材料力学 第三章扭转
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T T
Mx
T
Mx
T
Mx
⊖
Mx
三、扭矩图:
T
1
3T
2
T
3
T
A
1
T 1
Mx1
B
2
C
3
D Mx1 = T
T
1 1
3T
2
Mx2
Mx2 =T-3T= -2T
T
Mx3
3 T
1
2
T
1
3T
2
3
Mx3
Mx3 =T-3T+T= -T
3
A
1
B
2
C
3
或Mx3=-T
规律:
某一截面的扭矩在数值上等于截面一侧 所有外力偶矩的代数和。 Mxi=±ΣTi(左或右）
τ
x
dz
dx
有
τ = τ'
——切应力互等定理
过物体内任一点，相互垂直的两个截面上，垂直于两 截面交线的切应力大小相等，且均指向或背离此交线。
T
T
T
Mx
纵截面的切应力分布
§3-4 圆杆扭转时的变形和扭转 超静定问题
一、圆杆扭转时的变形
由
d M x dx GI P
Mx dx GI P l
d D
l/2 l
B
画扭矩图。
Mxmax=2T 2、强度条件。
2T
3
max
M x max 2 0.88 10 Wp 0.063 /16
⊕
T
⊖
41.5MPa 3、刚度条件。
max
未超过5﹪
M x max 2 0.88 103 180 0.99 / m ＜[θ] GI P 9 4 80 10 0.06 32
第三章
扭
转
作者:黄孟生
§3-1
概述
外力特点：平衡力偶系作用在垂直于杆轴线的
平面内.
变形特点：各横截面绕杆轴线作相对转动。
任意两截面间相对转动的角度 ——扭转角, 如 ；
杆的纵线也转过一角度γ——剪切角。
以扭转变形为主要变形的受力杆件——轴.
圆形截面的扭转构件——圆轴. 工程实例:。 机器中的传动轴;。
7 103 0.175 106 mm3 40 106
d
3
16WP
96mm
3、由刚度条件求直径。
M x max 7 103 Ip 2.51107 mm 4 32 G 8 1010 0.2 180
d4
d
4
32 I P
126mm
扭矩随截面位置的改变而变化的图形---扭矩图。
T
1
3T
2
T
3
T
A
1
B
2
C
3
D
Mx
T
+
x
-
T
2T
§3-3 圆杆扭转时横截面上的切应力
一、横截面上的应力
什么应力？ 分析步骤？
变形分析(几何关系)→应变分布
应力-应变关系(物理关系)→应力分布 静力学关系→应力公式
Mx
1、几何关系
（1）变形现象
T
周线
a b c d
γ
T
υ
A、周线的形状、大小
和间距不变,仅绕杆轴线作
纵线
dx
相对转动。
B、所有纵线转过同一角度γ。
矩形
（2）假 设
平行四边形
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度——刚性平面假设。
（3）应变分布规律
T
周线 T
a b
c d
γ υ
纵线
dx
Mx
O1 a γ b
c
c′ d d′
B
lAB
A
lAC
C
解: AB: Mx1=0.5kN.m
T2
T1
T3
BA
B
AC
lAB
A lAC C
AC: Mx2=-0.32kN.m
BA
M x1l AB GI P 500 0.3 0.0031rad 4 0.05 80 109 32
320 0.5 0.0033rad 4 0.05 9 80 10 32
2、空心圆截面
I P dA
2 D 2 d 2
dρ ρ
d 2 2 d
2
D 2
D 32
D4
32
4
d4
d D
(1 4 )
d ( ) D
IP WP D/2 D3 (1 4 ) 16
3、薄壁圆环截面
r0>>
δ
r0
D 2r0 d 2r0
解: 1°求扭矩、
画扭矩图。
M x1 TA 500N m
A TA B TB TC C
24
18
22
18
M x2 TC 300N m
500 Mx (N.m)
+
300
2°计算轴的最
大切应力
AB : M x1 500N m
d1 4 243 WP1 1 ( ) 16 D1 16
GI P GI P
补充方程：
b TA TB a
3）、静力学平衡方程：
TA TB T
求得：
b a TA T , TB T ab ab
§3-5、扭转时材料的力学性质
Mx
τ o l
r0
o
假设：应力沿厚度均匀分布
2 r0 r0 M x T
l r0
d=126mm
例6：图示圆轴，已知：T=0.88kNm, l=1.0m, 直径d= 60mm,材料参数G =80GPa,[τ]= 40MPa, [θ]=1.0 °/ m。 试校核强度和刚度；并计算AB两截面间的相对扭转角.
