大学物理麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布
M1W1 M 2W2 M nWn
真实值
N足够大：平均值
----统计平均值 涨落：统计规律总伴随有涨落 N越大，涨落越小；N越小，涨落越大。 热学系统，N足够大，涨落很小。
二、麦克斯韦速率分布律
1、速率分布函数
按统计假设，各种速率下的分子都存在， 用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比， 表示分子按速率的分布规律。 N: 总分子数 dN: 速率区间 v v dv 内的分子数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 8.31 300 v 508m / s 3 29 10
2
3kT v m
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
【讨论题】： 1.如图所示，SA= SB，v0代表什么？
S A f (v ) dv
0
v0
f (v )
S B f ( v ) dv
总分子数的百分比; 也表示在速率 v 附近单位 速率间隔内分子出现的概率，即概率密度。
2) 速率分布曲线： 即 f(v)~v 曲线
dN f (v ) Ndv dN f (vdv
v
dN N
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
3) 在 f(v)~v 曲线下的面积为该速率区间 内分子出现的概率。
dN 表示速率区间 v v dv 内的分子 ： N 数占总分子数的百分比，也表示在速率 区间 v dv 内分子出现的概率。 v
大学物理04第四章
第四章 气体动理论一、基本要求1．理解平衡态的概念。
2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。
3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。
5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。
6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。
二、基本内容1. 平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。
2. 理想气体状态方程在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式pV vRT =或 nkT p =式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=⋅⋅，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=⨯⋅3. 理想气体压强的微观公式21233t p nm n ε==v4. 温度及其微观统计意义温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上32t kT ε=5. 能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2kT 。
以i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为2t i kT ε=6. 速率分布函数()dNf Nd =v v麦克斯韦速率分布函数232/22()4()2m kT m f e kTππ-=v v v7. 三种速率最概然速率p ==≈v 平均速率==≈v 方均根速率==≈8. 玻尔兹曼分布律平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。
重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：kT mgh e n n /0-=9. 范德瓦尔斯方程采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体RT b V V ap m m=-+))((2 10. 气体分子的平均自由程λ==11. 输运过程 内摩擦dS dz du df z 0)(η-=， 1133mn ηλρλ==v v 热传导dSdt dz dT dQ z 0)(κ-= 13v c κρλ=v 扩散dSdt dz d D dM z 0)(ρ-= 13D λ=v三、习题选解4-1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。
大学物理第十二章气体动理论第6节 麦克斯韦气体分子速率分布律
解
m(H 2 ) m(O2 ) v p ( H 2 ) v p (O 2 )
vp (H2 ) 2 000m.s-1
2kT vp m
o
2 000
v/ ms
1
vp ( H 2 )
m( O 2 ) 32 4 v p (O 2 ) m( H 2 ) 2
vp (O2 ) 500m.s
f ( v)
dS
dN f ( v)dv dS N
v
第十二章 气体动理论
o
v v dv
概率密度
3
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f (v)dv物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
第十二章 气体动理论
4
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
dN Nf ( v)dv 速率在 v v dv 内分子数： 速率位于 v1 v2区间的分子数： v2 N v N f (v)dv 1 速率位于 v1 v2 区间的分 f ( v)
