,newp,q,p,r;int j;p=pa->next;q=pb->next;newp=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));r=newp;while(p&&q)//p&&q都不为空{s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));switch(cmp(p->data,q->data)){case -1: s->data.coef=p->data.coef;s->data.expn=p->data.expn;r->next=s;r=s;p=p->next;break;case 0: s->data.coef=p->data.coef+q->data.coef;if(s->data.coef!=0.0){s->data.expn=p->data.expn;r->next=s;r=s;}p=p->next;q=q->next;break;case 1: s->data.coef=q->data.coef;s->data.expn=q->data.expn;r->next=s;r=s;q=q->next;break;}//switch}//while p||q有⼀个跑完就跳出该循环while(p)//p没跑完{s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));s->data.coef=p->data.coef;s->data.expn=p->data.expn;r->next=s;r=s;p=p->next;}//p跑完跳出循环while(q)//q没跑完{s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));s->data.coef=q->data.coef;s->data.expn=q->data.expn;r=s;q=q->next;}//q跑完跳出循环//p&&q都跑完r->next=NULL;for(q=newp->next;q->next!=NULL;q=q->next)//合并同类项{for(p=q;p!=NULL&&p->next!=NULL;p=p->next)if(q->data.expn==p->next->data.expn){q->data.coef=q->data.coef+p->next->data.coef;r=p->next;p->next=p->next->next;free(r);}}printf("升序 1 , 降序 2\n");printf("选择排序⽅式:");scanf("%d",&j);if(j==1)arrange1(newp);elsearrange2(newp);return newp;}/*3、两多项式相减*/polynomail subpolyn(polynomail pa,polynomail pb){//完成多项式相减运算，即：Pa=Pa-Pbpolynomail s,newp,q,p,r,Q; int j;p=pa->next;q=pb->next;newp=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));r=newp;while(p&&q){s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));switch(cmp(p->data,q->data)){case -1: s->data.coef=p->data.coef;s->data.expn=p->data.expn;r->next=s;r=s;p=p->next;break;case 0: s->data.coef=p->data.coef-q->data.coef;if(s->data.coef!=0.0){s->data.expn=p->data.expn;r->next=s;r=s;}p=p->next;q=q->next;break;case 1: s->data.coef=-q->data.coef;s->data.expn=q->data.expn;r->next=s;r=s;}//switch}//whilewhile(p){s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));s->data.coef=p->data.coef;s->data.expn=p->data.expn;r->next=s;r=s;p=p->next;}while(q){s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));s->data.coef=-q->data.coef;s->data.expn=q->data.expn;r->next=s;r=s;q=q->next;}r->next=NULL;if(newp->next!=NULL&&newp->next->next!=NULL)//合并同类项{for(q=newp->next;q!=NULL;q=q->next)for(p=q->next,r=q;p!=NULL;)if(q->data.expn==p->data.expn){q->data.coef=q->data.coef+p->data.coef;r->next=p->next;Q=p;p=p->next;free(Q);}else{r=r->next;p=p->next;}}printf("升序 1 , 降序 2\n");printf("选择:");scanf("%d",&j);if(j==1)arrange1(newp);elsearrange2(newp);return newp;}/*4两多项式相乘*/polynomail mulpolyn(polynomail pa,polynomail pb){//完成多项式相乘运算，即：Pa=Pa*Pbpolynomail s,newp,q,p,r;int i=20,j;newp=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));r=newp;for(p=pa->next;p!=NULL;p=p->next)for(q=pb->next;q!=NULL;q=q->next){s=(LNode*)malloc(sizeof(LNode));s->data.coef=p->data.coef*q->data.coef;s->data.expn=p->data.expn+q->data.expn;r->next=s;r=s;}r->next=NULL;printf("升序 1 , 降序 2\n");printf("选择:");scanf("%d",&j);if(j==1)arrange1(newp);elsearrange2(newp);for(;i!=0;i--){for(q=newp->next;q->next!=NULL;q=q->next)//合并同类项for(p=q;p!=NULL&&p->next!=NULL;p=p->next)if(q->data.expn==p->next->data.expn){q->data.coef=q->data.coef+p->next->data.coef;r=p->next;p->next=p->next->next;free(r);}}return newp;}/*5、销毁已建⽴的两个多项式*/void delpolyn(polynomail pa,polynomail pb){polynomail p,q;p=pa;while(p!