2020届高考数学山东省二轮课件：专题四第1讲 统计

础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的 附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势, 利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 yˆ =99+17.5t可以较好地描述201 0年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值 更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得 到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比 较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可.
总结提升
1.关于平均数、方差的计算 样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式,要特别注意区分方 差与标准差,不能混淆,标准差是方差的算术平方根.
2.求解频率分布直方图中相关数据的两个注意点
(1)小长方形的面积表示频率,直方图中的纵轴是
频率 组距
,而不是频率.
(2)各组数据频率之比等于对应小长方形的高度之比.
1 51 22

2

86
450
= =45,
10
aˆ = y-bˆ x=130-45×3=-5,
故所求线性回归方程为 yˆ =45x-5,
令x=7,得 yˆ =310,
所百度文库预测截至2020年年底该小区的私家车数量为310辆.
(2)(i)由频率分布直方图可知,有意向竞拍且拟报竞价不低于1 000元的频率
n(ad -bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
解析 (1)第二种生产方式的效率更高. 理由如下: (i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所 需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务 所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. (ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数 为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73. 5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. (iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高
37(元).
考点三 独立性检验
(2018课标全国Ⅲ,18,12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出 了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第 二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min) 绘制了如下茎叶图:
s12
=
1 5
×[(-1)2+
22+32+02+(-4)2]=6.
5个职业组成绩的平均数
x2
=
1 5
×(93+98+94+95+90)=94,方差
s22
=
1 5
×[(-1)2+42+02
+12+(-4)2]=6.8.
(ii)从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳 定.(感想合理即可)
若最后出现并列的报价,则提出申请在前的业主获得车位.为预测本次竞拍的 成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调 查,统计了他们的拟报竞价(单位:百元),得到如下频率分布直方图.
(i)求所抽取的业主中有意向竞拍且拟报竞价不低于1 000元的人数; (ii)如果所有符合条件的业主均参与竞拍,利用样本估计总体的思想,请你预 测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功.(精确到整数) 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归方程 yˆ =bˆx+aˆ
(1)求x; (2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数); (3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的 方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1~5组,从这5个按年龄分的 组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成 绩,年龄组中1~5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1~5组的成绩分别为 93,98,94,95,90. (i)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差; (ii)以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程 度,并谈谈你的感想.
1.某中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段测试中两个小组成 绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位 数是89,则n-m的值是 ( B )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B 由题意得,

1 7

(78

88

84

86

92

90

m

95)
第1讲 统计
总纲目录
考点一 统计图表及数字特征 考点二 回归分析 考点三 独立性检验 素养引领·情境命题
考点一 统计图表及数字特征
1.(2018课标全国Ⅰ,3,5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增 加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了 该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
解析 (1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5=0.05,∴ 6 =0.05,∴x
x
=120.
(2)设中位数为a,则0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,
∴a= 95 ≈32,则中位数为32.
3
(3)(i)5个年龄组成绩的平均数
x1=
1 5
×(93+96+97+94+90)=94,方差
解析 (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 yˆ =-3 0.4+13.5×19=226.1(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 yˆ =99+17.5×9= 256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不 能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基
2015 2 95
2016 3 124
2017 4 181
2018 5 216
(1)若私家车数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的线性回归方程, 并预测截至2020年年底该小区的私家车数量; (2)该小区于2018年年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位.为解决小 区车辆乱停乱放的问题,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区.由于车位 有限,物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期 为一年,竞拍方案如下:①截至2018年年底已登记在册的私家车业主拥有竞拍 资格;②每辆车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己 的报价;③根据物价部门的规定,竞价不得超过1 200元;④申请阶段截止后将 所有申请的业主的报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交;⑤
随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.该小 区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成居民 出行不便.物业公司统计了近五年(截至2018年年底)小区登记在册的私家车 数量(每位业主至多有一辆车),得到如下表格:
年份
2014
年份编号x
1
私家车数量y(单位:辆) 34
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C) 的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表).
解析 (1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
则下面结论中不正确的是 ( A )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案 A 设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可得下表:
种植收入
第三产业收入
为(0.25+0.05)×1=0.3,
40×0.3=12,
所以有意向竞拍且拟报竞价不低于1 000元的人数为12.
(ii)因为120 = 5 ,
216 9
所以竞价自高到低排列位于前 5 的业主可以竞拍成功,
9
结合频率分布直方图,预测竞拍成功的最低报价为1
000-
5 9
-
3 10

÷0.4×100≈9
5
故选ABC.
3.(2018江西新余二模,18)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪 海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不 同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90 分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组,第一组:[2 0,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45),得到如图 所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.

88,
80 n 89,
解得m=3,n=9,
所以n-m=9-3=6.
2.(多选)某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85,67,m,80,93,其中m>0.若该 学生在这5次考试中成绩的中位数为80,则得分的平均数可能为 ( ABC ) A.70 B.75 C.80 D.85
答案 ABC 将已知的四次成绩按照由小到大的顺序排列为67,80,85,93,该 学生这5次考试成绩的中位数为80,则m≤80, 所以平均数85 67 m 80 93≤81,可知平均数可能为70,75,80,不可能为85.
考点二 回归分析
(2018课标全国Ⅱ,18,12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资 额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个 线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17) 建立模型①: yˆ =-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次 为1,2,…,7)建立模型②: yˆ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时
间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表;
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:K2=
n
的斜率和截距的最小二乘估计分别为bˆ


i 1
(xi -x)(yi - y)
n
,aˆ

y-bˆx.
(xi -x)2
i 1
解析 (1)由题表中数据,
计算得x=1 ×(1+2+3+4+5)=3,
5
y=
1 5
×(34+95+124+181+216)=130,
则bˆ
=
(-2)

(-96) (-1) (-35) 0 (-2)2 (-1)2 0 12
总结提升
(1)样本数据的相关系数r,
n
(xi -x)(yi - y)
r= i1 n
n
,
(xi -x)2 (yi - y)2
i 1
i 1
反映样本数据的相关程度,|r|越大,则相关性越强.
(2)样本数据的均值反映样本数据的平均水平;样本数据的方差反映样本数据
的稳定性,方差越小,数据越稳定;样本数据的标准差为方差的算术平方根.
其他收入
养殖收入
建设前经济收入
0.6a
0.06a
0.04a
0.3a
建设后经济收入
0.74a
0.56a
0.1a
0.6a
根据上表可知B、C、D中的结论均正确,A中的结论不正确,故选A.
2.(2019课标全国Ⅲ,17,12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度, 进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服 甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔 浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百 分比.根据试验数据分别得到如下直方图: