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第6章 土坡稳定分析
内容提要：本章主要介绍土坡稳定分析常用的几种方法，包括土坡滑动失稳的机理，砂性土土坡及均质粘土土坡的整体稳定分析方法和土坡稳定分析的条分法,并给出了相应的算例。

学习目的：能根据给定的边坡高度、土的性质等设计出合理的边坡断面；能验算拟定的边坡是否安全、合理；能对自然边坡进行稳定性分析与安全评价。

第一节 概 述
土坡可分为天然土坡和人工土坡。

天然土坡是指由地质作用形成的山坡和江河湖海的岸坡，人工土坡是指因人类平整场地、开挖基坑、开挖路堑或填筑路堤、土坝形成的边坡，其简单外形和各部名称如图。

图6-1 边坡各部分名称 一、土坡的滑动破坏形式
根据滑动的诱因，可分为推动式滑坡和牵引式滑坡，推动式滑坡是由于坡顶超载或地震等因素导致下滑力大于抗滑力而失稳，牵引式滑坡主要是由于坡脚受到切割导致抗滑力减小而破坏；
根据滑动面形状的不同，滑坡破坏通常有以下两种形式： ⑴滑动面为平面的滑坡，常发生在匀质的和成层的非均质的无粘性土构成的土坡中；
⑵滑动面为近似圆弧面的滑坡，常发生在粘性土坡中。

二、土坡滑动失稳的机理
土坡滑动失稳的原因一般有以下两类情况：
（l ）外界力的作用破坏了土体内原来的应力平衡状态。

如基坑的开挖，由于地基内自身重力发生变化，又如路堤的填筑、土坡顶面上作用外荷载、土体内水的渗流、地震力的作用等。

（2）土的抗剪强度由于受到外界各种因素的影响而降低，促使土坡失稳破坏。

滑坡的实质是土坡内滑动面上作用的滑动力超过了土的抗剪强度。

土坡的稳定程度通常用安全系数来衡量，它表示土坡在预计的最不利条件下具备的安全保障。

土坡的安全系数为滑动面上的抗滑力矩r M 与滑动力矩M 之比值，即M M K r /= (或是抗滑力f T 与滑动力T 之比值．即T T K f /=)；或为土体的抗剪强度f τ与土坡最危险滑动面上产生的剪应力τ的比值。

即：ττ/f K =，也有用内聚力、内摩擦角、临界高度表示的。

对于不同的情况，采用不同的表达方式。

土坡稳定分析的可靠程度在很大程度上决定于计算中选用的土的物理力学性质指标(主要是土的抗剪强度指标c 、ϕ及土的重度γ值)，选用得当，才能获得符合实际的稳定分析。

本章主要介绍土坡稳定分析常用分析方法的基本原理。

第二节 砂性土土坡的稳定性分析
根据实际观测，由均质砂性土或成层的非均质的砂性土构成的土坡，破坏时的滑动面往往接近于一个平面，因此在分析砂性土的土坡稳定时，为计算简化，一般均假定滑动面是平面，如图6-2所示。

图6-2 砂土土坡稳定分析
已知土坡高为H ，坡角为β，土的重度为γ，土的抗剪强度ϕστtan =f 。

若假定滑动面是通过坡脚A 的平面AC ，AC 的倾角为α，则可计算滑动土体ABC 沿AC 面上滑动的稳定安全系数K 值。

沿土坡长度方向截取单位长度土坡，作为平面应变问题分析。

已知滑动土体ABC 的重力为：
W 在滑动面AC 上的平均法向分力N 及由此产生的抗滑力f T 为： W 在滑动面AC 上产生的平均下滑力T 为：
土坡的滑动稳定安全系数K 为：
α
ϕ
αϕαtan tan sin tan cos =
=
=
W W T T K f (6-1) 安全系数K 随倾角α的增大而减小，当βα=时滑动稳定安全系数最小，即土坡面上的一层土是最容易滑动的。

