解析几何和立体几何交汇问题的解法

立体几何与解析几何交汇问题的解法

近几年的高考特别关注知识的综合性，注意在知识的网络交汇处设计试题，旨在考查学生综合利用所学知识分析和解决问题的能力。解几和立几交汇的问题因为其新颖性、应用性和综合性备受命题者的青睐，本文精选几例近几年来的高考题或高考模拟题作简要地分析，以期窥一斑而见全豹。

1以解析几何为背景的立体几何题

有些几何体通过投影、切割等方式得到解析几何中的曲线或解几中的一些曲线经过翻转和旋转得到立几中的几何体，通过研究解几中的曲线，从而计算几何体的面积、体积等度量。

例1如图1，一个球形广告气球被一束入射角为30°的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5 米的椭圆，

2果中保留

π）。

分析：本题旨在考查球的面积公式，属简单题， 只需找到球的半径与椭圆长轴之间的关系即可。

解：设球的直径为r 2，椭圆的长轴为a 2， 则有：030cos 22⋅=a r

，即2

3

52

3==a r ， 所以广告气球的面积：ππ7542==r S 。

例2由曲线y x 42=，y x 42-=，4=x ，4-=x 围成图形（如图2—1）绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为V 1，满足1622≤+y x ，4)2(22≥-+y x ，4)2(22≥++y x 的点),(y x 组成的图形（如图2—2）绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则（ ）

(A) V 1=21V 2 (B) V 1=3

2 (D) V 1=2V 2 分析：两个图形中的平面曲 线围成图形绕y 轴旋转后都不是 常见的旋转体，不能直接用公式 求出体积，所以要考虑用祖暅原 理比较两个几何体的体积。

解：用任意一个与y 轴垂直 的平面去截这两个旋转体，设 截面与原点距离为 ||y ，则

所得截面面积：|)|44(21y S -=π，|)|44()]||2(4[)4(222y y y S -=----=π，所以

21S S =。由祖暅原理，这两个旋转体的体积相等，故选C 。

图1

2以立体几何为背景的解析几何题

有些问题以几何体为背景，通过研究立体几何中点、线、面的位置关系或数量关系，从而转化为平面图形问题，在坐标系的基础上，从而判断动点的轨迹、求曲线的方程等。

例3如图3，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，点P 在平面ABB 1A 1

内运动， 且点P 到直线BC 与直线A 1B 1的距离相等，则 P 点的轨迹是下图中的（ ）

分析：不难发现BC 与面ABB 1A 1垂直，则P 点到直线BC 的距离就等于P 点到B 点的距离。于是，在面ABB 1A 1内，P 点到直线A 1B 1的距离等于到点B 的距离。由抛物线的定义知，P 点的轨迹是以A 为顶点，B 为焦点的抛物线，考虑到轨迹取上半部分，故选C 。

例4 已知底面半径为r 的圆柱，被一个与底面成30°的平面所截，截面是一

个椭圆，求椭圆的离心率。（2003北京高考题改编）

分析：椭圆的短轴BB 1长就等于圆柱底面的直径

r 2，故r b =，而长轴：AA 130cos 22r a =

=，即3

2r a =

。

所以2

1233 32

2=⨯=-=

=r r a

b a a

c

e 。 3解析几何和立体几何综合应用题

在实际生活中有很多立体几何和解析几何相结合的实例，它们是高考数学应

用题命题的源泉，平时通过用数学的眼光观察生活，就能够顺利解决该类型问题。

例6某电厂冷却塔（如图5—1）的外表是双曲线的一部分绕其中轴线（即双曲线的虚轴）旋转而成的曲面，其中上口直径为18米，下口直径为22米，最小直径为14m ，塔高为20米，试建立坐标系写出该双曲线的方程。

解：建立如图5—2的方程为：122

22=-b

y a

x ,则：)0,7(A ，即

7=a

，设),11(1y B ，),9(2y C 代入双曲

线方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1

7

9

171122222

22

122b y b

y 又2012=-y y ， 由此可解得：27,8,1221==-=b y y 故所求双曲线方程为：

198

492

2=-y x 。 （A ） （B ） （C ） （D ）

1

B

A 1 C

A D

B 1 D 1

C 1

图3 P

例4 如图6—1，平地上有一条水沟，沟沿是两条长100米的平行线段，沟宽AB 为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米。

（1） 求水面宽； （2） 沟中水的体积有多少立方米；

（3） 若要把这条水沟改挖（不准填土）成为

截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改

挖后的沟宽为多少米时，所挖的土最少？ 解：（1）如图6—2建立平面直角坐标系，设抛物

线的方程为2ax y =，则由抛物线过点)23,1(，得23

=a ， 于是抛物线方程为22

3x y =，当1=y 时，3

6

±=x ，故 水面宽为

3

6

2。 （2）由于求体积要用到积分知识，故这里从略。

（3）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切。设切点为)2

3

,(2t t P )10(≤

形OCDE ，且t y k t x CD 3|/===，则切线CD 的方程是：222

3323)(3t tx t t x t y -=+-=，于是)0,2

1(t C ，)2

3),1(2

1(t t D +,记梯形OCDE 的面积为S ，则t

t t t S 21243)21(43⨯⨯≥+

= 4

23=

，)10(≤

3时，S 取到最小值，此时挖土最少。

由于立体几何和解析几何综合问题能够为学生能力发展和提升创造更广阔的

空间，所以正在成为高考新的热点，在平时的学习和复习中应该引起足够的重视。