大学物理麦克斯韦速率分布律资料
06-3麦克斯韦速率分布律
由定义式 f ( v)
dN
可看出 f (v)的意义是：
dv v 表示速率在 附近
因为 所以
v 0
dN
0
N， 即
v 0
dN N
1
f (v ) d v 1
这称为速率分布函数 的归一化条件。
二 、麦克斯韦速率分布函数
1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 分子速率分布函数为： 无外场的平衡态（T）下，
数的比例为万分之2.58 。
五、三种统计平均值
最可几速率 v p
2kT m 2 RT RT 1.41 M mol M mol
8 RT RT 1.60 π M mol M mol
平均速率
8kT v πm
2
方均根速率
3kT v m
3RT RT 1.73 M mol M mol
另一种是用连续的分布函数来描述： 设：dN 为速率v v +dv 区间内的分子数，
N 为总分子数， 则： dN N d v， dN 即 dv N 由于dN / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与 总分子数之比，所以它应与v 的大小有关， 可以 dN dN 写成： f (v) 即 f ( v) d v ， N dv N
0
x (v ) Nf (v )dv N
0 x (v ) f (v )dv
例 T 300K时， v p 395m/s ， v 取 v 790m/s，v 10m/s，则 u 2， vp v 10 u v p 395 N 4 u2 2 e u u N π 4 22 2 10 4 e 2 2.58 10 395 π 即：速率为790 — 800m/s的分子数占总分子
大学物理第十二章气体动理论第6节 麦克斯韦气体分子速率分布律
解
m(H 2 ) m(O2 ) v p ( H 2 ) v p (O 2 )
vp (H2 ) 2 000m.s-1
2kT vp m
o
2 000
v/ ms
1
vp ( H 2 )
m( O 2 ) 32 4 v p (O 2 ) m( H 2 ) 2
vp (O2 ) 500m.s
f ( v)
dS
dN f ( v)dv dS N
v
第十二章 气体动理论
o
v v dv
概率密度
3
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f (v)dv物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
第十二章 气体动理论
4
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
dN Nf ( v)dv 速率在 v v dv 内分子数： 速率位于 v1 v2区间的分子数： v2 N v N f (v)dv 1 速率位于 v1 v2 区间的分 f ( v)
-1
第十二章 气体动理论
17
f (v )
vp v v
2
第十二章 气体动理论
vp v 2 v
v
15
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 . 解 （ 1）
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
大学物理,气体动理论14-06 麦克斯韦气体分子速率分布律
i ~ i 1
N i
N i N
5
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克 斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻 耳兹曼由经典统计力学导出。 由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布 的实验，直到20世纪二十年代才实现。 1920年斯特 恩首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物 理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年 密勒和库士测出钍蒸汽分子的速率分布。 斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分 布律的实验。实验证实了麦克斯韦的分子按速率分 布的统计规律。
14.6 麦克斯韦速率分布律
一 测定气体分子速率分布的实验
第14章 气体动理论
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝
v l
显 示 屏
8
l
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
9
14.6 麦克斯韦速率分布律
测量原理
第14章 气体动理论
(1) 能通过细槽到达检测 器的分子所满足的条件 L v L v (2) 通过改变角速度ω的 大小，选择速率 v
28
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
求：速率在 v1 ~ v2 之间的分子的平均速率。
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比 相应速率下的分子数。
10
14.6 麦克斯韦速率分布律
速率区间 (m/s) 实验数据 氧分子在 273K时的 速率分布
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
-麦克斯韦速率分布律
0
x x x
x
太原理工大学物理系
一、 速率分布函数
o
+
把速率分成很多相等的间隔
统计出每个间隔内的分子数N
N + 间隔内分子数与分子总数N之比 N
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N 1 N v
N 1 N v 只与速率v有关，只是v 的函数。
vp
取 v v 2 ，并注意到
v2
