(浙江专版)201X年高中数学 复习课(二)数列学案 新人教A版必修5

复习课(二) 数 列

等差数列与等比数列的基本运算

数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n 项和等，一般试题难度较小．

[考点精要]

1．等差数列

(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n n －1

2

d ＝

a 1＋a n n

2

.

(3)前n 项和公式S n ＝d

2n 2

＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫

a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的

正负确定；S n ＝a 1＋a n n

2

中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代

换”思想解题．

2．等比数列 (1)通项公式：a n ＝a 1q

n －1

.

(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

na 1q ＝1，a 11－q n 1－q

＝a 1－a n q

1－q q ≠1.

(3)等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，则S n 可表示为S n ＝k ·q n

＋b ，(k ≠0，且k ＋b ＝0)． [典例] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.

(1)求数列{b n }的通项公式；

(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

S n ＋54是等比数列．

[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.

所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，故b n ＝5·2

n －3

.

(2)证明：由(1)知b 1＝5

4，公比q ＝2，

∴S n ＝

541－2n

1－2

＝5·2

n －2

－54

， 则S n ＋54＝5·2n －2

，因此S 1＋54＝52，S n ＋

5

4S n －1＋

54

＝5·2n －25·2

n －3＝2(n ≥2)．

∴数列⎩

⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以5

2为首项，公比为2的等比数列．

[类题通法]

在等差(或等比)数列中，首项a 1与公差d (或公比q )是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 或等比数列中的五个量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用S n 求a n 时，要注意验证n ＝1是否成立．

[题组训练]

1．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( )

A.

63

4

B ．16

C ．15

D.614

解析：选A 设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2a 3＝a 1a 4＝2a 1，则a 4＝2；由a 4与2a 7的等差中项为17知，a 4＋2a 7＝2×17＝34，得a 7＝16.∴q 3

＝a 7

a 4

＝8，即q ＝2，∴a 1＝a 4q 3＝1

4，则S 6＝

141－26

1－2

＝63

4

，故选A. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13，S 7＝7a 1＋a 1＋6d

2

＝35.联立两式，解得a 1＝2，d ＝1，∴a 7＝a 1＋6d ＝8.

答案：8

3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.

⎝

⎛⎭

⎪⎫其中12＋22＋…＋n 2＝16n n ＋12n ＋1

(1)求证⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是等差数列，并求S n ；

(2)若b n ＝1

a n

，求数列{b n }的前n 项和T n .

解：(1)证明：1S 1＝1

a 1

＝－1.

因为S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以

1

S n ＋1－1

S n

＝－1，

所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是首项为－1、公差为－1的等差数列，

所以1

S n

＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，

故S n ＝－1

n

.

(2)b 1＝1a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n n －1，b n ＝n 2

－n .

所以T 1＝－1.当n ≥2时，

T n ＝－1＋(22＋32＋…＋n 2)－(2＋3＋…＋n )

＝－1＋(12

＋22

＋32

＋…＋n 2

)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝－1＋16n (n ＋1)(2n ＋1)－1

2n (n ＋1)

＝－1＋1

3n (n ＋1)(n －1)．

故T n ＝－1＋1

3

n (n ＋1)(n －1).

等差、等比数列的性质及应用

等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n 项和的性质．利用性质求数列中某一项等，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，一般难度较小．

[考点精要]

等差数列的性质

等比数列的性质