=NULL){q=p;p=p->next;free(q);}p=pb;while(p!=NULL){q=p;p=p->next;free(q);}printf("两个多项式已经销毁\n");}void Menulink(){printf("\n");printf(" ********⼀元多项式链式存储的基本运算********\n"); printf(" 1、创建两个⼀元多项式请按1\n");printf(" 2、两多项式相加得⼀新多项式请按2\n");printf(" 3、两多项式相减得⼀新多项式请按3\n");printf(" 4、两多项式相乘得⼀新多项式请按4\n");printf(" 5、销毁已建⽴的两个多项式请按5\n");printf(" 6、退出该⼦系统返回主菜单请按6\n");printf(" 7、退出该系统请按7\n");printf(" ********************************************\n");printf("\n");}void link() //⼀元多项式链式存储的实现{polynomail pa=NULL,pb=NULL;polynomail p,q;polynomail addp=NULL,subp=NULL,mulp=NULL; int n,m;printf("已进⼊链式存储⼀元多项式运算的⼦系统\n"); Menulink();while(1){printf("请选择你想进⾏的链式存储运算操作：\n"); scanf("%d",&n);switch(n){case 1:if(pa!=NULL){printf("已建⽴两个⼀元多项式，请选择其他操作!"); break;}printf("请输⼊第⼀个多项式：\n");printf("要输⼊⼏项：");scanf("%d",&m);while(m==0){printf("m不能为0，请重新输⼊m：");scanf("%d",&m);}pa=creatpolyn(pa,m);printpolyn(pa);printf("请输⼊第⼆个多项式：\n");printf("要输⼊⼏项：");scanf("%d",&m);while(m==0){printf("m不能为0，请重新输⼊m：");scanf("%d",&m);}pb=creatpolyn(pb,m);printpolyn(pb);break;case 2:if(pa==NULL){printf("请先创建两个⼀元多项式!\n");break;}addp=addpolyn(pa,pb);printpolyn(addp);break;case 3:if(pa==NULL){printf("请先创建两个⼀元多项式!\n");break;}subp=subpolyn(pa,pb);printpolyn(subp);break;case 4:if(pa==NULL){printf("请先创建两个⼀元多项式!\n"); break;}mulp=mulpolyn(pa,pb);printpolyn(mulp);break;case 5:if(pa==NULL){printf("请先创建两个⼀元多项式!\n"); break;}delpolyn(pa,pb);pa=pb=NULL;printf("两个⼀元多项式的销毁成功!\n"); break;case 6:if(addp!=NULL){p=addp;while(p!=NULL){q=p;p=p->next;free(q);}}if(subp!=NULL){p=subp;while(p!=NULL){q=p;p=p->next;free(q);}}printf("返回主菜单\n");Menu();break;case 7:if(addp!=NULL){p=addp;while(p!=NULL){q=p;p=p->next;free(q);}}if(subp!=NULL){p=subp;while(p!=NULL){q=p;p=p->next;free(q);}}printf("已成功退出该系统，谢谢你的使⽤！\n");exit(-2);break;}//switch}//while}//2、顺序程序：void ADD(Ploy A,Ploy B,Ploy *M)/*多项式A与多项式B相加，得到多项式M*/{int la=A.len,lb=B.len,i;M->len=la>lb?la:lb;for(i=0;i<=la&&i<=lb;i++){M->a[i]=A.a[i]+B.a[i];}while(i<=la){M->a[i]=A.a[i];i++;}while(i<=lb){M->a[i]=B.a[i];i++;}return;}void SUB(Ploy A,Ploy B,Ploy *M)/*多项式A与多项式B相减（A-B），得到多项式M*/{int la=A.len,lb=B.len,i;M->len=la>lb?la:lb;for(i=0;i<=la&&i<=lb;i++){M->a[i]=A.a[i]-B.a[i];}while(i<=la) {M->a[i]=A.a[i];i++;}while(i<=lb) {M->a[i]=0-B.a[i];i++;}return ;}void MUL(Ploy A,Ploy B,Ploy *M)/*多项式A与多项式B相乘，得到多项式M*/{int i,j;for(i=0;i<=A.len+B.len+1;i++) M->a[i]=0;for(i=0;i<=A.len;i++)for(j=0;j<=B.len;j++){M->a[i+j]+=A.a[i]*B.a[j];}M->len=A.len+B.len;return ;}void GetPloy(Ploy *A){int i,coef,ex,maxe=0;//ex指指数，maxe指最⼤指数char ch;printf("请输⼊每个项的系数及对应的指数，指数为负数时标志输⼊结束！\n");for(i=0;iA->a[i]=0;scanf("%d%d",&coef,&ex);while(ex>=0){if(ex>maxe)maxe=ex;if(A->a[ex]!=0){printf("你输⼊的项已经存在，是否更新原数据？（Y/N）"); cin>>ch;if(ch=='Y'||ch=='y'){A->a[ex]=coef;printf("更新成功，请继续输⼊！\n");}elseprintf("请继续输⼊！