-1
第十二章 气体动理论
17
f (v )
vp v v
2
第十二章 气体动理论
vp v 2 v
v
15
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 . 解 （ 1）
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
大学物理05_5麦克斯韦速率分布律
气体分子速率可以取从0到∞之间
的一切数值。速率很大和速率很
小的分子数所占的比率都很小，
f(0)=f(∞)=0 ， 而 具 有 中 等 速 率 的
分子数所占的比率却很大。
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例题5-5 从速率分布函数推算分子的三个统计速率
(1)算术平均速率
v
vf (v)dv
v4π(
m
)
3
2
O
v exp
mv2 2kT
共同作用的结果。
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麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 19世纪伟大的英国 电磁规律的一个里程碑。 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 基人，气体动理论 按速率（速度）分布的统计规律。 的创始人之一。
当 v 0时，v dv ；N dN； 2. 速率分布函数 f(v) 的定义 f(v)
f (v) lim N dN v0 vN Ndv
注意：
在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 O
v v+Δv
v
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3. 速率分布函数 f(v) 的意义：概率密度函数
※分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比(比率)；
m不变，T vp
2kT m
曲线的峰值右移，由于曲线下 面积为1不变，所以峰值降低。O
T2 T1
大学物理,气体动理论14-06 麦克斯韦气体分子速率分布律
i ~ i 1
N i
N i N
5
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克 斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻 耳兹曼由经典统计力学导出。 由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布 的实验，直到20世纪二十年代才实现。 1920年斯特 恩首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物 理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年 密勒和库士测出钍蒸汽分子的速率分布。 斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分 布律的实验。实验证实了麦克斯韦的分子按速率分 布的统计规律。
14.6 麦克斯韦速率分布律
一 测定气体分子速率分布的实验
第14章 气体动理论
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝
v l
显 示 屏
8
l
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
9
14.6 麦克斯韦速率分布律
测量原理
第14章 气体动理论
(1) 能通过细槽到达检测 器的分子所满足的条件 L v L v (2) 通过改变角速度ω的 大小，选择速率 v
28
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
求：速率在 v1 ~ v2 之间的分子的平均速率。
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比 相应速率下的分子数。
10
14.6 麦克斯韦速率分布律
速率区间 (m/s) 实验数据 氧分子在 273K时的 速率分布
大学物理 专题五气体分子运动论
如： （V、P、T）、热容量C 等
质量M 体积V 内能E
压强p 温度T 分子数密度n
2、微观量（Microscopic quantity）
分子的大小d
表征单个分子特征的物理量 位置 r
微观量与宏观量有一定的内在联系
速度 v 质量 m
宏观量是微观量的统计平均值
能量 E
5、试指出：对于理想气体，下列各式所表示的物理意义
v
v dv
比较：
2kT 最概然速率 v p m
平均速率
v 8kT
m
f (v)
方均根速率 v 2 3kT m
o
vp v v2
v
v
0 f (v)dv
4、什么是宏观量？什么是微观量？什么是微观量的统计平均值？ 指出下列各物理量中哪些是宏观量？哪些是微观量？哪些是微 观量的统计平均值？
(3), v2 f (v)dv 0
f (v)dv 平衡态下，气体分子速率在v —v+dv区间内的分子数
占总分子数的百分比。
v2 f (v)dv 平衡态下，气体分子速率在v1 —v2区间内的分子数
v1
占总分子数的百分比。
(1), Nf (v)dv:平衡态下，气体分子速率在v —v+dv区间内的分子数。
5、气体分子热运动的基本特征
1). 麦克斯韦速率分布律
分布函数： f (v) 4 v2
m
32
e mv 2 2kT
2 kT
概率:
dN f (v)dv N
掌握速率分布函数及其各种形式（解析式、图形）的物理意义