3kT m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
2kT m
3 2
v
2 p
太原理工大学物理系
f ( v2 )
概率之比为
4
3
1
3
e2
2 vp
f (vp )dv
f (vp )
2
e
1 2
1.10
f ( v2 )dv f ( v2 ) 3
太原理工大学物理系
四、分子速率的实验测定
速率分布函数 f(v)可写为
f (v) 4 (
m
)3
2
v2e
mv2 2kT
2 kT
4
1
3
2
v2 v3p
ev2
v
2 p
4
2
v v2
v
2 p
e 3
vp
太原理工大学物理系
f (v)
4
2
v ev2
v
2 p
v
3 p
在上式中取v=vp ,得
f (vp )
4 1 e1
mol用于讨论速率分布用于计算分子的平均平动动能三种速率的使用场合地球形成之初大气中应有大量的氢氦但很多分子和he原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率112kms故现今地球大气中已没有氢和氦了
04麦克斯韦速率分布律-PPT文档资料
9
讨论： 1）vP与温度T的关系
f (v )
T1
2kT vp m
T2
T v p
T 2 T 1
曲线的峰值右移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值降低。
o
v p1
v p2
v
f (v )
m2
2）vP与分子质量m的关系
m1
m m vp m 2 1
曲线的峰值左移,由 于曲线下面积为1不变， 所以峰值升高。
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
N v2 f (v) dv 在 v v2有限区间内的概率为 1 v 1 N v 2 v dN Nvf ( v ) dv 在 v v 区间内的总速率 1 2 v
v 1 v 1
v 2
v 2
1
4
N dN Nf ( v ) dv 在 v v2区间内的分子数为 1
1.将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。 例如速率间隔取10m/s , 整个速率分为0—10；10—20；…等区间。 在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
N/ N 在 v v v 区间内的概率为
2
在 v v v 区间内的 分子数为 N 2.总分子数为N，
0
vf(v)dv 平均速率： v vf(v)dv f(v)dv m e vdv 4 kT 2
0
8kT v m
0
3 /2
2 mv 2 kT 3
0
8 kT m
11
8 RT 8kT 上下同乘N 有： RT v v 1.59 A M mol M mol m
普通物理PPT课件4.3 麦克斯韦速率分布律
v2 区间的分子数N 占分子总数
v2 N ＝ f (v )dv v1 N
它对应于曲线下阴影部分的面积
0
f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
*由麦克斯韦速率分布函数表示一些平均值
v
v
2
vdN N
2
0
0
dN v N
vf (v )dv
0
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1）内 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1） 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 1042 0 0 1.2 10
速率在区间的分子数占分子总数的百分比为它对应于曲线下阴影部分的面积速率分布函数的归一化432最概然速率平均速率和方均根速率最概然速率定义速率分布曲线上速率分布函数f最大值对应的速率叫做最概然速率
4.3 麦克斯韦速率分布律
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线．
f (v )
dN f ( v )dv N
o
vp
v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
3.麦克斯韦速率分布曲线
面积：
f(v)
意义：分布在区间v~ v+v 内的分子数的百分率 面积：
大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]
![大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/39f1ea5a77232f60ddcca1a6.png)
2 v1
3 2
m2
m2
v
2 2
1 m1 4
v p1 v p 2 2000 m / sv
同理 : v p1 500m / s
20
【例2】 有N个粒子，其速率分布函数为
c(常数） dN f (v ) Ndv 0
12
3）速率在v1 ~ v2区间内的分子数占总分子数的百分比 ：（v1→v2 区间内曲线下的面积） v2 N f (v ) d v f (v ) v1 N
N N
S
o
4）总面积：
归一化条件：
麦克斯韦速率分布曲线
v1 v 2
v
N
0
d Nv N
0
f v d v 1
13
讨 论
9
【科学家葛正权简介】
１９２１年毕业于南京高 等师范工科， １９２９ 年自费赴美留学， 在南加洲大学攻读物理， 1 9 3 0年获硕士学位后， 入旧金山柏克莱加洲大学 研究院攻读博士学位，研 究课题是： 用分子束方法证明 麦克斯韦－－波尔兹曼 分子速率分布定律实验”
10
。
１９３３年完成重要学术论文
Nf (v ) d v
—不对！ 上式分母上的N应为
v0 2 0
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v
a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 ( ) 3 2
