正交矩阵的性质
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对角矩阵 diag (1, 2 , , n ) 即 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )P 使 P' AP P 1 AP diag (1, 2 , , n )
习题课 正交矩阵的性质
三、正交矩阵的特征根
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
习题课 正交矩阵的性质
一、正交矩阵的定义及简单性质 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 三、正交矩阵的特征根
一、正交矩阵的定义及简单性质
1 定义 A Rnn ， 若A' A E 称 A 为正交矩阵 2 运算性质 ①正交矩阵之积为正交阵
②正交矩阵的转置为正交阵
③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵
问题
①正交矩阵之和？ ②数乘正交矩阵？
② 当 A Rnn时，由（3）知A的非实的复特征根是成对
共轭出现的。
习题课 正交矩阵的性质
③正交矩阵 A Rnn 的特征根
i) 分类
实特征根为1或－1
非实特征根为成对共轭 与 出现， 且 2 1
ii) 可设
正特征根 1 2 t 1
负特征根 1 2 s 1
（4）
非实特征根 1,1,2 ,2 , ,k ,k
习题课 正交矩阵的性质
6 问题 ① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个 特征值。 ② 证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。 ③ 设A是3 3正交阵且 A 1 证明A的特征多项式为 f () 3 t2 t 1 ， 这里 1 t 3
习题课 正交矩阵的性质
① 与 ② 进一步的结论？ ③ 考虑A的所有特征值的可能性
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵的判定
1
A
(aij
)
(1, 2 ,
,n
)
2 n
Rnn
① A为正交矩阵 A' A1
②
A为正交矩阵
i ' j
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
③ A为正交矩阵
i
j
'
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
习题课 正交矩阵的性质
才是A的特征根，约定当 不是特征根时，其重数为0：
① A为第一类的 即 A 1 若A有特征根，则特征根－1的重数为偶数，特征根1的重数 与n 的奇偶性相同
② A为第二类的 即 A 1 A必以－1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性 相同。
③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
（5）
习题课 正交矩阵的性质
4 正交矩阵 A Rnn的三类特征根 ① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时，t 与s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或－1。
习题课 正交矩阵的性质
5 n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根
i) (1,1,1) ii) (1,1,1)
iii) (1, , ) ， 2 1 ，
习题课 正交矩阵的性质
x'(AA)x
即
2x'x x'x
可得
2 1
习题课 正交矩阵的性质
2 正交矩阵A的特征根
① 特征多项式
f A () E A n a1n1 an
（3）
i) a1 trA, an (1)n A
n
n
ii) trA aii i
i 1
i 1
n
iii) A i i 1
这里 1, 2 , , n 为矩阵A的所有特征根 i C, i
问题：① | aii | 的上界？i ② | aij | 的上界？i, j
③ 当某 | ai0i0 | 1 时， ai0 j ? ji0 ? j i
④ 元素 aij 与其余子式 M ij ，代数余子式 Aij 的关系如何？
习题课 正交矩阵的性质
二、有限维欧氏空间里的正交矩阵
1 矩阵 A Rnn ，则
且 ii i 2 1, i 1,2, , k
这里 t s 2k n ， t, s, k 为非负整数
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵A的行列式
① A 1 或－1
（简单证明，由定义给出）
② 在（4）之下
A (1 t )(1 s )1122 kk
(1 s ) 即
A (1)s ，s 是－1作为A的特征根的重数
习题课 正交矩阵的性质
5 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 为一组
标准正交基，且 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ，A Rnn 则 A为对称变换 A' A
存在标准正交基1,2 , ,n 是A的特征 向量，即A在 1,2 , ,n 下的矩阵为实
习题课 正交矩阵的性质
③的证明： 设 x 为 n 维非零复向量， 为复数， 且
Ax x, C, x( 0) C n
（1）
对（1）两边取共轭转置 Ax ' ( A x) x' A (x)' ' x'
（2）
注意此时 AA E, x' x 0, 由（1）和（2）
Ax'( Ax) ( x')(x) ()( x' x)
A为正交矩 阵 A的行（列）向量组是 n 维行（列）向量
空间 Rn 的一组标准正交基。
习题课 正交矩阵的性质
2 n维欧氏空间 Vn (R) 的一组标准正交基 1, 2 , , n ，
矩阵 A Rnn 满足 (1,2 , ,n ) (1, 2 ,L , n )A
则 1,2 , ,n 为标准正交基 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
3 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 是一组
标准正交基，若 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ， A Rnn
则
A是正交变换 A为正交矩阵