2).三种统计速率：
最概然速率：v p
2kT m
2RT M
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
v vf v dv
0
v v 2 f v dv
2 0
9
v vf v dv
0
0
m 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v 3dv
8kT 8RT RT v 1.60 m M M
3.方均根速率 v 2 ●分子速率平方的平均值的平方根
T2 T1
v
6
6.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
f (v )
2 a 5v0
a 0
(v0 v 3v0 ) (v 3v0 )
a
o
2. v vf (v )dv
0
v0
3 v0
v
v0
o
3v0 2 2v 26 v ( 2 )dv vdv v0 v0 5v 5v0 15 0
3. N
2.5v0
1.5v0
Nf (v )dv
o
vP
v
5
5.曲线随温度的变化关系
m f v 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v
2
☆温度升高，曲线右移。即 T 增大时速率大的分子 增多，速率小的分子减少。 ☆因曲线下的总面积恒等于1，故此时曲线变得较为 平坦。
大学物理(热学知识点总结)
2 kT
n n0e
m0 gz kT
p p0e
V2
m0 gz kT
dA pdV
A pdV
V1
dQ dE dA
Q E A
E CV ,m (T2 T1 )
7、 循环过程 卡诺循环 （1）热机效率与制冷系数
E 0
Q A E
A Q吸 Q放
1 1 b( P1 ,V1 ) c( P1 ,4V1 ) 4 4 P 1 4
P P1
a
c
b
Q A (3 / 4 ln4) p1V1
[2]. (8-4)0.02kg的氦气（视为理想气体），温度由170C升为270C， 若在升温过程中，（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3） 不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、 外界对气体所作的功。
2
H2
(v p )O （ / vp) C）图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；
2
H2
/ v p ) H2 4 D）图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；(v p )O2 （
f (v )
a b
vp
v
2 RT M mol
O
2、两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但 体积不同，则单位体积内的气体分子数 n ，单位体积内气 体分子的总平动动能（EK / V ），单位体积内的气体质量 ρ ，分别有如下的关系：
大学物理 （热学） 知识点总结
一、基本物理概念：
1、理想气体的压强
1 2 2 p nm0 v nw 3 3
2、理想气体的温度和平均平动动能
3 w kT 2
2w T 3k
大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]
![大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/39f1ea5a77232f60ddcca1a6.png)
2 v1
3 2
m2
m2
v
2 2
1 m1 4
v p1 v p 2 2000 m / sv
同理 : v p1 500m / s
20
【例2】 有N个粒子，其速率分布函数为
c(常数） dN f (v ) Ndv 0
12
3）速率在v1 ~ v2区间内的分子数占总分子数的百分比 ：（v1→v2 区间内曲线下的面积） v2 N f (v ) d v f (v ) v1 N
N N
S
o
4）总面积：
归一化条件：
麦克斯韦速率分布曲线
v1 v 2
v
N
0
d Nv N
0
f v d v 1
13
讨 论
9
【科学家葛正权简介】
１９２１年毕业于南京高 等师范工科， １９２９ 年自费赴美留学， 在南加洲大学攻读物理， 1 9 3 0年获硕士学位后， 入旧金山柏克莱加洲大学 研究院攻读博士学位，研 究课题是： 用分子束方法证明 麦克斯韦－－波尔兹曼 分子速率分布定律实验”
10
。
１９３３年完成重要学术论文
Nf (v ) d v
—不对！ 上式分母上的N应为
v0 2 0
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v
a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 ( ) 3 2
3 v0 v 8
23
【例4】. 若某种气体在温度T1=300K时的方均根速 率等于温度为T2时的平均速率，求T2=？ 解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和 平均速率分别为
麦克斯韦气体速率分布律
v Z
二、平均自由程和平均碰撞次数的计算
1、平均碰撞次数 假定 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
只有某一个分子A以平均速率 其余分子都静止。
d d d
v
运动，
v
A
v
v
A
v
d
d d 球心在圆柱 体内的分子
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将 与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 2 相应圆柱体体积为 d v 圆柱体内 2 2 d v n Z d v n 分子数