3 v0 v 8
23
【例4】. 若某种气体在温度T1=300K时的方均根速 率等于温度为T2时的平均速率，求T2=？ 解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和 平均速率分别为
麦克斯韦速率分布律
dN m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f ( v) 4 ( ) e v Ndv 2 π kT
23 ´ 当m 2 10 g , T 273k , V 800m / s
f (800) 10 什么含义
6
在800-800+dv速率区间，单位速 率区间分子数占总分子数之比
f (v ) d v
0 v0 2 av d v 0
0
1 3 av 0 3
3 a 3 v0
（2）设总分子数为N， 则
v
v 0
Nf (v ) d v N
2
v 0
f (v ) d v
v0 v 0
a 4 1 3 4 3 av d v v 0 ( 3 )v 0 v 0 4 v0 4 4
m 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
总人数1380 1.50-1.55m的人数130
30 25 20 15 10 5 0 25 26 26 26 27
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
50 40 30 20 10 0
N v d N v 0 N d Nv 0
i
N v 0
d Nv N
v 0
f (v ) d v
8kT 8RT 对麦氏速率分布经计算得： v πm π
v (v ) f (v ) d v
0
规律：任意v 的函数(v)对 全体分子的平均值都可以用 速率分布函数由上式求得：
大学物理05-5麦克斯韦速率分布律
抽气
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当铝钢圆柱体以给定角 速度 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：
L t v
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。
v L
这里的斜槽是一速率选择器。
而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。
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O
v
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。
将速率分成若干相等的区间，如
0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;
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设任一速率区间为： v ~ v v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 v N ——分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 vN 占总分子数的比率。
0
——归一化条件
O dv
v1 v2
v
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三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式
m 32 f (v) 4π( ) e 2πkT
f (v )
mv2 2 kT
麦克斯韦速率分布定律
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦气体分子速率分布律
速率区间 （m/s）
100以下 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 600～700 700～800 800～900
900以上
分子数出现的概率 ΔN/N
0.014 0.081 0.165 0.214 0.206 0.151 0.092 0.048 0.020 0.009
25
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于 电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥 大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著 名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室 的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。
(v)dv
N
v1
N
表示在速率v1～v2速率区间内， 分子出现的概率。
(4)
v2
Nf (v)dv N
表示在速率v1 ～ v2速率区间内， 分子出现的个数。
v1
20
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
麦克斯韦速率分布律的实验 验证
麦克斯韦在 1860 年 从理论上预言了理想气 体的速率分布律。60 年 后，也就是 1920 年斯特 恩通过实验验证了这一 规律，后来密勒和库将 实验进一步完善。
ΔN→0
v
N vdN
vf (v)dv
0N
0
14
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第七章 气体动理论
2.平均速率 v
v 0 vf (v)dv
代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：
v 4
m
3
/
2
大学物理第十七单元麦克斯韦速率分布律自由程