\n");;}elseA->a[ex]=coef;scanf("%d%d",&coef,&ex);}A->len=maxe;return ;}void PrintPloy1(Ploy A)//降序输出顺序⼀元多项式{int i;printf(" %dx^%d ",A.a[A.len],A.len);for(i=A.len-1;i>=1;i--){if(A.a[i]==0) ;else if(A.a[i]==1) printf(" + x^%d ",i);else if(A.a[i]==-1) printf(" - x^%d ",i);else{if(A.a[i]>0)printf("+ %dx^%d ",A.a[i],i);elseprintf("- %dx^%d ",-A.a[i],i);}}if(A.a[0]==0) ;else if(A.a[0]>0)printf(" + %d",A.a[0]);//打印x的0次项elseprintf(" - %d",-A.a[0]);printf("\n");return ;}void PrintPloy2(Ploy A)//升序输出顺序⼀元多项式{int i=0;while(A.a[i]==0)++i;if(i==0)printf("%d",A.a[i]);else{if(A.a[i]==1)printf("x^%d",i);else if(A.a[i]==-1)printf("-x^%d",i);elseprintf("%dx^%d",A.a[i],i);}for(++i;i<=A.len;i++){if(A.a[i]==0) ;else if(A.a[i]==1)printf(" + x^%d",i);else if(A.a[i]==-1)printf(" - x^%d",i);else if(A.a[i]>1)printf(" + %dx^%d",A.a[i],i);else if(A.a[i]<-1)printf(" - %dx^%d",-A.a[i],i);}}void Menushunxu(){printf("\n");printf(" ********⼀元多项式顺序存储的基本运算********\n");printf(" 1、更新两个多项式⼀元多项式请按1\n");printf(" 2、两多项式相加得⼀新多项式请按2\n");printf("3、两多项式相减得⼀新多项式请按3\n");printf(" 4、两多项式相乘得⼀新多项式请按4\n");printf(" 5、退出该⼦系统，返回主菜单请按5\n");printf(" 6、退出该系统请按6\n");printf(" ********************************************\n");printf("\n");return ;}void shunxu() //⼀元多项式顺序存储的实现{Ploy A,B,M;int n,m;printf("进⼊顺序存储⼀元多项式运算⼦系统\n");printf("请输⼊多项式A：\n");GetPloy(&A);printf("请输⼊多项式B：\n");GetPloy(&B);printf("输出两个⼀元多项式A、B，降幂输出请按1，升幂输出请按2！\n"); cin>>m;while(m<1&&m>m){printf("你输⼊的输出新创⼀元多项式的操作号不合法，请重新输⼊\n"); cin>>m;}switch(m){case 1:if(m==1){printf("A降=");PrintPloy1(A);printf("\n");printf("B降=");PrintPloy1(B);break;case 2:if(m==2){printf("A升=");PrintPloy1(A);printf("\n");printf("B升=");PrintPloy1(B);}break;}Menushunxu();while(1){printf("请选择你想进⾏的顺序存储运算操作：\n");cin>>n;while(n<1&&n>6){printf("输⼊的顺序操作号不对，请重新输⼊\n");cin>>n;}switch(n){case 1:if(n==1)printf("更新两个多项式：\n");printf("请输⼊多项式A：\n");GetPloy(&A);printf("请输⼊多项式B：\n");GetPloy(&B);printf("输出两个更新的⼀元多项式A、B，降幂输出请按1，升幂输出请按2！\n"); cin>>m;while(m<1&&m>2){printf("你输⼊的输出排序操作号不合法，请重新输⼊\n");cin>>m;}switch(m){case 1:if(m==1){printf("A降=");PrintPloy1(A);printf("\n");printf("B降=");PrintPloy1(B);}break;case 2:if(m==2){printf("A升=");PrintPloy1(A);printf("\n");printf("B升=");PrintPloy1(B);}break;break;case 2:if(n==2)ADD(A,B,&M);printf("降幂输出请按1，升幂输出请按2！\n");cin>>m;while(m<1&&m>2){printf("你输⼊的输出排序操作号不合法，请重新输⼊\n"); cin>>m;}switch(m){case 1:if(m==1){printf("ADD降=");PrintPloy1(M);printf("\n");}break;case 2:if(m==2){printf("ADD升=");PrintPloy2(M);printf("\n");}break;}break;case 3:if(n==3)SUB(A,B,&M);printf("降幂输出请按1，升幂输出请2！\n");cin>>m;while(m<1&&m>2){printf("你输⼊的输出排序操作号不合法，请重新输⼊\n"); cin>>m;}switch(m){case 1:if(m==1){printf("SUB降=");PrintPloy1(M);printf("\n");}break;case 2:if(m==2){printf("SUB升=");PrintPloy2(M);printf("\n");}break;}break;case 4:if(n==4)MUL(A,B,&M);printf("降幂输出请按1，升幂输出请2！\n");cin>>m;while(m<1&&m>3){printf("你输⼊输出排序操作号不合法，请重新输⼊\n"); cin>>m;}switch(m){case 1:if(m==1){printf("MUL降=");PrintPloy1(M);printf("\n");}break;case 2:if(m==2){printf("MUL升=");PrintPloy2(M);printf("\n");}break;}break;case 5:if(n==5)printf("返回主菜单\n");Menu();break;case 6:if(n==6)printf("已成功退出该系统，谢谢你的使⽤！\n");exit(-2);break;}}}void Menu(){printf("\n");printf(" ************⼀元多项式的基本运算系统************\n"); printf(" 1、⼀元多项式顺序存储的⼦系统请按1\n");printf(" 2、⼀元多项式链式存储的基本运算请按2\n"); printf(" 3、退出系统请按3\n");printf(" ************************************************\n"); printf("\n");printf("请输⼊你想进⾏的操作号：\n");int n;scanf("%d",&n);while(n!=1 && n!=2 && n!=3){printf("对不起，你的输⼊不正确，请重新输⼊！\n"); scanf("%d",&n);}switch(n){case 1:if(n==1)shunxu();break;case 2:if(n==2)link();break;case 3:if(n==3)printf("已成功退出该系统，谢谢你的使⽤！\n"); exit(-2);}}void main(){Menu();}。