3T
T/l
A C
l/2
d D
l/2 l
B
3T
T/l
解: 1、求扭矩、
A
C
l/2
二.刚度计算
刚度条件:
max
M x max 180 GI P
0
其中[θ]——规定的单位长度杆的扭转角。 查工程手册。 刚度计算包括三个方面内容： 校核刚度；设计截面；求容许外力偶矩
例5 图示一传动轴.材料的容许切应力[τ]＝40MPa, 切变模量G=80GPa, [θ]=0.2o/m,试求轴所需的直径。
r
ρ dA
O
Mx
将(b)式代入
d 2 G A dA M x dx
令 Ip
d dA M x A G dx
d M x dx GI p
2 dA A
截面极惯性矩长度 .
4
代入(b)式，得
Mx Ip
max
M xr Ip
Mx Ip
令
4
1 2 , D 115.5mm, d1 57.7mm
Mx 10 103 35.7MPa 3 4 WP 0.115 1 0.5 /16
面积相同，空心圆轴的应力比实心的要小。
例3：已知外力偶矩 TA = 500N· ，TB = 200N· ， m m TC = 300N· m，试求轴的最大切应力。
500 Mx (N.m)
+
300
D13
18 1 ( )4 1875mm3 24
M x1 500 max 1 270 106 N / m2 Wp1 1.857 106 270MPa
500
BC : M x 2 300N m
4、A、B两截面之间的相对扭转角
3T
T/l
A C
l/2
d D
l/2 l
O2 dυ
dx
Mx
O1 a γ b c c′ O2 dυ
o γρ a b
dυ
o' e f
γ
c c' d
d
d′
dx
d'
dx
γρ ——切应变
o γρ
dυ
o' e f
ef d tan dx dx
a b
γ
c c' d
——（a）
d —单位长度相对扭转角 dx
dx
d'
例2：已知 d=100mm,T=10kNm;求最大切应力； 若改用内外直径比为0.5的等面积的空心圆轴，最 大切应力又为多少？ 解：Mx =T=10kNm 实心圆轴： max 空心圆轴：
max
d2
4
Mx 10 103 51.0MPa 3 WP 0.1 /16
D2
脆性材料：
[τ]=（0.8 ~ 1.0 ）[σt]
Hale Waihona Puke BaiduE G 21
各向同性材料:
§3-6、扭转杆件的强度和刚度计算
一、强度计算
危险截面：扭矩最大截面. 危险点：扭矩最大截面上圆周上的各个点. 强度条件： M x max max WP 强度计算包括三个方面内容： 校核强度；设计截面；求容许外力偶矩
同一截面θ为常数
2、物理关系
o γρ a b
dυ
o' e f
γ
c c' d
dx
d'
弹性变形时: τ= Gγ
——剪切胡克定律。
G —材料的切变模量。
d G G dx
τ
O
——(b)
——应力沿半径线性分布。
τmax
Mx
3、静力学关系
τρ dA
A
dA M x
2
2 、作扭矩图
TB
TA
TC
TD
1.43
Mx /kN· m
+ 1.75 0.96
x
TA 3.18kN m, TB 1.43kN m TC 0.80kN m, TD 0.96kN m
3、最大应力
max
M x max WP
1.75 103 71.4MPa 3 0.05 /16
D2
3
Mx (N.m)
+
300
WP 2
d2 4 223 1 ( ) 16 D2 16
18 1 ( ) 4 1154mm3 22
max 2
M x2 300 6 2 260 10 N / m 6 Wp 2 1.154 10
I P 2 r
3 0
WP 2 r
2 0
d D
WP 2 A0
A0——中线包围的面积
推广：任意形状的薄壁截面
WP 2 A0
——等厚度
WP 2 A0 min ——变厚度
例1: 已知: d=50mm, n=300r/min, PA=100kW,
PB=45kW,PC=25kW,PD=30kW。求(1)作扭矩图；
(2)最大切应力。
PB PA PC PD
解：1、求外力偶矩：
100 45 TA 9.55 3.18kN m , TB 9.55 1.43kN m 300 300 25 30 TC 9.55 0.80kN m, TD 9.55 0.96kN m 300 300