vf (v )dv
8kT 8 RT RT v 1.60 m M M
3、方均根速率 (1)定义： 大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做 方均根速率。 (2)计算：
v2
2 v dN
N
2
2 v Nf (v )dv
N
v 2 f (v )dv
vrms
3kT 3 RT RT v 1.73 m M M
麦克斯韦 速率分布函数
3 2
mv 2
v
2
m——分子的质量 T——热力学温度 k——玻耳兹曼常量
三、三种统计速率
1、最可几速率vP (1) 定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最可几 速率或最概然速率。 (2) 物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的
小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。
速率分布函数
(2) 物理意义：
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总
分子数的概率，或概率密度。
dN f (v )dv N v2 N ＝ f (v)dv N v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率 表示速率分布在v1→v2内的 分子数占总分子数的概率
麦克斯韦气体分子速率分布律
问题3：容器内N个分子的速率分布有什么规律？ 1
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但大 量分子从整体上会出现一些统计规律。
1859年，麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理 想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯 韦速度分布律，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克 斯韦速率分布律。
若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将
速率区间尽可能取小，当Δv→0时，即取dv为分子速
率区间，其相应分子数为dNv。
则任一速率区间（v→v＋dv）间内的分子出现的概率
为
dN v
N
这概率在各速率区间是不同的，它应是速率 v 的函数，
并且与区间的大小dv成正比
dNv f (v)dv N
其中 f(v) 称为分子的速率分布函数。
第七章 气体动理论
v
4 3/2
a3/2
v3eav2 dv
0
利用积分公式 x e dx 3 ax2 1
0
2a2
v
4
1/2
a3/2
1 2a2
2
a
8kT
m
由
k R NA
和 M NAm
得： v 8kT 8RT 1.59 RT －平均速率
m M
一、速率分布函数
按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一 速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按 速率的分布规律。
1.将速率从 0→∞ 分割成很多相等的速率区间。 2
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
一、速率分布函数
第七章 气体动理论
大学物理第十七单元麦克斯韦速率分布律自由程
第十七单元 麦克斯韦速率分布律 自由程[课本内容] 马文蔚，第四版，上册 [6]-[40] [典型例题]例17-1．已知麦克斯韦速率分布定律υυυπ∆⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=∆22232exp 24kT m kT m N N , 那么温度为T 时, v 在2v ±20m/s 的速率区间内氢、氧两种气体分子数占总分子数百分率之比： （A ）()2H N N ∆＞()2O N N ∆ （B ）()2H N N ∆=()2O N N ∆ ［ ］（C ）()2HN N ∆＜()2O N N ∆ （D ）由温度高低而定提示：222222223322321()1()14()H H H H O O O O N e N N e N μμμμμμ--∆=⋅⋅==∆例17-2．已知某质量为m=6.2×10-14g 的微粒悬浮在27℃的液体中，其分子速率服从麦克斯韦速率分布，方均根速率为 1.4cm/s,求阿伏伽德罗常数（摩尔气体常数量R=8.31J/mol ·K ）。
提示：由mN RTRTv 0233==μ,求0N例17-3．容积恒定的容器内盛有一定量某种理想气体，其分子热运动的平均自由程为0λ，平均碰撞频率为0Z ，若气体的热力学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子平均自由程λ和平均碰撞频率Z 分别为： （A ）0λλ=，0Z Z = （B ）0λλ=，20Z Z =（C ）02λλ=，02Z Z = （D ）02λλ=，20Z Z = ［ ］提示：,212n d πλ=n 不变， ∴0λλ=。