砂性土土坡的滑动稳定安全系数可取为：
β
ϕ
tan tan =
K (6-2) 当坡角β等于土的内摩擦角ϕ时，即稳定安全系数1=K 时，土坡处于极限平衡状态。

因此，砂性土土坡的极限坡角等于土的内摩擦角ϕ，此坡角称为自然休止角。

只要坡角ϕβ<（1>K ），土坡就是稳定的。

为了保证土坡具有足够的安全储备，工程中一般要求K ≥1.25～1.30。

砂性土土坡的稳定性与坡高无关，与坡体材料的重量无关，仅取决于β和ϕ。

例6-1 一均质砂性土土坡，其饱和重度3
/3.19m kN =γ，内摩擦角︒=35ϕ，坡高m H 6=，试求当此土坡的稳定安全系数为1.25时其坡角为多少？
解 由βϕtan tan =
K ，得 5602.025
.135tan tan tan =︒
==K ϕβ 解得 ︒=26.29β 课堂讨论：砂性土土坡的稳定性与哪些因素有庆
第三节 粘性土土坡的稳定性分析
粘性土坡发生滑坡时，其滑动面形状多为一曲面，在理论分析中，一般将此曲面简化为圆弧面，并按平面问题处理。

圆弧滑动面的形式有以下三种：
⑴圆弧滑动面通过坡脚B 点（见图6-2(a)），称为坡脚圆； ⑵圆弧滑动面通过坡面上E 点（见图6-2(b)），称为坡面圆；
⑶圆弧滑动面发生在坡角以外的A 点（见图6-2(c)），且圆心位于坡面中点的垂直线上，称为中点圆。

（a ）坡脚圆
（b ）坡面圆 （c ）中点圆
图6-3 粘土土坡的滑动面形式 土坡稳定分析时采用圆弧滑动面首先由彼德森（K.E.Petterson ，1916）提出，此后费伦纽斯（W.Fellernius,1927）
和泰勒（D.W.Taylor,1948）做了研究和改进。

他们提出的分析方法可以分为两类：
（1）土坡圆弧滑动按整体稳定分析法，主要适用于均质简单土坡。

（2）用条分法分析土坡稳定，对非均质土坡、土坡外形复杂及土坡部分在水下时均适用。

一、 均质简单粘性土坡的整体稳定分析
1．基本原理
对于均质简单土坡，其圆弧滑动体的稳定分析可采用整体稳定分析法进行。

所谓简单土坡是指土坡顶面与底面水平，坡面BC 为一平面的土坡，如图所示。

图6-4 均质粘性土坡滑动面的形式
分析图所示均质简单土坡，若可能的圆弧滑动面为AD ，其圆心为O ，滑动圆弧半径为R 。

滑动土体ABCD 的重力为W ，它是促使土坡滑动的滑动力。

沿着滑动面AD 上分布的土的抗剪强度f τ将形成抗滑力f T 。

将滑动力W 及抗滑力f T 分别对滑动面圆心O 取矩，得滑动力矩s M 及抗滑力矩r M 为： 式中 W —滑动体ABCDA 的重力（kN ）；
a —W 对O 点的力臂(m)；
f τ—土的抗剪强度，按库仑定律c f +=ϕστtan （kpa ）； L
—滑动圆弧AD 的长度（m ）； R —滑动圆弧面的半径（m ）。

土坡滑动的稳定安全系数K 可以用抗滑力矩r M 与滑动力矩s M 的比值表示，即
W a
R
L M M K f s r
τ==
（6-3） 由于土的抗剪强度沿滑动面AD 上的分布是不均匀的，因此直接按公式（6-3）
计算土坡的稳定安全系数有一定误差。