第十七单元 麦克斯韦速率分布律 自由程[课本内容] 马文蔚，第四版，上册 [6]-[40] [典型例题]例17-1．已知麦克斯韦速率分布定律υυυπ∆⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=∆22232exp 24kT m kT m N N , 那么温度为T 时, v 在2v ±20m/s 的速率区间内氢、氧两种气体分子数占总分子数百分率之比： （A ）()2H N N ∆＞()2O N N ∆ （B ）()2H N N ∆=()2O N N ∆ ［ ］（C ）()2HN N ∆＜()2O N N ∆ （D ）由温度高低而定提示：222222223322321()1()14()H H H H O O O O N e N N e N μμμμμμ--∆=⋅⋅==∆例17-2．已知某质量为m=6.2×10-14g 的微粒悬浮在27℃的液体中，其分子速率服从麦克斯韦速率分布，方均根速率为 1.4cm/s,求阿伏伽德罗常数（摩尔气体常数量R=8.31J/mol ·K ）。
提示：由mN RTRTv 0233==μ,求0N例17-3．容积恒定的容器内盛有一定量某种理想气体，其分子热运动的平均自由程为0λ，平均碰撞频率为0Z ，若气体的热力学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子平均自由程λ和平均碰撞频率Z 分别为： （A ）0λλ=，0Z Z = （B ）0λλ=，20Z Z =（C ）02λλ=，02Z Z = （D ）02λλ=，20Z Z = ［ ］提示：,212n d πλ=n 不变， ∴0λλ=。
T v n d Z ∝=22π, ∴ 20Z Z =练习十七一．选择题17-1．在标准状态下，任何理想气体在1 m 3中含有的分子数都等于 ［ ］ (A) 6.02×1023． (B)6.02×1021． (C) 2.69×1025． (D)2.69×1023．提示：232536.0210 2.691022.410N -⨯==⨯⨯所以选C17-2．一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m ．根据理想气体分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量的平均值 ［ ］(A) m kT π8=x v ． (B) m kTπ831=x v ． (C) m kTπ38=x v ． (D) =x v 0．提示:选D17-3．在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来的2倍，则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍． (B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍． (C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍．(D) 温度和压强都为原来的4倍．［ ］提示：v T ∝'2v v = '4T T ∴=P nkT =又 n 不变 '4P P ∴=所以选D17-4．麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ．B 两部分面积相等，则该图表示(A) 0v 为最概然速率． (B) 0v 为平均速率．(C) 0v 为方均根速率．(D) 速率大于和小于0v 的分子数各占一半． ［ ］ 提示：选D17-5．若氧分子[O 2]气体离解为氧原子[O]气后，其热力学温度提高一倍，则氧原子的平均速率是氧分子的平均速率的 ［ ］ (A) 1 /2倍． (B)2倍． (C) 2倍． (D) 4倍．提示：Tv m ∝C17-6．若f (v )为气体分子速率分布函数，N 为分子总数，m 为分子质量，则⎰21d )(212v v v v v Nf m 的物理意义是 (A) 速率为2v 的各分子的总平动动能与速率为1v 的各分子的总平动动能之差．(B) 速率为2v 的各分子的总平动动能与速率为1v 的各分子的总平动动能之和． (C) 速率处在速率间隔1v ~2v 之内的分子的平均平动动能．(D) 速率处在速率间隔1v ~2v 之内的分子平动动能之和． ［ ］ 提示：选D17-7．设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率在v 1─v 2区间内的分子的平均速率为(A) ()⎰21d v v v v v f ． (B) ()⎰21d v v vv v v f ．(C)()⎰21d v v vv v f /()⎰21d v v vv f ． (D)()⎰21d v v vv f /()⎰∞0d v v f ． ［ ］提示：22112211()()()v v v v v v v v vdv vf v dv Nf v dv f v dv=⎰⎰⎰⎰所以选C17-8．在一个体积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为T 0时，气体分子的 f (v )A BO v v平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ．当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为： ［ ］(A) v ＝40v ，Z ＝40Z ，λ＝40λ． (B) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． (C) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝40λ． (D) v ＝40v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ．提示：v T ∝22Z d nv π=22d n λπ=（n 不变）∴选B17-9．