T v n d Z ∝=22π, ∴ 20Z Z =练习十七一．选择题17-1．在标准状态下，任何理想气体在1 m 3中含有的分子数都等于 ［ ］ (A) 6.02×1023． (B)6.02×1021． (C) 2.69×1025． (D)2.69×1023．提示：232536.0210 2.691022.410N -⨯==⨯⨯所以选C17-2．一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m ．根据理想气体分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量的平均值 ［ ］(A) m kT π8=x v ． (B) m kTπ831=x v ． (C) m kTπ38=x v ． (D) =x v 0．提示:选D17-3．在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的2倍，则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍． (B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍． (C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍．(D) 温度和压强都为原来的4倍．［ ］提示：v T ∝'2v v = '4T T ∴=P nkT =又 n 不变 '4P P ∴=所以选D17-4．麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ．B 两部分面积相等，则该图表示(A) 0v 为最概然速率． (B) 0v 为平均速率．(C) 0v 为方均根速率．(D) 速率大于和小于0v 的分子数各占一半． ［ ］ 提示：选D17-5．若氧分子[O 2]气体离解为氧原子[O]气后，其热力学温度提高一倍，则氧原子的平均速率是氧分子的平均速率的 ［ ］ (A) 1 /2倍． (B)2倍． (C) 2倍． (D) 4倍．提示：Tv m ∝C17-6．若f (v )为气体分子速率分布函数，N 为分子总数，m 为分子质量，则⎰21d )(212v v v v v Nf m 的物理意义是 (A) 速率为2v 的各分子的总平动动能与速率为1v 的各分子的总平动动能之差．(B) 速率为2v 的各分子的总平动动能与速率为1v 的各分子的总平动动能之和． (C) 速率处在速率间隔1v ~2v 之内的分子的平均平动动能．(D) 速率处在速率间隔1v ~2v 之内的分子平动动能之和． ［ ］ 提示：选D17-7．设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率在v 1─v 2区间内的分子的平均速率为(A) ()⎰21d v v v v v f ． (B) ()⎰21d v v vv v v f ．(C)()⎰21d v v vv v f /()⎰21d v v vv f ． (D)()⎰21d v v vv f /()⎰∞0d v v f ． ［ ］提示：22112211()()()v v v v v v v v vdv vf v dv Nf v dv f v dv=⎰⎰⎰⎰所以选C17-8．在一个体积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为T 0时，气体分子的 f (v )A BO v v平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ．当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为： ［ ］(A) v ＝40v ，Z ＝40Z ，λ＝40λ． (B) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． (C) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝40λ． (D) v ＝40v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ．提示：v T ∝22Z d nv π=22d n λπ=（n 不变）∴选B17-9．气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是： ［ ］(A) Z 和λ都增大一倍． (B) Z 和λ都减为原来的一半． (C) Z 增大一倍而λ减为原来的一半． (D) Z 减为原来的一半而λ增大一倍．提示：22d P λπ=，T 不变，'2P P =，'2λλ=，22Z d nv π=，v 不变，P 增大一倍，n 减小一倍 选C17-10．在恒定的压强下，气体分子的平均碰撞频率Z 与气体的热力学温度T 的关系为(A) Z 与T 无关． (B) Z 与T 成正比．(C) Z 与T 成反比． (D) Z 与T 成正比． [ ]提示：2222P Z d vn d v kT ππ==⋅，v T ∝，Z T ∴∝二．选择题17-11．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为f (v )．分子质量为m ．最概然速率为v p ，试说明下列各式的物理意义：(1) ()⎰∞pf v v v d 表示_____________________________________________；(2)()v v v d 212f m ⎰∞表示__________________________________________．提示：（1）分子速率p v -∞分子数占总分子数的百分比（2）分子平动动能的平均值17-12．用总分子数N ．气体分子速率v 和速率分布函数f (v ) 表示下列各量： (1) 速率大于v 0的分子数＝____________________； (2) 速率大于v 0的那些分子的平均速率＝_________________；(3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率＝_____________． 