T 2 r0 2
a
r0 l
b
τ
b a
τ
τs
τp O γ
低碳钢τ-γ曲线
τb
O γ
铸铁τ-γ曲线
τp——剪切比例极限 τs——剪切屈服极限
τb——剪切强度极限
实心圆截面试件的破坏试验
低碳钢
铸铁
木材
u [ ] , n
u
{
S b
塑性材料： [τ]=（0.5 ~ 0.6 ）[σt]
260MPa
显然，最大切应力发生在AB段的各个横截面
的周边各点处。其值为τmax= 270MPa。
三、切应力互等定理
T A T
无限小的长方体
——单元体
y τ'
o c
o'
dy τ dz x
a b
dx
d
z
dx
纯剪切应力状态
ΣMzi = 0 （τdydz）dx =（τ'dxdz）dy
z
y τ'
dy
若l 长度内Mx、G 、Ip为常数时：
M xl GI P
GIp—— 扭转刚度。
例4：已知: T1 = 0.82kN· ，T2 = 0.50kN· ， m m T3 = 0.32kN· m，lAB=300mm,lAC=500mm,
d=50mm,G=80GPa.试求:截面C相当于B的扭转角。
T2 T1 T3
地质勘探中的钻杆等。
§3-2 扭矩及扭矩图
一、功率、转速与外力偶矩的关系
当功率P为千瓦（kW），转速n为: 转/分（r/min）
P P P T 9.55 (kNm) ω n 2π 60 n
二、扭矩的计算
扭矩计算：截面法
T
T
T
T
Mx
Mx
Mx= T
符号规定： 右手螺旋法则: 矩矢与截面外法线方向一致 为正，反之为负。
T1 =7.0kN.m
T2 =3.5kN.m
T3 =3.5kN.m
A
B
C
解: 1、求扭矩、 画扭矩图。
M xmax 7kN m
T1 =7.0kN.m T2 =3.5kN.m T3 =3.5kN.m
2、由强度条件求 直径。
A 7.0 Mx
/kN· m
B
+
C 3.5
Wp
d3
16
M x max
AC
M x 2l AC GI P
BA BA AC 0.0002rad
二、扭转超静定问题
1）、变形协调几何关系：
CA BC
GI P GI P
TA
A a
T
C b
TB
B
2）、物理关系： M x1a TAa , M x 2b TBb CA CB
IP WP = r
max
M xr Ip
——扭转截面系数 [长度]3
τ max
Mx Wp
二、极惯性矩和扭转截面系数的计算
1、实心圆截面
dA 2 d
I P dA
2 A
dρ ρ
2 d
2
d 2 0
d
4
d
32
IP d3 WP d /2 16
Mx
T
Mx
T
Mx
⊖
Mx
三、扭矩图:
T
1
3T
2
T
3
T
A
1
T 1
Mx1
B
2
C
3
D Mx1 = T
T
1 1
3T
2
Mx2
Mx2 =T-3T= -2T
T
Mx3
3 T
1
2
T
1
3T
2
3
Mx3
Mx3 =T-3T+T= -T
3
A
1
B
2
C
3
或Mx3=-T
规律:
某一截面的扭矩在数值上等于截面一侧 所有外力偶矩的代数和。 Mxi=±ΣTi(左或右）
τ
x
dz
dx
有
τ = τ'
——切应力互等定理
过物体内任一点，相互垂直的两个截面上，垂直于两 截面交线的切应力大小相等，且均指向或背离此交线。
T
T
T
Mx
纵截面的切应力分布
§3-4 圆杆扭转时的变形和扭转 超静定问题
一、圆杆扭转时的变形
由
d M x dx GI P
Mx dx GI P l
d D
l/2 l
B
画扭矩图。
Mxmax=2T 2、强度条件。
2T
3
max
M x max 2 0.88 10 Wp 0.063 /16
⊕
T
⊖
41.5MPa 3、刚度条件。
max
未超过5﹪
M x max 2 0.88 103 180 0.99 / m ＜[θ] GI P 9 4 80 10 0.06 32
第三章
扭
转
作者:黄孟生
§3-1
概述
外力特点：平衡力偶系作用在垂直于杆轴线的
平面内.
变形特点：各横截面绕杆轴线作相对转动。
任意两截面间相对转动的角度 ——扭转角, 如 ；
杆的纵线也转过一角度γ——剪切角。
以扭转变形为主要变形的受力杆件——轴.