上述计算中，滑动面AD 是任意假定的，需要试算许多个可能的滑动面，找出最危险的滑动面即相应于最小稳定安全系数min K 的滑动面。

min K 必须满足规定的数值。

由此可以看出，土坡稳定分析的计算工作量是很大的。

因此，费伦纽斯和泰勒对均质的简单土坡做了大量的近似分析计算工作，提出了确定最危险滑动面圆心的经验方法，以及计算土坡稳定安全系数的图表。

2．泰勒确定最危险滑动面圆心的分析方法
泰勒对均质简单土坡稳定问题作了进一步的研究，用图表的形式给出了确定均质简单土坡最危险滑动面圆心位置和稳定因数s N 的方法。

泰勒认为圆弧滑动面的三种破坏形式是同土的内摩擦角ϕ值、坡角β以及硬层埋藏深度等因系有关。

泰勒经过大量计算分析后提出：
当︒>3ϕ时，滑动面为坡脚圆，其最危险滑动面圆心位置可根据ϕ值及β角，从图6-6中曲线查得θ及α值作图求得。

当︒=0ϕ，且︒>53β时，滑动面也是坡脚圆，其最危险滑动面圆心位置，同样可从图6-6中的曲线查得θ及α值作图求得。

当︒=0ϕ，且︒<53β时，滑动面可能是中点圆，也有可能是坡脚圆或坡面圆，它取决于硬层的埋藏深度。

当土体高度为H ，硬层的埋藏深度为d n H （如图6-6a 所示）。

若滑动面为中点圆，则圆心位置在坡面中点M 的铅直线上，且与硬层相切，见图6—6b ，滑动面与土面的交点为A ，A 点距坡脚B 的距离为x n H ，x n 值可根据d n 及β值由图6—6b 查得。

若硬层埋藏较浅，则滑动面可能是坡脚圆或坡面圆，其圆心位置需通过试算确定。

当︒>3ϕ或︒=0ϕ且︒>53β时 当
︒=0ϕ且︒<53β时
图6-6 按泰勒方法确定最危险滑动面圆心位置
二、 粘性土土坡稳定分析的条分法
由于整体分析法对于非均质的土坡或比较复杂的土坡（如土坡形状比较复杂、或土坡上有荷载作用、或土坡中有水渗流时等）均不适用，费伦纽斯
(W.Fellenius.1927) 提出了粘性土土坡稳定分析的条分法。

由于此法最先在瑞典使用，又称为瑞典条分法。

毕肖普（A.W.Bishop ，1955）对此法进行改进，提高了条分法的计算精度。

１．费伦纽斯条分法 (1)条分法的基本原理
如图6-8所示土坡，取单位长度土坡按平面问题计算。

设可能的滑动面是一圆弧AD ，其圆心为O ，半径为R 。

将滑动土体ABCDA 分成许多竖向土条，土条宽度一般可取b =0.1R 。

任一土条i 上的作用力包括: 土条的重力W i ，其大小、作用点位置及方向均已知。

滑动面ef 上的法向反力N i 及切向反力 T i ，假定 N i ，T i 作用在滑动面ef 的中点，它们的大小均未知。

土条两侧的法向力E i ，E i +1及竖向剪切力X i ，X i +1，其中E i 和X i 可由前一个土条的平衡条件求得，而E i +1和X i +1的大小未知，E i +1的作用点位置也未知。

由此看到，土条i 的作用力中有5个未知数，但只能建立3个平衡条件方程，故为非静定问题。

为了求得N i ，T i 值，必须对土条两侧作用力的大小和位置作适当假定。

费伦纽斯的条分法假设不考虑土条两侧的作用力，也即假设E i 和X i 的合力等于E i +1和X i +1的合力，
图6－8 土坡稳定分析的条分法
同时它们的作用线重合，因此土条两侧的作用力相互抵消。

这时土条i 仅有作用力W i ，N i 及T i ，根据平衡条件可得：
滑动面ef 上土的抗剪强度为：
式中 i α—土条i 滑动面的法线（亦即半径）与竖直线的夹角，°；
l i —土条i 滑动面 ef 的弧长，m ；
i i 、c ϕ—滑动面上土的粘聚力及内摩擦角，kPa, °。