提示：（1）0()v Nf v dv ∞⎰（2）()()v v vf v dv f v dv∞∞⎰⎰ （3）()v f v dv∞⎰17-13．图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温度下的分子速率的分布情况．由图可知氦气分子的最概然速率为___________，氢气分子的最概然速率为__________．O提示：(1)1000ms (2) 2ms17-14．设容器内盛有质量为M 1和质量为M 2的两种不同单原子分子理想气体，并处于平衡态，其内能均为E ．则此两种气体分子的平均速率之比为 ．提示：1221::v v M M=17-15．氮气在标准状态下的分子平均碰撞频率为5.42×108 s -1，分子平均自由程为6×10-6 cm ，若温度不变，气压降为 0.1 atm ，则分子的平均碰撞频率变为_______________；平均自由程变为_______________．22:2d ppd v p T cm kTλλππ=∝⨯∝⨯7-1-51提示由T 不变，知即得5.4210s ；p 由Z=2且不变，即得Z=61017-16．一定质量的理想气体，先经过等体过程使其热力学温度升高一倍，再经过等温过程使其体积膨胀为原来的两倍，则分子的平均自由程变为原来的_______倍．22c d p λλπ''=⇒''''pv提示：由，由等体过程：T=T P =2P T1由等温过程：V=2V ；P =P =P2KT由2倍，增大倍2三．计算题：17-17．一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时压强为p 1，温度为T 1；使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为p 2，试求此时瓶内氧气的温度T 2．及使用前后分子热运动平均速率之比21/v v ．12111112222222RT RT T P v T P T P v T P μμ⎛⎫⎪⎝⎭===== 12M M 2提示：使用前：p ①使用后：p ②由①②知所以17-18．一密封房间的体积为5×3×3m 3，室温为20℃，室内空气分子热运动的平均平动动能的总和是多少？如果气体的温度升高1.0K ，而体积不变，则气体的内能变化多少？气体分子的方均根速率增加多少？（已知空气的密度3/29.1m kg =ρ，摩尔质量mol kg /10293-⨯=μ, 且空气分子可认为是刚性双原子分子。
大学物理学11.6 麦克斯韦分子速率分布律(2)-三种统计速率
o
v
v 1 .60 kT 1 .60 RT
m
M
3）方均根速率 v 2
f (v)
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v2 3kT
m
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
大学物理
第11章 气体动理论
§11.3 麦克斯韦速率分布律(2)
三种统计速率
主讲教师：郭进教授
三、 三种统计速率
1）最概然速率 vp
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
f (v)
f max
o vp v
M mNA ,R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
2RT M
vp
2kT m
v 8kT
πm
v2 3kT
m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
都与 成正比， 与 （或 ）成反比 f(v)
v
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
f(vp2) f(vp3)
Mmol2 Mmol1
vp
v
(2)最可几速率由
决定，即
平均速率 方均速率 方均根速率为
大学物理——气体动力学
热学相关概念
第五章 气体动力学
热运动：分子做不停的无规则运动
热现象：物质中大量分子的热运动的宏观表现 （如：热传导、扩散、液化、凝固、溶解、 汽化等都是热现象）。
微观量：描述单个分子运动的物理量。（如：分子质 量、速度、能量等）
均分定理 .
5.5 能量均分定理 理想气体的内能
第五章 气体动力学
根据能量均分定理,单个气体分子的平均总动能
i kT （i —单个分子的自由度数）
2
单原子分子
3 kT
2
刚性双原子分子 5 kT
2
刚性多原子分子 3kT
5.5 能量均分定理 理想气体的内能
三、理想气体的内能
第五章 气体动力学
5.1热运动的描述 理想气体的状态方程
三、理想气体状态方程 玻意耳-马略特定律 气体压强很低时
第五章 气体动力学
pV C
查理定律 气体压强不变时 V V0 (1 at)
V0 V (t 0℃）
盖·吕萨克定律 气体体积不变时
p p0 (1 t) p0 p(t 0℃）
阿伏伽德罗定律 在同温同压下，1mol任何气体体积相 在通常的压强与温度下,各种实际气体都服从理想气体 状态方程。
2、压强p (力学参量)
压强P是大量分子与容器壁相碰撞而产生的 等于容器壁上单位面积所受到的正压力P F S
单位： 1Pa=1N.m-2 标准大气压 1atm=760mm.Hg=1.013×105Pa
5.1热运动的描述 理想气体的状态方程
第五章 气体动力学
3.温度T 反映物体冷热程度的物理量，其高低反映内 部分子热运动的剧烈程度。(热力学参量)
麦克斯韦速率分布
m0
m0 v 2
)3 2 e v 2kT 2
2 kT
f(v) 说明：
(1)曲线下小矩形面积
f (v)dv dN N
v dv
说明
麦克斯韦速率分布
1、是一个统计规律，仅适用于由大量分子组成的气体
2、N 只表示在某一速率附近 v 速率间隔内的分子
数的统计平均值
3、v 宏观上要足够小，微观上足够大.