圆形截面的扭转构件——圆轴. 工程实例:。 机器中的传动轴;。
7 103 0.175 106 mm3 40 106
d
3
16WP
96mm
3、由刚度条件求直径。
M x max 7 103 Ip 2.51107 mm 4 32 G 8 1010 0.2 180
d4
d
4
32 I P
126mm
扭矩随截面位置的改变而变化的图形---扭矩图。
T
1
3T
2
T
3
T
A
1
B
2
C
3
D
Mx
T
+
x
-
T
2T
§3-3 圆杆扭转时横截面上的切应力
一、横截面上的应力
什么应力？ 分析步骤？
变形分析(几何关系)→应变分布
应力-应变关系(物理关系)→应力分布 静力学关系→应力公式
Mx
1、几何关系
（1）变形现象
T
周线
a b c d
γ
T
υ
A、周线的形状、大小
和间距不变,仅绕杆轴线作
纵线
dx
相对转动。
B、所有纵线转过同一角度γ。
矩形
（2）假 设
平行四边形
横截面变形后仍为平面，并象刚片一样只绕杆 轴线旋转过一个角度——刚性平面假设。
（3）应变分布规律
T
周线 T
a b
c d
γ υ
纵线
dx
Mx
O1 a γ b
c
c′ d d′
B
lAB
A
lAC
C
解: AB: Mx1=0.5kN.m
T2
T1
T3
BA
B
AC
lAB
A lAC C
AC: Mx2=-0.32kN.m
BA
M x1l AB GI P 500 0.3 0.0031rad 4 0.05 80 109 32
320 0.5 0.0033rad 4 0.05 9 80 10 32
2、空心圆截面
I P dA
2 D 2 d 2
dρ ρ
d 2 2 d
2
D 2
D 32
D4
32
4
d4
d D
(1 4 )
d ( ) D
IP WP D/2 D3 (1 4 ) 16
3、薄壁圆环截面
r0>>
δ
r0
D 2r0 d 2r0
解: 1°求扭矩、
画扭矩图。
M x1 TA 500N m
A TA B TB TC C
24
18
22
18
M x2 TC 300N m
500 Mx (N.m)
+
300
2°计算轴的最
大切应力
AB : M x1 500N m
d1 4 243 WP1 1 ( ) 16 D1 16
GI P GI P
补充方程：
b TA TB a
3）、静力学平衡方程：
TA TB T
求得：
b a TA T , TB T ab ab
§3-5、扭转时材料的力学性质
Mx
τ o l
r0
o
假设：应力沿厚度均匀分布
2 r0 r0 M x T
l r0
d=126mm
例6：图示圆轴，已知：T=0.88kNm, l=1.0m, 直径d= 60mm,材料参数G =80GPa,[τ]= 40MPa, [θ]=1.0 °/ m。 试校核强度和刚度；并计算AB两截面间的相对扭转角.
3T
T/l
A C
l/2
d D
l/2 l
B
3T
T/l
解: 1、求扭矩、
A
C
l/2
二.刚度计算
刚度条件:
max
M x max 180 GI P
0
其中[θ]——规定的单位长度杆的扭转角。 查工程手册。 刚度计算包括三个方面内容： 校核刚度；设计截面；求容许外力偶矩
例5 图示一传动轴.材料的容许切应力[τ]＝40MPa, 切变模量G=80GPa, [θ]=0.2o/m,试求轴所需的直径。
r
ρ dA
O
Mx
将(b)式代入
d 2 G A dA M x dx
令 Ip
d dA M x A G dx
d M x dx GI p
2 dA A
截面极惯性矩长度 .
4
代入(b)式，得
Mx Ip
max
M xr Ip
Mx Ip
令
4
1 2 , D 115.5mm, d1 57.7mm
Mx 10 103 35.7MPa 3 4 WP 0.115 1 0.5 /16
面积相同，空心圆轴的应力比实心的要小。
例3：已知外力偶矩 TA = 500N· ，TB = 200N· ， m m TC = 300N· m，试求轴的最大切应力。
500 Mx (N.m)
+
300
D13
18 1 ( )4 1875mm3 24
M x1 500 max 1 270 106 N / m2 Wp1 1.857 106 270MPa
500
BC : M x 2 300N m
4、A、B两截面之间的相对扭转角
3T
T/l
A C
l/2
d D
l/2 l
O2 dυ
dx
Mx
O1 a γ b c c′ O2 dυ
o γρ a b
dυ
o' e f
γ
c c' d
d
d′
dx
d'
dx
γρ ——切应变
o γρ
dυ
o' e f
ef d tan dx dx
a b
γ
c c' d
——（a）
d —单位长度相对扭转角 dx
dx
d'
例2：已知 d=100mm,T=10kNm;求最大切应力； 若改用内外直径比为0.5的等面积的空心圆轴，最 大切应力又为多少？ 解：Mx =T=10kNm 实心圆轴： max 空心圆轴：