多项式的乘法和除法
多项式的乘法和除法多项式是数学中常见且重要的一种代数表达形式。
在代数学中，多项式是由一系列的项组成的，每个项包含了一个系数和一个变量的幂次。
多项式的乘法和除法是数学中常用的运算方法，用于求解各种实际问题以及推导出更复杂的表达式。
一、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式相乘的运算。
多项式的乘法有以下几个要点：1. 每个项与其他多项式的每个项进行乘法运算，然后将结果相加。
例如，对于多项式A和多项式B相乘，结果可以表示为A *B = (a0 * b0) + (a1 * b0 + a0 * b1) + (a1 * b1) + ...2. 在乘法运算中，需要使用代数学中的乘法法则，即将两个项的系数相乘，将两个项的幂次相加。
例如，对于两个项：a * xn 和b * xm，它们相乘的结果为：(a * b) * xn+m。
3. 多项式乘法的结果是一个新的多项式，其中包含了之前的多项式的所有项的乘积和。
在计算过程中，需要将同类项进行合并，即将具有相同幂次的项的系数相加。
举例来说，我们有两个多项式：A = 2x^2 + 3x + 1 和 B = 4x + 1。
我们可以按照上述步骤进行乘法运算：A *B = (2x^2 * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 4x) + (2x^2 * 1 + 3x * 1) +(1 * 4x + 1 * 1)= 8x^3 + 2x^2 + 12x^2 + 3x + 2x^2 + 3x + 4x + 1= 8x^3 + 16x^2 + 10x + 1根据上述计算，我们得到了多项式 A 和 B 相乘的结果为 8x^3+ 16x^2 + 10x + 1。
二、多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
多项式的除法有以下几个要点：1. 除法的核心思想是通过多项式的乘法来逆转乘法运算。
具体而言，如果多项式 A 除以多项式 B 的结果为多项式 C，那么 C 与B 相乘的结果应该等于 A。
多项式的乘法运算法则
多项式的乘法运算法则多项式是代数学中常见的一种表达形式，它由若干项组成，每一项包括系数和指数。
在代数运算中，多项式的乘法是一项重要的操作，为了准确进行多项式的乘法运算，需要遵守一定的法则。
本文将介绍多项式的乘法运算法则，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 同底数乘法法则当多项式相乘时，若底数相同，则指数相加。
例如，对于多项式a^n和b^n，其中a和b为常数，n为指数，它们的乘积为a^n * b^n，底数相同，指数相加。
2. 分配律法则多项式的乘法运算满足分配律法则，即对于多项式a、b和c，有(a + b) * c = a * c + b * c。
这条法则可以用来将多项式的乘法运算转化为加法运算，简化计算过程。
3. 合并同类项法则在多项式相乘的过程中，会出现相同底数和指数的项，按照合并同类项法则，可以将它们合并成一项。
例如，对于多项式a^n * a^n，可以合并为a^(2n)。
此外，还可以将系数相同的项合并，如2a^n * 3a^n 可以合并为6a^n。
4. 零乘法则多项式与零相乘的结果为零，即0 * a^n = 0。
这是因为零乘以任意数都得到零。
5. 多项式的高次幂法则当多项式的指数为整数时，其高次幂为其自身的连乘积。
例如，(a * b)^n = a^n * b^n。
6. 反义词乘法法则反义词的乘积为负数，即a * (-a) = -a^2。
7. 多项式的乘方法则当多项式自身进行乘方运算时，可以将指数相乘。
例如，(a^n)^m = a^(n*m)。
通过掌握以上多项式的乘法运算法则，可以更加准确地进行多项式的乘法运算。
在实际的应用中，多项式的乘法运算常见于方程式的求解、函数的拟合等数学问题，因此具备良好的乘法运算技巧对于解决实际问题非常重要。
总结起来，多项式的乘法运算法则包括同底数乘法法则、分配律法则、合并同类项法则、零乘法则、多项式的高次幂法则、反义词乘法法则以及多项式的乘方法则。
掌握这些法则，并能够熟练运用，将有助于提高解决多项式相关问题的能力。
多项式的乘法
多项式的乘法多项式的乘法是代数学中非常重要的运算之一。
在代数学中，多项式是由一系列的项组成的表达式，每一项都包含了一个系数和一个变量的幂。
多项式的定义我们先来了解一下多项式的定义。
一个多项式可以表示为以下形式：P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + anxn其中，P(x)是多项式的表达式，a₀, a₁, a₂, … ，an是系数，x是变量，n是多项式的阶数。
每一项由系数和变量的幂组成。
系数可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
多项式的乘法规则多项式的乘法遵循以下规则：1.两个多项式相乘，等于将每个项相乘后再将结果相加。
2.两个项相乘，得到的结果是系数的乘积和指数的和。
3.乘法运算要注意指数的和并进行合并。
设有两个多项式：P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + anxnQ(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bmxm这两个多项式的乘积为：P(x) * Q(x) = (a₀ * Q(x)) + (a₁x * Q(x)) + (a₂x² * Q(x)) + ... + (a nxn * Q(x))通过按照规则2，我们可以对每一项进行乘法运算，得到新的多项式。
多项式的乘法示例让我们通过一个示例来理解多项式的乘法。
假设有两个多项式：P(x) = 3x² + 2x + 1Q(x) = 2x + 1我们需要计算这两个多项式的乘积。
按照乘法规则，我们先将P(x)的每一项与Q(x)进行乘法运算，然后将结果相加。
P(x) * Q(x) = ((3x² * Q(x)) + (2x * Q(x)) + (1 * Q(x)))按照乘法规则2，我们有：3x² * Q(x) = (3x² * (2x + 1)) = 6x³ + 3x²2x * Q(x) = (2x * (2x + 1)) = 4x² + 2x1 * Q(x) = (1 * (2x + 1)) = 2x + 1将上述结果相加，我们得到最终的乘积多项式：P(x) * Q(x) = (6x³ + 3x²) + (4x² + 2x) + (2x + 1) = 6x³ + 7x² + 4x + 1所以，多项式P(x)和Q(x)的乘积为6x³ + 7x² + 4x + 1。
多项式的加法和乘法计算c语言代码
多项式的加法和乘法计算C语言代码多项式是代数学中常见的一种数学表达式形式，通常表示为：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n其中a0, a1, a2,...,an是多项式P(x)的系数，x是变量，n是多项式的次数。
在实际的编程开发中，我们经常需要实现多项式的加法和乘法计算。