气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是： ［ ］(A) Z 和λ都增大一倍． (B) Z 和λ都减为原来的一半． (C) Z 增大一倍而λ减为原来的一半． (D) Z 减为原来的一半而λ增大一倍．提示：22d P λπ=，T 不变，'2P P =，'2λλ=，22Z d nv π=，v 不变，P 增大一倍，n 减小一倍 选C17-10．在恒定的压强下，气体分子的平均碰撞频率Z 与气体的热力学温度T 的关系为(A) Z 与T 无关． (B) Z 与T 成正比．(C) Z 与T 成反比． (D) Z 与T 成正比． [ ]提示：2222P Z d vn d v kT ππ==⋅，v T ∝，Z T ∴∝二．选择题17-11．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为f (v )．分子质量为m ．最概然速率为v p ，试说明下列各式的物理意义：(1) ()⎰∞pf v v v d 表示_____________________________________________；(2)()v v v d 212f m ⎰∞表示__________________________________________．提示：（1）分子速率p v -∞分子数占总分子数的百分比（2）分子平动动能的平均值17-12．用总分子数N ．气体分子速率v 和速率分布函数f (v ) 表示下列各量： (1) 速率大于v 0的分子数＝____________________； (2) 速率大于v 0的那些分子的平均速率＝_________________；(3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率＝_____________． 提示：（1）0()v Nf v dv ∞⎰（2）()()v v vf v dv f v dv∞∞⎰⎰ （3）()v f v dv∞⎰17-13．图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温度下的分子速率的分布情况．由图可知氦气分子的最概然速率为___________，氢气分子的最概然速率为__________．O提示：(1)1000ms (2) 2ms17-14．设容器内盛有质量为M 1和质量为M 2的两种不同单原子分子理想气体，并处于平衡态，其内能均为E ．则此两种气体分子的平均速率之比为 ．提示：1221::v v M M=17-15．氮气在标准状态下的分子平均碰撞频率为5.42×108 s -1，分子平均自由程为6×10-6 cm ，若温度不变，气压降为 0.1 atm ，则分子的平均碰撞频率变为_______________；平均自由程变为_______________．22:2d ppd v p T cm kTλλππ=∝⨯∝⨯7-1-51提示由T 不变，知即得5.4210s ；p 由Z=2且不变，即得Z=61017-16．一定质量的理想气体，先经过等体过程使其热力学温度升高一倍，再经过等温过程使其体积膨胀为原来的两倍，则分子的平均自由程变为原来的_______倍．22c d p λλπ''=⇒''''pv提示：由，由等体过程：T=T P =2P T1由等温过程：V=2V ；P =P =P2KT由2倍，增大倍2三．计算题：17-17．一氧气瓶的容积为V ，充了气未使用时压强为p 1，温度为T 1；使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为p 2，试求此时瓶内氧气的温度T 2．及使用前后分子热运动平均速率之比21/v v ．12111112222222RT RT T P v T P T P v T P μμ⎛⎫⎪⎝⎭===== 12M M 2提示：使用前：p ①使用后：p ②由①②知所以17-18．一密封房间的体积为5×3×3m 3，室温为20℃，室内空气分子热运动的平均平动动能的总和是多少？如果气体的温度升高1.0K ，而体积不变，则气体的内能变化多少？气体分子的方均根速率增加多少？（已知空气的密度3/29.1m kg =ρ，摩尔质量mol kg /10293-⨯=μ, 且空气分子可认为是刚性双原子分子。
麦克斯韦气体速率分布律
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前
进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分
子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。
一、平均自由程 和平均碰撞次数的定义
1、平均自由程 分子在连续两次碰撞之间
所经过的路程的平均值叫做平均自由程。(演示）
2、平均碰撞频率 Z 在单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次 数，叫做分子的平均碰撞次数或平均碰撞频率。 3、二者关系
D l R 2
2、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
二、麦克斯韦气体分子速率分布律
4-5 麦克斯韦气体速率分布律
4-6
4-7
玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式(自学)
分子平均碰撞次数和平均自由程
4－5 麦克斯韦气体速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。 气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克
间v1 ~ v2 内的分子数 占总分子数的比率。
—— 分布在有限速率区
5. Nf (v )dv
v1
v2
N ( v2 )
N ( v1 )
dN
间 v1 ~ v2 内的分子数。
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区
6.