max
d2
4
Mx 10 103 51.0MPa 3 WP 0.1 /16
D2
脆性材料：
[τ]=（0.8 ~ 1.0 ）[σt]
Hale Waihona Puke BaiduE G 21
各向同性材料:
§3-6、扭转杆件的强度和刚度计算
一、强度计算
危险截面：扭矩最大截面. 危险点：扭矩最大截面上圆周上的各个点. 强度条件： M x max max WP 强度计算包括三个方面内容： 校核强度；设计截面；求容许外力偶矩
同一截面θ为常数
2、物理关系
o γρ a b
dυ
o' e f
γ
c c' d
dx
d'
弹性变形时: τ= Gγ
——剪切胡克定律。
G —材料的切变模量。
d G G dx
τ
O
——(b)
——应力沿半径线性分布。
τmax
Mx
3、静力学关系
τρ dA
A
dA M x
2
2 、作扭矩图
TB
TA
TC
TD
1.43
Mx /kN· m
+ 1.75 0.96
x
TA 3.18kN m, TB 1.43kN m TC 0.80kN m, TD 0.96kN m
3、最大应力
max
M x max WP
1.75 103 71.4MPa 3 0.05 /16
D2
3
Mx (N.m)
+
300
WP 2
d2 4 223 1 ( ) 16 D2 16
18 1 ( ) 4 1154mm3 22
max 2
M x2 300 6 2 260 10 N / m 6 Wp 2 1.154 10
I P 2 r
3 0
WP 2 r
2 0
d D
WP 2 A0
A0——中线包围的面积
推广：任意形状的薄壁截面
WP 2 A0
——等厚度
WP 2 A0 min ——变厚度
例1: 已知: d=50mm, n=300r/min, PA=100kW,
PB=45kW,PC=25kW,PD=30kW。求(1)作扭矩图；
(2)最大切应力。
PB PA PC PD
解：1、求外力偶矩：
100 45 TA 9.55 3.18kN m , TB 9.55 1.43kN m 300 300 25 30 TC 9.55 0.80kN m, TD 9.55 0.96kN m 300 300
T 2 r0 2
a
r0 l
b
τ
b a
τ
τs
τp O γ
低碳钢τ-γ曲线
τb
O γ
铸铁τ-γ曲线
τp——剪切比例极限 τs——剪切屈服极限
τb——剪切强度极限
实心圆截面试件的破坏试验
低碳钢
铸铁
木材
u [ ] , n
u
{
S b
塑性材料： [τ]=（0.5 ~ 0.6 ）[σt]
260MPa
显然，最大切应力发生在AB段的各个横截面
的周边各点处。其值为τmax= 270MPa。
三、切应力互等定理
T A T
无限小的长方体
——单元体
y τ'
o c
o'
dy τ dz x
a b
dx
d
z
dx
纯剪切应力状态
ΣMzi = 0 （τdydz）dx =（τ'dxdz）dy
z
y τ'
dy
若l 长度内Mx、G 、Ip为常数时：
M xl GI P
GIp—— 扭转刚度。
例4：已知: T1 = 0.82kN· ，T2 = 0.50kN· ， m m T3 = 0.32kN· m，lAB=300mm,lAC=500mm,
d=50mm,G=80GPa.试求:截面C相当于B的扭转角。
T2 T1 T3
地质勘探中的钻杆等。
§3-2 扭矩及扭矩图
一、功率、转速与外力偶矩的关系
当功率P为千瓦（kW），转速n为: 转/分（r/min）
P P P T 9.55 (kNm) ω n 2π 60 n
二、扭矩的计算
扭矩计算：截面法
T
T
T
T
Mx
Mx
Mx= T
符号规定： 右手螺旋法则: 矩矢与截面外法线方向一致 为正，反之为负。
T1 =7.0kN.m
T2 =3.5kN.m
T3 =3.5kN.m
A
B
C
解: 1、求扭矩、 画扭矩图。
M xmax 7kN m
T1 =7.0kN.m T2 =3.5kN.m T3 =3.5kN.m
2、由强度条件求 直径。
A 7.0 Mx
/kN· m
B
+
C 3.5
Wp
d3
16
M x max
AC
M x 2l AC GI P
BA BA AC 0.0002rad
二、扭转超静定问题
1）、变形协调几何关系：
CA BC
GI P GI P
TA
A a
T
C b
TB
B
2）、物理关系： M x1a TAa , M x 2b TBb CA CB
IP WP = r
max
M xr Ip
——扭转截面系数 [长度]3
τ max
Mx Wp
二、极惯性矩和扭转截面系数的计算
1、实心圆截面
dA 2 d
I P dA
2 A
dρ ρ
2 d
2
d 2 0
d
4
d
32
IP d3 WP d /2 16