下面我们将介绍如何使用C语言来实现多项式的加法和乘法计算。
一、多项式的表示与存储在C语言中，可以使用结构体来表示多项式，并使用数组来存储多项式的系数。
假设我们要表示一个最高次数为n的多项式，可以定义结构体如下：```ctypedef struct {int coeff[MAX_SIZE]; // 存储多项式系数的数组int degree; // 多项式的最高次数} Polynomial;其中MAX_SIZE是一个常数，用来表示多项式的最大阶数。
在实际使用中，可以根据需要进行调整。
二、多项式的加法多项式的加法实质上是将两个多项式的对应系数相加，并将结果存储在一个新的多项式中。
下面是多项式加法的C语言代码实现：```cPolynomial addPolynomial(Polynomial poly1, Polynomial poly2) {Polynomial result;int i;// 确定结果多项式的最高次数result.degree = (poly1.degree > poly2.degree) ?poly1.degree : poly2.degree;// 将对应系数相加for (i = 0; i <= result.degree; i++) {result.coeff[i] = poly1.coeff[i] + poly2.coeff[i];return result;}```以上代码通过遍历多项式的系数数组，将对应位置的系数相加，并将结果存储在result中。
多项式的乘法公式与展开
多项式的乘法公式与展开在代数学中，多项式是由一个或多个变量和常数通过加法和乘法运算组合而成的表达式。
多项式的乘法是一项重要的运算，它可以通过乘法公式和展开来实现。
本文将介绍多项式的乘法公式以及如何展开多项式。
1. 多项式的乘法公式多项式的乘法公式是指将两个多项式相乘所遵循的规则。
设多项式A和B分别表示为A(x)和B(x)，其中x是变量。
两个多项式的乘法公式可以表示为：A(x) * B(x) = (a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n) * (b0 + b1x + b2x^2 + ... + bmx^m)其中ai和bi分别表示多项式A和B的系数。
为了计算两个多项式的乘积，需要使用分配律的原则，即将每个项的系数相乘并将相同指数的幂相加。
具体而言，将A(x)的每一项与B(x)的每一项相乘，将指数相同的项的系数相加，得到最终的乘积多项式。
2. 多项式的展开多项式的展开是指将一个多项式按照乘法公式展开成一系列项的过程。
展开多项式可以帮助我们理解多项式的结构，并进一步进行计算。
例如，我们有一个多项式A(x) = (3x + 2) * (2x^2 - x + 1)，我们可以按照乘法公式将其展开为：A(x) = 3x * (2x^2 - x + 1) + 2 * (2x^2 - x + 1)按照乘法公式进行计算，展开后得到：A(x) = 6x^3 - 3x^2 + 3x + 4x^2 - 2x + 2合并同类项，最终展开结果为：A(x) = 6x^3 + x^2 + x + 2通过展开多项式，我们可以将复杂的表达式简化为一系列项的和，并更方便地进行进一步计算。
3. 多项式乘法的示例让我们通过一个具体的例子来展示多项式乘法的计算过程。
考虑两个多项式A(x) = (2x + 1)和B(x) = (x^2 - 3x + 2)。
我们可以使用乘法公式来计算它们的乘积。
首先，将A(x)和B(x)按照乘法公式展开，并进行系数相乘和指数相加的计算：A(x) * B(x) = (2x + 1) * (x^2 - 3x + 2)= 2x * (x^2 - 3x + 2) + 1 * (x^2 - 3x + 2)= 2x^3 - 6x^2 + 4x + x^2 - 3x + 2= 2x^3 - 5x^2 + x + 2最终得到多项式A(x)和B(x)的乘积为2x^3 - 5x^2 + x + 2。
Python中的多项式实现方法
Python中的多项式实现方法多项式在数学中有着广泛的应用，例如在代数、微积分、离散数学和概率论等方面。
对于Python编程语言，我们需要实现多项式类，以便在程序中进行多项式计算。
本文将介绍Python中多项式的实现方法，主要从以下几个方面进行讨论：多项式基本概念、多项式表示方法、多项式计算方法以及多项式在实际应用中的应用。
一、多项式基本概念首先我们需要明确多项式的基本概念。
一个多项式可以看作是一些单项式的和，其中每个单项式的系数为一个常数，变量为一个或多个变量的乘积。
例如，下面是一个多项式的例子：f(x) = 3x² + 2xy - 4y + 5在上面的多项式中，3x²、2xy、-4y和5都是单项式，它们的系数分别为3、2、-4和5。
一个多项式可以有一个或多个变量，可以看成是变量的一个多元函数，其中每个变量的指数可以是非负整数。
二、多项式表示方法在Python中，我们可以使用不同的方法来表示一个多项式，其中最常用的方法是使用列表或字典来记录多项式中每个单项式的系数以及变量的指数。
1、列表表示法使用列表表示一个多项式时，我们可以使用一个列表来存储每个单项式的系数以及变量的指数。
下面是一个使用列表表示的多项式的例子：f(x) = 3x² + 2xy - 4y + 5可以表示成一个列表：[5, -4, 2, 3]其中列表中的第一个元素表示常数项的系数，依次类推。
这种表示方法，有一定的局限性，例如在计算多项式的乘积时，需要使用较多的循环计算。
2、字典表示法使用字典表示一个多项式时，我们可以使用一个字典来记录每个单项式的系数以及变量的指数。
下面是一个使用字典表示的多项式的例子：f(x) = 3x² + 2xy - 4y + 5可以表示成一个字典：{('x', 2): 3, ('x', 'y'): 2, ('y', 1): -4, (): 5}其中，字典的键是由变量名和变量的指数组成的元组，值是每个单项式的系数。
多项式 乘法
多项式乘法多项式乘法是数学中一项重要的运算，它主要是用来计算多项式相乘的乘积。
简而言之，它是指将两个或多个多项式进行乘积运算。
在这项运算中，每一项多项式会被提升成更高阶的形式，然后两两相乘，得出的所有项的和称为乘积多项式。
那么，当我们要处理多项式乘法时，该如何实现？首先，我们先需要明确被乘数的格式，例如P(x)={a0,a1,a2,…an}和Q(x)={b0,b1,b2,…bn}，其中，a、b都为实数且n为大于等于0的自然数。
接下来，我们将两个多项式中每一项相乘，并将乘积称为系数相加，得出最终的乘积多项式：P(x)Q(x)=a0b0 +(a0b1+a1b0)x +(a0b2+a1b1+a2b0)x2 +……+[a0bn+a1bn-1+a2bn-2+……+anbn]xn例如，若P(x)=x2+2x+1,Q(x)=x3+3x2+2x+1，则P(x)Q(x)=x5+5x4+10x3+12x2+7x+1。
在实践中，多项式乘法的实现主要有两种：朴素的乘法和分治策略的多项式乘法。
朴素的乘法指的是根据上述方程直接按照乘法公式进行计算，将两个多项式中的每一项分别乘以另外一个多项式的每一项，再将所有乘积系数相加，即可得到最终的答案。
而分治策略的多项式乘法是一种比较高效的运算方法，它利用“分治”思想，将两个多项式分别划分为两个小多项式，然后将这四个小多项式分别相乘，最后将最终的乘积再求和即可得到总的乘积多项式的结果。