土条i 上的作用力对圆心 O 产生的滑动力矩s M 及抗滑力矩r M 分别为： 整个土坡相应于滑动面AD 时的稳定安全系数为：
∑∑==+=
=n
i i
i n
i i i i i i s
r W R l c W R M M
K 1
1sin )
tan cos (αϕα （6-5）
对于均质土坡，ϕϕ==i i c c ,，则
∑∑==+==
n
i i
i
n
i i i s
r
W
L
c W M M K 1
1sin cos tan ααϕ
(6-6)
（2）最危险滑动面圆心位置的确定
上述稳定安全系数K 是对于某一个假定滑动面求得的，因此需要试算许多个可能的滑动面，相应于最小安全系数的滑动面即为最危险滑动面。

也可以费伦纽斯或泰勒提出的确定最危险滑动面圆心位置的经验方法，但当坡形复杂时，一般还是采用电算搜索的方法确定。

２．毕肖普条分法
费伦纽斯的简单条分法假定不考虑土条间的作用力，一般说，这样得到的稳定安全系数是偏小的。

在工程实践中，为了改进条分法的计算精度，许多人都认为应该考虑土条间的作用力，以求得比较合理的结果。

目前已有许多解决问题的办法，其中以毕肖普提出的简化方法是比较合理适用的。

如图6-8所示，任一土条i 上的作用力有5个未知数，但只能建立3个平衡条件方程，是一个二次静不定问题，毕肖普在求解时补充了两个假设条件：①忽略土条间的竖向剪切力X i 和X i +1作用，②对滑动面上的切向力T i 的大小作了规定。

根据土条i 的竖向平衡条件可得：
忽略土条间的竖向剪切力X i 和X i +1，即X i -X i +1=0，得
即 i i i i i T W N ααsin cos -= （6-7）
若土坡的稳定安全系数为K ，则土条i 上的抗剪强度fi τ也只发挥了一部分，毕肖普假设fi τ与滑动面上的切向力T i 平衡，即
)tan (1
i i i i i i f i l c N K
l T +=
=ϕτ （6-8） 将式（6-8）代入式（6-7）中，得
i
i i i i
i i i K
K l c W N ϕϕααsin tan 1
cos sin +-
=
（6-9） 土坡的安全系数K 为：
∑∑==+=
=n
i i
i
n
i i i i i
s
r W
l c N
M M K 1
1
sin )
tan (αϕ （6-10）
将式（6-9）代入式（6-10）得：
∑∑==++=n
i i
i n
i i
i i i i i i i W K l c W K 1
1
sin sin tan 1cos cos tan ααϕααϕ （6-11） 上式中令 i i i i K
m αϕααsin tan 1
cos +
= （6-12） 则式（6-11）可简化为： ∑∑==+=
n
i i
i
n
i i i i i i i
W
l c W m
K 1
1
sin )
cos tan (1
ααϕα （6-13）
图6-10 i m α值曲线
式（6-13）就是毕肖普法计算土坡稳定安全系数的公式。

由于式中i m α也包含K 值，因此须用迭代法求解，先假定一个K 值，按式（6-13）求得i m α值，再代入式（6-12）中求得K 值。

若此值与假定值不符，则用此K 值重新计算i m α求得新的K 值，如此反复迭代，直至假定的K 值与求得的K 值相近为止。

将式（6-12）的i m α值制成曲线，按i α及
K
i
ϕtan 值直接查得i m α值，以方便计算。

见图6-10。

最危险滑动面圆心位置的确定方法，仍可按前述经验方法确定。

例6-2 某土坡如图6-9所示，土坡高m H 8=，坡角︒=50β，土的重度
3
/1.18m kN =γ，土的内摩擦角︒=15ϕ，粘聚力kPa c 2.17=。

