最短路模型的构建与求解方法方案曹利国教案

最短路模型的构建与求解方法教案

长沙市一中曹利国

课题：最短路模型的构建与求解方法

重点：最短路问题的求解方法

难点：最短路问题的模型构建方法

过程：

一、最短路问题的原型

（1）单源最短路问题

问题描述：用带权的有向图表示一个交通运输网，图中：

顶点——表示城市

边——表示城市间的交通联系

权——表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径—最短路径用n表示图中节点的个数，

用g : [1..n,1..n]of integer储存个个顶点之间的距离，用vis : array[1..n]of boolean 储存个点的访问情况。用disk : array[1..n]of integer储存起点到其他各点的最短距离，[

初始化：disk[1..n]= +∞，disk[from]=0，vis[1..n]=false。

Repeat

找到一个未访问（vis[i]=false）且在所有未访问的节点中最短距离最小（disk[i]

≤disk[k] k∈vis[k]=false）的节点I;

用找到的节点I更新其他节点的最短距离（if disk[i]+g[I,j]

disk[j]=disk[i]+g[I,j]）

Until 所有节点都扩张过了。（2）任意顶点对之间的最短路问题

求解方法：Floyed算法。

➢方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次---T(n)=O(n³)

➢方法二：弗洛伊德(Floyd)算法，其算法思想：逐个顶点试探法。

具体步骤：

❖初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧，则对应元素为权值；否则为µ❖逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值

❖所有顶点试探完毕，算法结束二、模型构建方法与问题分析《过河问题》。一个人带了一只狼、一只兔子和一棵白菜想要过河。河上有一只独木船，每次除了人以外，只能带

一样东西。另外如果人不在旁时狼就要吃兔子，兔子就要吃白菜。问应该怎样安排过河，才能做到既把所有东西都带过河，在河上来回的次数又最少？

.分析：

（一）构图

（1）图的节点

对于左岸的情况，我们可以用集合表示。这样一共会有24=16种状态：[人、狼、兔、菜] [人、狼、兔] [人、狼、菜] [人、兔、菜][狼、兔、菜][人、狼] [人、兔] [人、菜] [狼、兔][狼、菜] [兔、菜][人] [狼][兔] [菜] [ ]

这其中有狼吃兔子、兔子吃菜的情况的有：

[狼、兔、菜]，[人、狼]，[人、菜]，[狼、兔]，[兔、菜]，[人] 共6种情况。将他们删掉后就剩下10个集合了。将这10个集合看成我们的图中的10个节点。

（2）图的边与权

这10个节点，若是一个节点的情况可以通过一次渡河得到另一个节点的情况，就在这两个节点之间连一条权值为1的无向边。构建后的图论模型如下：

（二）问题转化：构建好图论模型后，问题转化成了求[人、狼、兔、菜] 到[ ] 的最短路径了。

问题B：最优乘车（NOI97试题）

问题描述：

H城是一个旅游胜地，每年都有成千上万的人前来观光。为方便游客，巴士公司在各个旅游景点及宾馆，饭店等地都设置了巴士站并开通了一些单程巴士线路。每条单程巴士线路从某个巴士站出发，依次途经若干个巴士站，最终到达终点巴士站。

一名旅客最近到H城旅游，他很想去S公园游玩，但如果从他所在的饭店没有一路巴士可以直接到达S公园，则他可能要先乘某一路巴士坐几站，再下来换乘同一站台的另一路巴士, 这样换乘几次后到达S公园。

现在用整数1，2，……N 给H城的所有的巴士站编号，约定这名旅客所在饭店的巴士站编号为1，2，……S，公园巴士站的编号为N。

写一个程序，帮助这名旅客寻找一个最优乘车方案,使他在从饭店乘车到S公园的过程中换车的次数最少。

输入输出

输入文件是INPUT.TXT。文件的第一行有两个数字M和N(1<=M<=100 1

输出文件是OUTPUT.TXT，文件只有一行。如果无法乘巴士从饭店到达S公园，则输出“N0”，否则输出你的程序所找到的最少换车次数，换车次数为0表示不需换车即可到达。样例

INPUT.TXT

3 7

6 7

4 7 3 6

2 1

3 5

OUTPUT.TXT

2

[分析]此题是Noi97第一试的第二题，看完题目的描述后我们很容易就想到“这道题目是不是跟图论有关？”，然后我们发现问题是求最少的换车次数，于是又可以想到“这是不是可以用最短路来解决？”如果可以，问题就成了如何构建最短路的图论模型。

（一）模型的构建方法

首先我们来分析样例所表示的图：

考察4 ——> 7 ——> 3 ——> 6这条线路。由于巴士在同一线路上行走不需换车，我们可设4 ——> 7，4 ——> 3，4 ——> 6，7 ——> 3，7 ——> 6，3 ——> 6这些边的权值都为1。对每条线路我们都这样构图，然后问题就转化成求起点1到终点n的最短路。图2：

（二）问题转化：假设最短路长为m 。由于坐车耗费在每条线路上的代价都是1，而不同线路间是通过同一站联系的，所以换线路并不耗时，因此m即表示从起点1到终点n所经过的最少线路数。而最少换车次数即等于经过的最少线路数减一。

问题C：求解《01串问题》（NOI99试题）

问题描述：给定7个整数N,A0,B0,L0,A1,B1,L1，要求设计一个01串S=s1s2…s i…s N，满足：（1）s i=0或s i=1，1<=i<=N；

（2）对于S的任何连续的长度为L0的子串s j s j+1…s j+L0-1(1<=j<=N-L0+1)，0的个数大于等于A0且小于等于B0;

（3）对于S的任何连续的长度为L1的子串s j s j+1…s j+L1-1(1<=j<=N-L1+1)，1的个数大于等于A1且小于等于B1;

例如，N=6,A0=1,B0=2,L0=3,A1=1,B1=1,L1=2，则存在一个满足上述所有条件的01串S=010101。