此外，多项式乘法的应用如此之广，几乎每一个数学领域都能够看到它的影子，比如积分计算、特征值计算、椭圆计算、解多项式方程、矩阵计算等等。
它们能够大大提高计算的效率，为科学技术带来可观的收益。
多项式乘法在现代数学中也十分重要，不仅能用来简化复杂的计算，还能用来优化计算效率，为科学研究提供强有力的数理支撑。
可见，多项式乘法在数学和计算领域中的重要意义，不言而喻。
多项式相乘快速算法原理及相应C代码实现
多项式相乘快速算法原理及相应C代码实现最近认真研究了⼀下算法导论⾥⾯的多项式乘法的快速计算问题，主要是⽤到了FFT，⾃⼰也实现了⼀下，总结如下。
1.多项式乘法两个多项式相乘即为多项式乘法，例如：3*x^7+4*x^5+1*x^2+5与8*x^6+7*x^4+6*x^3+9两个式⼦相乘，会得到⼀个最⾼次数项为13的多项式。
⼀般来说，普通的计算⽅法是：把A多项式中的每⼀项与B中多项式中的每⼀项相乘，得到n个多项式，再把每个多项式相加到⼀起，得到最终的结果，不妨假设A，B的最⾼次项都为n-1，长度都为n，那么计算最终的结果需要o(n^2)时间复杂度。
⽽使⽤快速傅⾥叶变换（FFT），则可以将时间复杂度降低到o(nlog n)。
这是因为，对⼀个复数序列做正/反快速傅⾥叶变换的时间复杂度都是o(nlog n)，⽽变换后的序列逐项相乘即为原序列做多项式乘法的结果（多项式乘法相当于卷积）。
所以，FFT可以降低多项式相乘运算的时间复杂度，具体的解释和证明在《算法导论》或者其他任何⼀本相关的算法书中都有详细描述，在此不再赘述。
另外，需要注意的是，⼀些其他的运算也可以转化成多项式乘法，进⽽利⽤FFT来加快运算。
例如：1.数字乘法运算，和多项式乘法类似，A*B的操作就是⽤A每⼀位上的数字乘以B每⼀位上的数字。
尤其是在⼤数乘法中，FFT可以⼤幅度加快运算。
2.给定A到B的不同长度路径详细数据，B到C的不同路径长度详细数据，求A到C不同长度路径的数量。
可以把A到B和B到C不同长度的路径看成不同次数的项，例如：A到B有3条长度为4,2条长度为5的路径，B到C有1条长度为2,4条长度为3的路径，那么A到C不同长度路径的数量等于(3*x^4+2*x^5)*(4*x^3+1*x^2)得到的各项的系数，转化成多项式相乘问题之后，就可以利⽤FFT来加快运算速度了。
2.FFT⼤多数⼈应该是只需要会⽤FFT即可，但是这个算法⽐较基础，因此我⾃⼰编程实现了⼀下，总的代码只有150⾏左右，其实不算长，当然，对输⼊序列长度不是2的整数次幂这种情况我没有相应的预处理，算是偷懒了。
多项式的加减法与乘法
多项式的加减法与乘法在代数学中，多项式是由单项式相加或相减而得到的一个表达式。
它在数学和科学的各个领域中扮演着重要的角色，因为它能描述和解决许多实际问题。
本文将讨论多项式的加减法与乘法，介绍相应的规则和方法。
一、多项式的加法多项式的加法是将同类项相加得到一个新的多项式。
同类项是具有相同变量的相同幂次的项。
例如，下面是一个多项式的示例：P(x) = 3x^2 + 2x - 5Q(x) = 2x^2 - 4x + 7要将这两个多项式相加，我们只需将同类项的系数相加。
即：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x - 5) + (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 + 2x - 5 + 2x^2 - 4x + 7= (3x^2 + 2x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 7)= 5x^2 - 2x + 2所以，P(x) + Q(x) = 5x^2 - 2x + 2二、多项式的减法多项式的减法与加法类似，只需将减数取相反数，再进行加法运算。
例如：R(x) = P(x) - Q(x)= (3x^2 + 2x - 5) - (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 + 2x - 5 - 2x^2 + 4x - 7= (3x^2 - 2x^2) + (2x + 4x) + (-5 - 7)= x^2 + 6x - 12所以，R(x) = x^2 + 6x - 12三、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项两两相乘，并将同类项合并得到一个新的多项式。
例如：S(x) = P(x) * Q(x)= (3x^2 + 2x - 5) * (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 * 2x^2 + 3x^2 * (-4x) + 3x^2 * 7 + 2x * 2x^2 + 2x * (-4x) + 2x * 7 + (-5) * 2x^2 + (-5) * (-4x) + (-5) * 7= 6x^4 - 12x^3 + 21x^2 + 4x^3 - 8x^2 + 14x - 10x^2 + 20x - 35= 6x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 34x - 35所以，S(x) = 6x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 34x - 35通过以上的讨论，我们可以总结出多项式的加减法与乘法的基本规则：1. 加法：将同类项的系数相加，保留相同的变量和幂次。
如何将多项式相乘
如何将多项式相乘多项式是由常数和变量组成的一串数学表达式。
多项式相乘的方法取决每个于多项式内包含的项数。
下文中将告诉你如何将多项式相乘。
方法1将两个单项式相乘1 观察题目。
如果题目中只包含两个单项式，那就只需要做乘法就可以了，不需要做加减法。
一个只含两个单项式的多项式相乘问题通常是下面的形式： (ax) * (by)；or (ax) * (bx)。
例如：2x * 3y例如： 2x * 3x注意这里的 a和 b代表常数项， x和 y代表自变量。
2 将常数项相乘。
常数项是指题目中的数字。
将这些数字按照乘法表格中的方法相乘。
换句话说，在这个问题里，我们把 a和 b相乘。
例如：2x * 3y = (6)(x)(y)例如：2x * 3x = (6)(x)(x)3 将自变量相乘。
自变量是指等式中的字母。
将自变量相乘时，不同的自变量写在一起就可以，相同的自变量需要写成幂次形式。
将相同的自变量相乘意味着增加这个自变量的幂次。
换句话说，你要把 x和 y或 x和 x相乘。
例如：2x * 3y = (6)(x)(y) = 6xy例如：2x * 3x = (6)(x)(x) = 6x^2写出最后的形式。
将题目完全化简后，不能再有没有合并的同类项。
4， (ax) * (by)的结果应当是 abxy。
类似的 (ax) * (bx)的结果应当是 abx^2。
例如： 6xy例如：6x^2方法2将一个单项式和一个二项式相乘1 观察问题。
在单项式与二项式相乘的问题中，一个多项式中只含有一个单项，另一个多项式中含有两项，这两项间用加号或减号相连。
单项式和二项式相乘的问题通常是下面的形式： (ax) * (bx + cy) 例如： (2x)(3x + 4y)2 将单项式与二项式中的每一项单独相乘。
将问题重新写一遍，写成用单项式与二项式中的每一项分别相乘的形式。
上一步骤之后，题目的形式应该是： (ax * bx) + (ax * cy)。