试用泰勒的经验方法确定最危险滑动面位置并用瑞典条分法验算土坡的稳定安全系数。

解（1）确定最危险滑动面位置
因︒=15ϕ>︒3、︒=50β,根据泰勒的经验方法知土坡的滑动面是坡脚圆，其最危险滑动面的位置，可从图6-7中的曲线得到︒=︒=3538θα、。

（2）按比例绘出土坡的剖面图。

并按︒=︒=3538θα、作图求得圆心O 。

（3）将滑动土体BCDB 划分成竖直土条。

滑动圆弧BD 的水平投影长度为
m ctg Hctg 24.10388=︒⨯=α，把滑动土体划分成8个土条，每条宽度1.28m ，从坡角B 开始编号。

（4）计算各土条滑动面中点与圆心的连线同竖直线的夹角i α值。

式中： i a —土条I 的滑动面中点与圆心的水平距离，可从图中量出；
R —圆弧滑动面的半径，可由下式求出：
求得的各土条的i α值列于下表中。

（5）从图中量取各土条的中心高度i h ，计算各土条的重力i i i h b W γ=及
、W i i αsin i i W αcos 值，将结果列于表6-2中。

（6）计算滑动面圆弧长度L。

（7）计算土坡的稳定安全系数K 。

解 土坡的最危险滑动面的位置以及土条的划分情况均按例题6-2确定。

第一次试算假定稳定安全系数K =1.2，计算结果列于表6-3中。

表6-3 土坡稳定分析计算结果
第二次试算假定稳定安全系数K =1.16，计算结果列于表6-3中，求得安全系数：
计算结果与假定接近，故得土坡的稳定安全系数K =1.16。

本 章 小 结
本章重点掌握砂性土土坡的稳定分析、均质粘性土土坡整体稳定分析与工程实用分析方法——条分法；正确理解土坡失稳的机理和土坡稳定的影响因素。

1．滑坡是一种常见的工程现象和地质灾害现象，发生滑坡将会造成严重的工程事故，故应对土坡的稳定性进行验算，并做出正确的评价。

滑坡的实质是土坡内滑动面上作用的滑动力超过了土的抗剪强度。

土坡的稳定程度通常用安全系数来衡量，它表示土坡在预计的最不利条件下具备的安全保障。

2．砂性土土坡稳定分析，一般均假定滑动面是平面。

砂性土土坡的滑动稳定安全系数可取为：
砂性土土坡的稳定性与坡高无关，与土坡的重量无关，仅取决于β和ϕ。

3．对于均质粘性土土坡，其滑动面一般假定为圆弧面， 土坡滑动的稳定安全系数K 可以用抗滑力矩r M 与滑动力矩s M 的比值表示，即
4．对于非均质的土坡或比较复杂的土坡（如土坡形状比较复杂、或土坡上有荷载作用、或土坡中有水渗流时等），工程上一般用条分法。

（1）费伦纽斯条分法
将滑动土体分成许多竖向土条，假设不考虑土条两侧的作用力，根据静力平衡条件得到整个土坡相应于某一滑动面的稳定安全系数为：
（2）毕肖普条分法
费伦纽斯的简单条分法假定不考虑土条间的作用力，一般说，这样得到的稳定安全系数是偏小的。

为了改进条分法的计算精度，毕肖普提出了比较合理适用的土坡稳定安全系数：
其中 i i i i K
m αϕααsin tan 1
cos +
= 由于式中i m α也包含K 值，因此须用迭代法求解。

思考题
１．土坡失稳的主要原因有哪些？
２．砂性土土坡和粘性土土坡边坡破坏方式有何不同？
３．费伦纽斯条分法和毕肖普条分法分别做了哪些假定？
４．砂性土边坡其安全系数与坡高无关，而粘性土土坡安全系数与坡高有关，试分析其原因。