习题课 正交矩源自文库的性质
4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转)，若 A 1； ② A为第二类的，若 A 1。
习题课 正交矩阵的性质
三、正交矩阵的特征根
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
习题课 正交矩阵的性质
一、正交矩阵的定义及简单性质 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 三、正交矩阵的特征根
一、正交矩阵的定义及简单性质
1 定义 A Rnn ， 若A' A E 称 A 为正交矩阵 2 运算性质 ①正交矩阵之积为正交阵
②正交矩阵的转置为正交阵
③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵
问题
①正交矩阵之和？ ②数乘正交矩阵？
② 当 A Rnn时，由（3）知A的非实的复特征根是成对
共轭出现的。
习题课 正交矩阵的性质
③正交矩阵 A Rnn 的特征根
i) 分类
实特征根为1或－1
非实特征根为成对共轭 与 出现， 且 2 1
ii) 可设
正特征根 1 2 t 1
负特征根 1 2 s 1
（4）
非实特征根 1,1,2 ,2 , ,k ,k
习题课 正交矩阵的性质
6 问题 ① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个 特征值。 ② 证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。 ③ 设A是3 3正交阵且 A 1 证明A的特征多项式为 f () 3 t2 t 1 ， 这里 1 t 3
习题课 正交矩阵的性质
① 与 ② 进一步的结论？ ③ 考虑A的所有特征值的可能性
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵的判定
1
A
(aij
)
(1, 2 ,
,n
)
2 n
Rnn
① A为正交矩阵 A' A1
②
A为正交矩阵
i ' j
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
③ A为正交矩阵
i
j
'
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
习题课 正交矩阵的性质
才是A的特征根，约定当 不是特征根时，其重数为0：
① A为第一类的 即 A 1 若A有特征根，则特征根－1的重数为偶数，特征根1的重数 与n 的奇偶性相同
② A为第二类的 即 A 1 A必以－1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性 相同。
③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
（5）
习题课 正交矩阵的性质
4 正交矩阵 A Rnn的三类特征根 ① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时，t 与s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或－1。
习题课 正交矩阵的性质
5 n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根
i) (1,1,1) ii) (1,1,1)
iii) (1, , ) ， 2 1 ，
习题课 正交矩阵的性质
x'(AA)x
即
2x'x x'x
可得
2 1
习题课 正交矩阵的性质
2 正交矩阵A的特征根
① 特征多项式
f A () E A n a1n1 an
（3）
i) a1 trA, an (1)n A
n
n
ii) trA aii i
i 1
i 1
n
iii) A i i 1
这里 1, 2 , , n 为矩阵A的所有特征根 i C, i
问题：① | aii | 的上界？i ② | aij | 的上界？i, j
③ 当某 | ai0i0 | 1 时， ai0 j ? ji0 ? j i
④ 元素 aij 与其余子式 M ij ，代数余子式 Aij 的关系如何？
习题课 正交矩阵的性质
二、有限维欧氏空间里的正交矩阵
1 矩阵 A Rnn ，则
且 ii i 2 1, i 1,2, , k
这里 t s 2k n ， t, s, k 为非负整数
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵A的行列式
① A 1 或－1
（简单证明，由定义给出）
② 在（4）之下
A (1 t )(1 s )1122 kk
(1 s ) 即
A (1)s ，s 是－1作为A的特征根的重数
习题课 正交矩阵的性质
5 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 为一组
标准正交基，且 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ，A Rnn 则 A为对称变换 A' A
存在标准正交基1,2 , ,n 是A的特征 向量，即A在 1,2 , ,n 下的矩阵为实
习题课 正交矩阵的性质
③的证明： 设 x 为 n 维非零复向量， 为复数， 且
Ax x, C, x( 0) C n
（1）
对（1）两边取共轭转置 Ax ' ( A x) x' A (x)' ' x'
（2）
注意此时 AA E, x' x 0, 由（1）和（2）
Ax'( Ax) ( x')(x) ()( x' x)
A为正交矩 阵 A的行（列）向量组是 n 维行（列）向量
空间 Rn 的一组标准正交基。
习题课 正交矩阵的性质
2 n维欧氏空间 Vn (R) 的一组标准正交基 1, 2 , , n ，
矩阵 A Rnn 满足 (1,2 , ,n ) (1, 2 ,L , n )A
则 1,2 , ,n 为标准正交基 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
3 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 是一组
标准正交基，若 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ， A Rnn
则
A是正交变换 A为正交矩阵
习题课 正交矩源自文库的性质
4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转)，若 A 1； ② A为第二类的，若 A 1。