大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布

2
v vP
2
1 vP
N 4 v e N vP
2
v vP
2
v vP
13
N 4 v e N vP
2
v vP
2
v vP
2 RT vP 402m / s, v 500m / s, M
1.对应于dv的小面元
f (v )
dS
dN dS f ( v )dv N
o
v dv
v
● dS 的值等于分布在v附近的速率区间 dv 内的分 子数占总分子数的比率。 f (v ) 2. v1 ~ v2 之间的面元 S
S
v2
v1
N f ( v )dv N
S
o
v1 v2
v
●代表分布在 v1 ~ v2 速率区间内的分子数占总分子 数的比率。
1.玻尔兹曼分布律 设分子系统在外力场中处于平衡态，其中dN个分子 的空间位置和速度分别处于如下区间：
x ~ x dx，y ~ y dy，z ~ z dz
v x ~ v x dv x , v y ~ v y dv y , vz ~ vz dvz
则这dN个分子的分布满足下述玻尔兹曼分布律：
f (v )
2 a 5v0
a 0

(v0 v 3v0 ) (v 3v0 )
a
o
2. v vf (v )dv
0
v0
3 v0
v

v0
o
3v0 2 2v 26 v ( 2 )dv vdv v0 v0 5v 5v0 15 0
3. N
2.5v0
1.5v0
Nf (v )dv
p nkT n0 kTe
p0 e

mgz kT
p0 n0kT 为z = 0 处的压强
p p0 e

mgz kT
大气压强随高度 增加按指数衰减.
RT p0 由上式得出 z ln Mg p
测高仪基本原理
23
T2 T1
v
6
6.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
o
vP
v
5
5.曲线随温度的变化关系
m f v 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v
来自百度文库
2
☆温度升高，曲线右移。即 T 增大时速率大的分子 增多，速率小的分子减少。 ☆因曲线下的总面积恒等于1，故此时曲线变得较为 平坦。
f (v )
T1 T2
o
T 400K T 1000K
dN f (v) Ndv
1
dN f (v ) Ndv
速率分布函数的物理意义
●分布于速率 v 附近的单位速率间隔内的分子数占 总分子数的比。
●也表示一个分子的速率处于 v 附近单位速率间隔 内的概率。 理由：同时跟踪大量分子与长时间跟踪一个分子 的统计结果相同。
☆故dN / N 也等于一个分子的速率取值在v ~ v + dv 区间内的概率。
h
O2
10000
8000
h
珠峰高度8844m 含氧量减半高度
H2
1
6000 4000 2000
O2
o
n / n0
o
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
n / n0
22
4.大气压强随高度的分布 大气近似为理想气体，则
n n0 e
mgz kT

mgz kT
12
N f v v N
m 2 f v 4 e 2 kT
3
3 mv 2 2 kT
2kT vP m
v
2
2 2 4 1 2 vP 4 v v 2 v v2 e v e P P
2.5v0
1.5v0
2N 2 dv N 5v0 5
16
三、麦克斯韦速度分布律
在平衡态下，速度分布于区间
v x ~ v x dv x , v y ~ v y dv y , vz ~ vz dvz
的分子数占总分子数的比为：
3 2
dN m e N 2 kT
2 2 m ( vx v2 y vz )
20
玻尔兹曼公式对所有速度积分得
dN n0 e