4、谈论速率恰好等于某一值的分子数多少，根本没有 意义.
5、对于混合气体没有统一的速率分布律，但麦克斯韦速 率分布律对处于平衡态下的混合气体的各组分分别适用.
（2）v1 v2曲线下面积 f(v)
v2 f (v)dv N
v1
N
麦克斯韦速率分布
（3）整个曲线下面积
f
(v)dv
1
0
结论：
v1
v2
v
归一化条件
在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数值 上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分率.
（4）很小很大速率分子少
f(v)
中等速率的分子数多
麦克斯韦速率分布
最概然速率 vP
v
vP
分子速率分布在vP附近单位速率区间的相对分子数 最多，或某一分子的速率在vP附近单位速率区间内的 概率最大.
说明下列各式的意义：
麦克斯韦速率分布
（1） f (v)dv
dN f (v)dv N
在v v+dv速率区间内分子数占总分子数的百分率.
（2） Nf (v)dv
dN Nf (v)dv
在v v+dv速率区间内的分子数 .
（3） v2 f (v)dv v1
N v2 f (v)dv
158-演示文稿-麦克斯韦速率分布律、三个统计速率
大学物理 - 气体分子运动论
24
24
分子数密度随高度的分布
n
n0e
mgz kT
问题：
n(v )
1 ）该分布规律特点？
1.0
0.8
答：与温度、海拔高 度和气体的种类有关
0.6 0.4 0.2
2 1
O 20 40 6080 z/km
2 ）若大气温度和重力加速度与高度无关在如图坐标
系中，氧气和氢气各对应哪条分布曲线？
3
麦克斯韦速率分布律
（ Maxwells law of distribution of speeds ）
1859 年麦克斯韦（ Maxwell ）导出了理想气体在 无外场的平衡态（ T ）下，分子速率分布函数：
f (v) m
T，m 一
定
0
大学物理 - 气体分子运动论
v 4
1 、麦克斯韦速率分布函数 (1859)
实验数据
速率区间 (m/s) 百分数
分 子
<100 100-200
1.4% 8.1%
速 200-300
率
分 300-400
16.5% 21.4%
布 400-500
实
验 500-600
20.6% 15.1%
数 600-700
9.2%
据
700-800
4.8%
800-900
2.0%
>900
0.9%
2) 、葛正权实验 （１８９６—１９８８） 葛正权，物理学家。在精确验证麦克斯韦速 率分布律方面取得国际公认的重大成就
课堂练习 #1a0801010d 图为某理想气体的速率分布曲线，则下面正确的说法
A. 速率为 v1 的分子数 比速率为 vp 的分子数少
麦克斯韦速率分布
目录摘要 (1)Abstract (1)1.引言 (1)2.麦克斯韦速率分布 (2)2.1麦克斯韦速率分布函数 (2)2.2三种速率 (3)2.3理想气体平均自由程 (4)3.麦克斯韦速度分布律 (5)3.1根据概率理论导出麦克斯韦速度分布律 (5)4.由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数 (8)5.结论 (10)参考文献 (10)附录 (12)麦克斯韦速率和速度分布的初步研究摘要：麦克斯韦速率和速度分布函数是气体动力学理论中的一个重点和难点。
本文首先介绍了麦克斯韦速率分布函数的意义及其应用，然后讨论了麦克斯韦速度分布函数的推导建立过程，并根据速度分布率研究了气体分子碰壁数。
关键字：麦克斯韦速度分布函数；麦克斯韦速率分布函数；最概然速率；平均速率；平均自由程；气体分子碰壁数。
Preliminary study of the distribution of Maxwell speed andspeedAbstract: Maxwell speed and velocity distribution function is a key and difficult point in the theory of gas dynamics. This paper firstly introduces the meaning and application of Maxwell speed distribution function, then discusses the derivational process of Maxwell velocity distribution function, and studies the collision frequency of gas molecules according to the velocity distribution rate.Keywords:Maxwell velocity distribution function, Maxwell speed distribution function, most probable speed, average speed, mean free path, collision frequency of gas molecules.1.引言1859年，J.C.麦克斯韦首先推导出气体分子速度的分布规律，之后，该规律又被L.玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。
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m
M mol
M mol
（3）方均根速率: v2
v2 3kT 3RT 1.73 RT
m
M mol
M mol
上页
下页
(4) 三种统计速率讨论
v p v v2
都与 T 成正比， 与 m（或 M ）成反比
一定温度时， f(v)
vp v v2
三个速率在不 同情况下使用
vp v v2
v
上页
下页
温度越高，速率大的分子数越多.