解密多项式的乘法与因式分解认识多项式的运算
解密多项式的乘法与因式分解认识多项式的运算解密多项式的乘法与因式分解——认识多项式的运算在数学中，多项式是由常数和变量的乘积所组成的代数表达式。
多项式的运算包括乘法和因式分解两个重要概念，通过解密这两个运算，我们能更好地认识多项式的性质和运算规则。
一、多项式的乘法多项式的乘法是将两个或多个多项式相乘的过程。
下面我们通过一个具体的例子来解密多项式的乘法。
假设有两个多项式：A(x) = 3x² + 2x + 1 和 B(x) = 2x - 1我们要求解这两个多项式的乘积。
首先，我们将 A(x) 中的每一项与 B(x) 中的每一项进行相乘，并按照指数降序排列。
具体步骤如下：1. 将 3x²与 2x 相乘，得到 6x³2. 将 3x²与 -1 相乘，得到 -3x²3. 将 2x 与 2x 相乘，得到 4x²4. 将 2x 与 -1 相乘，得到 -2x5. 将 1 与 2x 相乘，得到 2x6. 将 1 与 -1 相乘，得到 -1将上述结果相加，得到最终的乘积多项式：C(x) = 6x³ - 3x² + 4x² - 2x + 2x - 1简化后可得：C(x) = 6x³ + x²通过以上例子，我们可以发现多项式的乘法是通过将各个项相乘，并将同类项进行合并得到的。
这个过程虽然看起来繁琐，但是只要按照规定的步骤进行计算，就能得到正确的结果。
二、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式。
因式分解在代数学和数学应用问题中有着重要的意义。
假设有一个多项式 P(x) = 2x³ + 6x² + 4x我们要对其进行因式分解。
首先，我们可以提取公因式 2x，得到：P(x) = 2x(x² + 3x + 2)接下来，我们需要对括号中的二次多项式进行因式分解。
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辽宁工程技术大学《C语言程序设计》题目多项式乘法(加法减法)的实现_____指导教师：刘辉姓名：赵星林学号：1426640140班级：机单招14-1专业：机械多项式加法减法乘法的实现一，内容要求：已知如下两个多项式P(x)=p m-1x 1-m + p m-2x 2-m +...+p 1x +p 0 Q(x)=q n-1x 1-n +q n-2x 2-n +...+q 1x +q 0编程求他们的加减乘结果本系统主要实现两个多项式的加减乘运算，利用数组的特点实现次数小于100的多项式的加减乘运算，主要思想是让数组的下表随多项式指数同事变化，读者只需输入多项式指数所对应的系数就可输出他所要得到的多项式了。
二，上机环境操作系统：Windows 2007开发工具：C 与C++程序设计学习与实验系统 2012三，函数调用关系图四，各函数功能说明1,main()……………………………………………………主函数； 2，void input()………………………………………..输入函数； 3，void output()……………………………………..输出函数； 4，void menu(void)………………………………..菜单函数；5，system(“cls ”)........................................................................................................清屏函数； 6，system(“pause ”)...................................................................................................暂停函数； 7，void muity(int a[],int m,int b[],int n,int c[])................多项式相乘函数;main ()Void Input (i nt y[], int x)void menu(void )V oid Output (int a[], int x)voidmui ty(int a[],int m,int b[],int n,int c[]) void add(int a[],int m,int b[],int n,int c[]) v oidsub(int a[],int m,int b[],int n,int c[])system ("cls");system ("paus e")m>0 n<=0 n>0调用input函数输出p（x）调用input函数输出Q(X)调用output函数输出p（x）8，void add(int a[],int m,int b[],int n,int c[])..................多项式相加函数；9，v oid sub(int a[],int m,int b[],int n,int c[])..................多项式相减函数。
五，算法描述或流程图开始输入m 输入nm<=0i==0 i==0i<100 i<100N Y Y Ni++ i++提前退出调用output函数输出Q（x）六，程序运行效果图输入第一组 3 输入tt=1 t=2 t=3 t=0 t>3&&t<0多项式相加多项式相乘输入W= 1 W=2w>2&&w<1计算P(x)-Q(x) 计算Q(x)-p(x)输出结果输出结果结束P(X)的系数: 3 1 3第二组 3Q(X)的系数: -2 -1 2 运行结果截图：七，总结第十八周是青岛理工大学计算机工程学院大一年级的课程设设计周，这是很多人人生当中的第一次课程设计，本以为自己所学到的东西对于课设很有信心，可是当我拿到题目是才知道我是多么的幼稚，对于课设要求中大多数题目都是很陌生的，不知道如何下手，我做的是一道数学程序题----多项式相乘，听起来很好听，但是做来实在不易啊，起初我怎么都不会想到能用数组做，于是我就用结构体和链表做，但是当做到多项式合并同类项是我就被卡住了，想不到怎么下手，我准备星期二去问问老师，第二天老师给我的回答让我很惊讶，她说你的题其实很简单，没必要用链表做，用数组完全就够了，我说用数组我实在想不起怎么去做，他就给我讲了一下原理，此时我还想着我昨天的功夫不就白费了吗，这又要重新开始了，怀着对数组的好奇我就开始做了起来，花了一天的时间终于做出来了，当时真的很高心，不过又看了看周围同学的课设，我就没那么高兴了，说实话他们的程序真的很难，注定这是一个让我们大一过得最有意义的一周了，其实大多说C程序的让我在这一周有复习了一遍，又增加了我对C的理解，同事伴随着对他的新欢有增加了些。
用数组编程多项式的乘法也有很多缺点；比如：多现实的指数不好控制，用数组还要占大量的内存，使得整个程序华而不实，我感觉还是用链表做比较好，指数和系数任由自己输入，所占的内存又可以随时释放，对计算机的内存要求不高，看来真的得加深对结构体和链表的理解，并且深入了解了。
这周课设从中获得了很多，加深了对数组的理解，同时对系统函数又有了更多的理解又见识了很多，也从同学程序中获得了很多新的知识。