P
kT
dxdydz n0 e

P
kT
dV
分子密度： n n0 e

P
kT
dN n dV
3.气体在重力场中按高度的分布
在重力场中， P mgz
n n0 e

mgz kT
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讨论：1.大气分子数密度随高度(重力势能) mgz 的增加而按指数减小； n n0 e kT 2.分子质量越大，数密度随高度的减小愈快。 如氢气、氧气密度随高度的变化. 3.以上规律是分子热运动与重力共同作用的结果。 4.该式是在恒温假设下得出的。但因实际上大气温度随 高度增加而降低，故大气并不严格遵守该式。
T 3000K
o
v
7
⒊ 三种统计速率及计算 1.最概然速率vP vP 对应于 f (v) 的极大值。
k R / N A M mN A
f (v )
df (v ) 求极值： dv
v vP
0
o
vP
v
2kT 2 RT RT vP 1.41 m M M
☆m(或 M) 一定时， vP T 。当温度升高时，峰 值右移，曲线高度下降。 ☆ T一定时， vP 1 / m 或 1/ M 。m 或 M 越大 者，峰值越向左，曲线高度也越高。
f (v )
归一化：
a v v0
(0 v v0 )
a
o
a 0
(v0 v 3v0 ) (v 3v0 )
v0
v0
3 v0
v


0
f (v )dv
0
3v0 2 a vdv adv 1 a v0 5v0 v0
15
f (v )
a v v0
(0 v v0 )
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
dN f ( v )dv N
f (v) —气体分子按速率分布的概率分布函数—气体分 子的速率分布函数。
dN Nf ( v )dv
v2
在 v1 ~ v2 区间内的分子数为
N dN Nf v dv
v1
v1 ~ v2 区间内的分子数占总分子数的比为
v2 N f v dv v1 N
N f v v v2 v1 v 很小时，上式可写为 N
v vf v dv
0

v v 2 f v dv
2 0
9
v vf v dv
0


0
m 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v 3dv
8kT 8RT RT v 1.60 m M M
3.方均根速率 v 2 ●分子速率平方的平均值的平方根
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv

v
N
0
vdN N

0
vNf v dv N

vf v dv
0

●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
19
玻尔兹曼分布律：
m k P kT dN n0 dv x dv y dvz dxdydz e 2 kT
32
n0 P 0 处的分子数密度。
1 2 2 k m( v x v2 v y z ) 为分子动能 2
2.分子在外力场中按空间位置的分布 ☆即只考虑全体分子按空间位置的分布规律，而不管 这些分子速度如何。 ◆在玻尔兹曼分布中对所有速度积分。(三个速度分 量积分范围均为 - ~ + )
v
2

0
3kT v f v dv m
2
vrms
3kT 3RT RT v 1.73 m M M
2
10
三种统计速率大小的比较
RT vP 1.41 M RT v 1.60 M RT v 1.73 M
2
f (v )
o
vP v
2
v
2
v
vP v v
11
例：求0C时氮分子中速率在500m/s到501m/s之间的分子 数占总分子数的比率。 解：根据麦克斯韦速率分布律，速率分布在v附近dv 速率 间隔内的分子数为
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0

N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件


0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
2 kT
dv x dv y dv z
上式比麦克斯韦速率分布律更具普遍意义。 ★速率分布函数可由上式推导出来。
17
速率分布律和速度分 布律中dN个分子分布 范围的区别。 速率分布： 整个球壳内。 速度分布： 小立方体内。
vz
dv z dvx
dv y
v
v dv
vx
18
四、玻尔兹曼分布律
☆麦克斯韦速率分布律的适用范围：无外力场作用， 分子的空间密度均匀。 ☆当气体处于外场中时，分子在空间的分布不均匀. 分子按速度和空间的分布由玻尔兹曼分布律确定。
v 1.24 vP v 1
N 4 1 2 (1.24)2 3 (1.24) e 1.47 10 N 402
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例：由N个分子组成的气体，其分子按速率的分布规律 如图(a为待定常数)。求：1.速率分布函数；2.分子的平 均速率；3.速率分布于1.5 v0 – 2.5v0 之间的分子数。 解：1.由曲线可得： f (v )
2
⒉ 麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦用概率论导出，当忽略气体分子间的相 互作用时，在平衡态下，气体分子的速率分布函 数为： 2 3
m f v 4 e 2 kT
2

mv 2 kT
v
2
●当 T、m 一定，f (v) 就是只速率 v 的函数。
f (v )
o
v
3
3.速率分布曲线的意义