S P
GP
分子源 狭缝 圆筒
G 弯曲玻璃板,可沉积 射到上面的各种速率分子
圆筒不转，分子束的 分子都射在P处
圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置
上页
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四. 三种统计速率
（1）最概然速率v p
！ 速—率—为v vp 附p 的近分单子位数速最率多区？间的分
子数最多
f v
可用求极值的方法求得。
令 d f v 0 解出 v
dv
得
vp
22kkTTN0 mmN0
2RT
RT
vp 1.41
v
vp
m: 一个分子的质量
k=1.3810-23 [SI]
N0=6.0221023
R=8.31 [SI]
: 一摩尔分子的质量
上页
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（2）平均速率： v
v
Nivi
vf
v
dv
N
0
v 8kT 8RT 1.60 RT
RT 394 ms 1
2
v2 447 ms 1
v22 483 ms 1
上页
下页
1. 平衡态——麦克斯韦速率分布函数
f v 4
m
2 3
e
mv2 2kT
.v 2
2kT
2. 三种统计速率
RT
vp 1.41
v
8RT
M mol
v2
上页
3RT M mol
下页
f v 4
m
2 3
e
mv2 2kT
v
2
2kT
f v
T1< T2
T1
T2
对于给定气体f（v）只是T 的函数。 T，速率分布曲线如何变化？
温度升高，速率大的分子 数增 多，曲线峰右移，曲线下面积 v保持不变，所以峰值下降。
上页
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测定分子速率分布的实验装置
真空室 B
•••
A••• •••
s f v v N
f(v)
当△v→0时
N f (v) lim N dN v0 Nv Ndv
速率分布函数
f(vp)
2、不同速率区间的分子数占总数
的百分比不同, 概率不同
v p v v+dv
3、曲线下的总面积是一,
v
归一化条件
f
v
v
1
0
上页
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三. 麦克斯韦速率分布律
平衡态——麦克斯韦速率分布函数
f(v)
f(vp1)
T1
温度升高，分布曲线中的最可几 速率vp增大，但归一化条件要求曲 线下总面积不变，因此分布曲线 变平坦，高度降低。
f(vp2) f(vp3)
T2
T3 T1 T2 T3
vp
v
上页
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例1. 求：27oC 时氢分子、氧分子的最概然速率、平
均速率和方均根速率。
解 系统的热力学温度 T 273.15 27 300.15 K
例如气体分子按速率的分布
速率
v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv
…
分子数按速率
的分布
ΔN1
ΔN2
…
ΔNi
…
分子数比率 按速率的分布
ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
△N
f v dN
Ndv
当△v→0
△Ni
△vi
v
dv
上页
V(m/s) 下页
二. 速率分布函数
1、曲线下的小面积表示速率在v v v 区间的分子数占总数的百分比
氢分子的摩尔质量 1 2.02103 kg mol 1
v p1 1.41
RT 1.41
1
8.31 300.15 2.02 103
1567
ms 1
v1 1.6
RT 1778 ms 1
1
v12 1.73
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
RT 1922 ms 1
1
氧分子的摩尔质量 2 32103 kg mol 1
v p2 1.41