0
f (v )dv 1
间内的分子数占总分子数的 比率。（ 归一化条件）
—— v2 的平均值。
大学物理学11.6 麦克斯韦分子速率分布律(2)-三种统计速率
o
v
v 1 .60 kT 1 .60 RT
m
M
3）方均根速率 v 2
f (v)
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v2 3kT
m
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
大学物理
第11章 气体动理论
§11.3 麦克斯韦速率分布律(2)
三种统计速率
主讲教师：郭进教授
三、 三种统计速率
1）最概然速率 vp
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
f (v)
f max
o vp v
M mNA ,R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
2RT M
vp
2kT m
v 8kT
πm
v2 3kT
m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
都与 成正比， 与 （或 ）成反比 f(v)
v
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
f(vp2) f(vp3)
Mmol2 Mmol1
vp
v
(2)最可几速率由
决定，即
平均速率 方均速率 方均根速率为
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f ( v)
注意： 在平衡态下，f(v)仅是v的函数。 O
N dN f (v) lim v 0 vN N dv
v v+Δv
v
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3. 速率分布函数 f(v) 的意义：概率密度函数 ※分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比(比率)； ※对单个分子来说，它表示分子速率落在该单位速 率间隔内的概率。 4. 速率分布曲线 在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比(概率)为 f ( v ) dN dN f (v)dv 面积 N N N 面积 v N 2 N 在v1-v2区间 f (v)dv v1 N 在0-区间有 f (v)dv 1
0
——归一化条件
O dv
v1 v2
v
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三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式
m 32 f (v) 4π( ) e 2πkT
f (v )
mv2 2 kT
v
2
麦克斯韦速 率分布函数
麦克斯韦速率分布曲线 它是二次函数 v2 与指数函数 mv 2 exp 共同作用的结果。 2kT
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例题5-5 从速率分布函数推算分子的三个统计速率 (1)算术平均速率 2
v vf (v)dv 0
0
m 32 v 4 π( ) e 2πkT
mv 2 kT
v dv
2
8kT πm
(2)方均根速率
2 2
RT 8 RT 1.60 M mol πM mol
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分子速率分布实验曲线（柱状图）如下所示：
相 对 分 子 数
O
分子速率分布实验曲线
v
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二、速率分布函数
1.研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比 速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间， 全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 分上页 下页 返回 退出
当铝钢圆柱体以给定角 速度 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：
L t v
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。
v L
这里的斜槽是一速率选择器。
而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 基人，气体动理论 按速率（速度）分布的统计规律。 的创始人之一。
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麦克斯韦速率分布函数（概率密度）
m mv2 / 2 kT 2 f (v ) 4 π v e 2πkT
O
vpv v 2
v
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三个速率都与 T 成正比，与 m或 M 成反比， vp v vrms，在室温下它们的数量级一般在几百米 每秒至几千米每秒。
三种统计速率有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计 算分子碰撞频率时，要用到平均速率；在计算分子 的平均平动动能时，则要用到方均根速率。
3 2
复杂的系数 是因归一化 的需要！
式中 T 是气体的热力学温度， m是每个分子的质量， k 是 玻耳兹曼常量。 特点：曲线从坐标原点出发，经 过一极大值后，随着速率的增大 而逐渐趋近于横坐标轴。这说明 气体分子速率可以取从 0到∞之间 的一切数值。速率很大和速率很 小的分子数所占的比率都很小， f(0)=f(∞)=0 ，而具有中等速率的 分子数所占的比率却很大。
§5-5 麦克斯韦速率分布律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度 的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
一、分子速率分布的实验测定 密勒和库士实验（1955年）
铊蒸气源
108 mmHg
检测器
O 抽气
B
L
C
D
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形细槽 的铝钢圆柱体。
m 2 m 2 v v df m 32 m 2 4 π( ) [2ve 2 kT v ve 2 kT ]v vp 0 dv 2πkT kT
2 RT RT 2kT 1.41 vp M mol M mol m
(4)三种速率的关系
f (v )
vp v v 2
vp : v : v 2 1.41:1.60 :1.73
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O
v
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。
将速率分成若干相等的区间，如
0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;
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设任一速率区间为： v ~ v v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 v N ——分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 vN 占总分子数的比率。
v v f (v)dv
0
0
m 32 v 4 π( ) e 2πkT
2
mv 2 2 kT
v dv
2
RT 3RT 3kT 1.73 v M mol M mol m
2
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(3)最概然速率(the most probable speed)：vp 最概然速率是指在任一温度T 时，气体中分子最可能 具有的速率值。即在v =vp时，分布函数取极大值。