电路分析(节点分析法)
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在各节点电压的共同作用下，流出某节点的电流代数和等 于流入该节点电流源（包括等效电流源）的电流的代数和。
iR 出 = iS入
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式 + us - R1 i1
节点方程的规范式
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
3
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
1 (
R1
1 R3
节点电压：u1=v1，u2=v2；
u12=v1-v2= u1- u2 u23=v2-v3= u2 u31=v3-v1= - u1
支路1，3 支路4，5 支路2
∑u=u12+u23+u31 = u1- u2+ u2- u1 = = 0
+ us - R1 i1
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
3
u1, u2自动满足KVL （电位单值性）
)u2
us R1
1 (
R1
1 R3
)u1
1 ( R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
G11u1 G12u2 is11 （3）
G21u1 G22u2 is22 （4）
G11、G22分别是联接到节点①、②的各支路电导的总和，并
分别称为节点①、②的自电导(Self conductance)；
( 1 R1
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
（4）
【1】
【2】
【3】
+ us - R1 i1
【1】: 节点电压u1单独作用， 节点②流出的电流。
1 i2
R2
R3 i3
2
i5 【2】: 节点电压u2单独作用，
i4
is 节点②流出的电流。
R4
3
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
由节点电压u1和u2线性组合表示。
是一组完备的独立变量。
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
+ us - R1 i1
u1, u2自动满足KVL 是一组完备的独立变量
R3 i3
2
1
i5
i2
i4
is
节点电压：独立节点对参考节点的电压； R2
R4
方向：指向参考节点的方向为电压降方向。 3
节点电压数＝节点数－1＝独立节点数
流入
流出
( 1 R1
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
（4）
【1】
【2】
【3】
+
usus-/
R1
R1
i1
R1
R3 i3 i1 2
1
i5
i2
i4
is
R2
R4
【3】: 联接到节点②的各 激励源单独作用，流入该 节点的电流代数和。
3
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
节点方程的物理意义
§2-9 节点分析法
支路电流法
KCL: 列2个方程 KVL: 列3个方程
+ us - R1 i1
1 i2 R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
思路：能否选定一组变量使之自动
满足 KVL或KCL，从而减少联立方 程的个数？
3
3节点，5支路
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
选择③为参考节点，即v3=0；
用节点电压表示上述的各支路电流
+ us - R1 i1
（依据KVL和VCR）
R3 i3
2
i1
=
us
+ u2 R1
-
u1
i2
=
u1 R2
1 i2
R2
i5
i4
is
R4
i3
=
u1 - u2 R3
i4
=
u2 R4
3
i5 = -is
ib f (u1, u2 )
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压方程
将各支路电流（节点电压表示）代入节点电流方程
(1) 选定参考节点，标定(nt-1)个独立节点； (2) 对(nt-1)个独立节点，以节点电压为未知量列写
节点①：-i1 + i2 + i3 =0 节点②： i1 -i3 + i4 + i5=0
（1） （2）
ib f (u1, u2 )
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
)u2
us R1
( 1 R1
1 R3
)u1
(1 R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
（3） （4）
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
+ us - R1 i1
选择③为参考节点（任意） 节点电压：u1，u2
标定各支路电流参考方向
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
对各独立节点列出节点电流方程（KCL）:
3
节点①：-i1 + i2 + i3 = 0 （1） 节点Biblioteka Baidu： i1 -i3 + i4 + i5 = 0 （2）
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压方程
求解2个变量 列写两个独立方程 ?