期待下次课设！！！八，参考文献邱建华. C语言程序设计教程. 东软电子出版社谭浩强．C程序设计（第三版）．清华大学出版社，2005九，程序清单#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include <math .h > #define N 100 void menu() {printf("\n\t**********'1'多项式相加*********\n");printf("\t**********'2'多项式相减*********\n");printf("\t**********'3'多项式相乘*********\n");printf("\t**********'0'退出***************\n");printf("请输入您的选择:");}void input(int y[],int x) {int i;for (i =0;i <x;i ++) {scanf("%d",&y[i]); } }void output(int a[],int x) {int i,sum =0; for (i =0;i <x;i ++) {if (a[i]>0) {if (i !=0) printf("+"); if (i >0) {if (i ==1) {if (a[i]==1) printf("X"); elseprintf("%dX",a[i]); }else if (a[i]==1) printf("X^%d",i); else printf("%dX^%d",a[i],i); }else if (i ==0)printf("%d",a[i]); }else if (a[i]<0) {printf("-"); if (i >0) { if (i >1) {if (a[i]==-1)printf("X^%d",i); else printf("%dX^%d",abs(a[i]),i);}else if (i ==1) {if (a[i]==-1) printf("X"); else printf("%dX",abs(a[i])); } }else if (i ==0) {printf("%d",abs(a[i])); }elseprintf("%dX^%d",abs(a[i]),i);}elsecontinue;}for(i=0;i<x;i++){sum+=a[i];}if(sum==0)printf(" 0");}void muity(int a[],int m,int b[],int n,intc[]){int i,j;for(i=0;i<m+n;i++)c[i]=0;for(i = 0; i < m ; ++i)for(j = 0; j < n; ++j){c[i+j]=a[i]*b[j]+c[i+j];}}void add(int a[],int m,int b[],int n,int c[]) {int i,max;max=m>n?m:n;for(i=0;i<max;i++)c[i]=0;for(i=0;i<max;i++){c[i]=a[i]+b[i];}}void sub(int a[],int m,int b[],int n,int c[]) {int i,max;max=m>n?m:n;for(i=0;i<max;i++)c[i]=0;for(i=0;i<max;i++)c[i]=a[i]-b[i];}int main(){int m,n,max,t,w,i;int o=1;int P1[N],P2[N],P3[N];int index;for (index = 0; index < N; ++index){P1[index] = 0;P2[index] = 0;}printf("\n\t请输入一元多项式P(X)的项数m(0<m<=100)：");for(i=0;i<100;i++){scanf("%d",&m);if(m>0){printf("\t请输入一元多项式P(X)（按指数由小到大排列的方式输入）\n");input(P1,m);printf("您输入的多项式P(X)=");output(P1,m);break;}elseprintf("输入错去请重新输入\n");}printf("\n");printf("\n\t请输入一元多项式Q(X)的项数n(0<n<=100)：");for(i=0;i<101;i++){scanf("%d",&n);if(n>0){printf("\t请输入一元多项式P(X)的系数（按指数由小到大排列的方式输入）\n");input(P2,n);printf("您输入的多项式Q(X)="); output(P2,n);break;}elseprintf("输入错误请重新输入");}printf("\n\n\t\t按任意键继续........"); system("pause");system("cls");menu();max=m>n?m:n;while(scanf("%d",&t)!=EOF){switch(t){case 1:add(P1,m,P2,n,P3);printf("两多项式相加结果F(X)=P(X)+Q(X)=");printf("(");output(P1,m);printf(") ");printf(" ＋ ");printf("(");output(P2,n);printf(") ");printf(" ＝ ");output(P3,max);printf("\n如果您想继续请输入您的选择:");break;case 2:printf("\n\t**********'1'执行P(X)-Q(X)*********\n");printf("\t**********'2'执行Q(X)-P(X)*********\n");printf("你的选择是：");scanf("%d",&w);if(w==1){sub(P1,m,P2,n,P3);printf("两多项式相减结果F(X)=P(X)-Q(X)=");printf("(");output(P1,m);printf(") ");printf(" － ");printf("(");output(P2,n);printf(") ");printf(" ＝ ");output(P3,max);printf("\n如果您想继续请再次输入您的选择:");break;}else if(w==2){sub(P2,n,P1,m,P3);printf("两多项式相减结果F(X)=Q(X)-P(X)=");printf("(");output(P2,n);printf(") ");printf(" － ");printf("(");output(P1,m);printf(") ");printf(" ＝ ");output(P3,max);printf("\n如果您想继续请再次输入您的选择:");break;}elseprintf("对不起！没有这个选项\n");printf("\n如果您想继续请再次输入您的选择:");break;case 3:muity(P1,m,P2,n,P3); printf("两多项式相乘结果F(X)=P(X)*Q(X)=");printf("(");output(P1,m);printf(") ");printf(" × ");printf("(");output(P2,n);printf(") ");printf(" ＝ ");output(P3,m+n);printf("\n如果您想继续请输入您的选择:");break;case 0:system("cls");printf("\n\n\n\t\t\t谢谢您的使用，再见！\n");exit(0);default:printf("Input Error\n");printf("\n如果您想继续请输入您的选择:");break;}}}。