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
+ us - R1 i1
求解2个节点电压变量 列写两个独立方程
KCL 2个方程
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
ib 0
3
2个节点电压方程
KVL和VCR ib kb1u1 kb2u2
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压方程
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
节点电压：u1=v1，u2=v2；
u12=v1-v2= u1- u2 u23=v2-v3= u2 u31=v3-v1= - u1
支路1，3 支路4，5 支路2
+ us - R1 i1
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
i1
=
us
+ u2 R1
-
u1
3
电路中任一电压和电流响应均可
（2）节点方程的物理意义
+ us - R1 i1
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
)u2
us R1
1 i2
1 (
R1
1 R3
)u1
1 (
R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
3
上式按KCL列写，表示电流(电荷)平衡关系。
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
G11 G12 G1n u1 is11
G21 G22
G2
n
u2
is22
Gn1
Rn 2
Gnn
un
isnn
当电路中无受控源时，系数矩阵对称
iR出 iS入
电路原理
§2-9 节点分析法·解题步骤
自电导取正
G12、G21是联接到节点①和节点②之间的两支路电导之和的
负值，称为节点①和节点②的共电导(Mutual conductance)；
共电导取负
is11、is22分别是电流源(或等效电流源)流入节点①、②电流的
代数和。
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
n个独立节点的电路情形
G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2
iR 出 = iS入
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式 + us - R1 i1
节点方程的规范式
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
3
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
1 (
R1
1 R3
节点电压：u1=v1，u2=v2；
u12=v1-v2= u1- u2 u23=v2-v3= u2 u31=v3-v1= - u1
支路1，3 支路4，5 支路2
∑u=u12+u23+u31 = u1- u2+ u2- u1 = = 0
+ us - R1 i1
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
3
u1, u2自动满足KVL （电位单值性）
)u2
us R1
1 (
R1
1 R3
)u1
1 ( R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
G11u1 G12u2 is11 （3）
G21u1 G22u2 is22 （4）
G11、G22分别是联接到节点①、②的各支路电导的总和，并
分别称为节点①、②的自电导(Self conductance)；
( 1 R1
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
（4）
【1】
【2】
【3】
+ us - R1 i1
【1】: 节点电压u1单独作用， 节点②流出的电流。
1 i2
R2
R3 i3
2
i5 【2】: 节点电压u2单独作用，
i4
is 节点②流出的电流。
R4
3
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
由节点电压u1和u2线性组合表示。
是一组完备的独立变量。
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
+ us - R1 i1
u1, u2自动满足KVL 是一组完备的独立变量
R3 i3
2
1
i5
i2
i4
is
节点电压：独立节点对参考节点的电压； R2
R4
方向：指向参考节点的方向为电压降方向。 3
节点电压数＝节点数－1＝独立节点数
流入
流出
( 1 R1
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
（4）
【1】
【2】
【3】
+
usus-/
R1
R1
i1
R1
R3 i3 i1 2
1
i5
i2
i4
is
R2
R4
【3】: 联接到节点②的各 激励源单独作用，流入该 节点的电流代数和。
3
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
节点方程的物理意义
§2-9 节点分析法
支路电流法
KCL: 列2个方程 KVL: 列3个方程
+ us - R1 i1
1 i2 R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
思路：能否选定一组变量使之自动
满足 KVL或KCL，从而减少联立方 程的个数？
3
3节点，5支路
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
选择③为参考节点，即v3=0；
用节点电压表示上述的各支路电流
+ us - R1 i1
（依据KVL和VCR）
R3 i3
2
i1
=
us
+ u2 R1
-
u1
i2
=
u1 R2
1 i2
R2
i5
i4
is
R4
i3
=
u1 - u2 R3
i4
=
u2 R4
3
i5 = -is
ib f (u1, u2 )
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压方程
将各支路电流（节点电压表示）代入节点电流方程
(1) 选定参考节点，标定(nt-1)个独立节点； (2) 对(nt-1)个独立节点，以节点电压为未知量列写
节点①：-i1 + i2 + i3 =0 节点②： i1 -i3 + i4 + i5=0
（1） （2）
ib f (u1, u2 )
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
)u2
us R1
( 1 R1
1 R3
)u1
(1 R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
（3） （4）
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
+ us - R1 i1
选择③为参考节点（任意） 节点电压：u1，u2
标定各支路电流参考方向
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
对各独立节点列出节点电流方程（KCL）:
3
节点①：-i1 + i2 + i3 = 0 （1） 节点Biblioteka Baidu： i1 -i3 + i4 + i5 = 0 （2）
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压方程
求解2个变量 列写两个独立方程 ?
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
+ us - R1 i1
求解2个节点电压变量 列写两个独立方程
KCL 2个方程
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
ib 0
3
2个节点电压方程
KVL和VCR ib kb1u1 kb2u2
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压方程
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压
节点电压：u1=v1，u2=v2；
u12=v1-v2= u1- u2 u23=v2-v3= u2 u31=v3-v1= - u1
支路1，3 支路4，5 支路2
+ us - R1 i1
1 i2
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
i1
=
us
+ u2 R1
-
u1
3
电路中任一电压和电流响应均可
（2）节点方程的物理意义
+ us - R1 i1
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
( 1 R1
1 R3
)u2
us R1
1 i2
1 (
R1
1 R3
)u1
1 (
R1
1 R3
1 R4
)u2
us R1
is
R2
R3 i3
2
i5
i4
is
R4
3
上式按KCL列写，表示电流(电荷)平衡关系。
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
G11 G12 G1n u1 is11
G21 G22
G2
n
u2
is22
Gn1
Rn 2
Gnn
un
isnn
当电路中无受控源时，系数矩阵对称
iR出 iS入
电路原理
§2-9 节点分析法·解题步骤
自电导取正
G12、G21是联接到节点①和节点②之间的两支路电导之和的
负值，称为节点①和节点②的共电导(Mutual conductance)；
共电导取负
is11、is22分别是电流源(或等效电流源)流入节点①、②电流的
代数和。
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
n个独立节点的电路情形
G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2