功动能定理以及保守力

a
Fb
Ft
W
b a
Ftdr
ab
m dv dr dt
v
v0
mvdv
W
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
W
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
Ek
1 mv 2 2
W E k E k 0 E k
掌握
合外力对质点所作的功，等于质点
动能的增量。
——质点动Βιβλιοθήκη Baidu定理
注意
（1）W为合外力的功。 （2）动能定理适用于惯性系。
3-4 功 动能定理
恒力的功：
W Fr cos
W
F
r
F
F
r
变力的功??
解决方法：
1.无限分割路径； 2.以直线段代替曲线段；
ds
dr
b
3.以恒力的功代替变力的功；
W
F
cos
r
F
r
4.将各段作功代数求和；
F1
F2
2
1
令 r 0 取极限，
a r
W
n
lim r 0 i 1
Fi r
cos i
W
s
曲线下面的面积等于变 力所做功的代数值.
o
A
ds
B
(3）几个力同时作用在物体上时，所作的功：
F F1 F2 F3
合力对质点所作的功，等于每个 分力所作的功的代数和。
(4) 一对作用力和反作用力大小相等方向相反，
但这对力作功的总和不一定为0。
掌握
例如：子弹穿过木块
过程子弹对木块的作
果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再
击第二次时（锤仍然以第一次同样的速度击
钉）,能击入多深？ 第一次
第二 次
解：W
1 2
m
v
2
0
x0
0
kxdx
x
x0
k
x
d
x
,
x0
1cm
1 2
k
x
2 0
1 2
k
x2
1 2
k
x
2 0
,
x
2 x0
x x x 0 ( 2 1) x0 0.41cm P96作业
b
a
Fdr
cos
b a
F
dr
一、功（work）
力的空间累积效应：
W
B
F
dr
B
F cos ds
A
A
B
单位：焦耳（J）
A
讨论
(1)功是标量， 但有正、负；
0o 90o , dW 0
90o 180 o , dW 0
90o
F
dr
dW
0
F cos
(2) 作功的图示；
B
S A Fds cos
3、重力作功
ya
b x
掌握
重力作功只与质点的起始和终止位 置有关，而与所经过的路径无关。
二、保守力与非保守力
（conservation force ＆ nonconservative force）
分析三种力 作功的特点
保守力：作功只与物体的始末位置有关；
而与路径无关的力。
反之称为非保守力。
掌握
反映保守力作功特点的数学表达式：
3-25
思考题：质量为m = 0.5kg 的质点,在 xoy 坐标平面内运动，其运动方程为 x = 5t2 , y=0.5 (SI),从 t =2 s 到 t = 4 s 这段
时间内，外力对质点作的功为
(A) 1.5 J (C) 4.5J
(B) 300J (D) -1.5J
[B]
§3-5 保守力与非保守力 势能
引力功
W
(G
m' m ) rB
(G
mr'Am)
弹力功
W
( 1 2
k x22
1 2
kx12 )
Ep mgy
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
k x2
1. 定义位置函数 Ep Ep (x, y, z) 为势能。
2. 保守力的功与势能的关系
W (Ep Ep0 ) EP
即：保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。
一、万有引力和弹性力作功的特点
1、万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
F
G
m'm r2
er
m移动dr时，F作元功为
Am
rA
r dr
r dr
m' rB
B
dW
F
dr
G
m'm r2
er
dr
m从A到B的过程中F作功：
W
F
dr
B
A
G
m'm r2
er
dr
er dr er drcos dr rA
（3）动能定理提供了一种计算功的简便方法；
三、解题思路与举例 W E k E k0 E k
1）确定研究对象； 2）受力分析，分析作功的力，不作功的
力不考虑； 3）分析始末运动状态，确定Ek、Ek0；
4）应用定理列方程求解。
例1.用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对
铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如
3. 势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
令 Ep0 0
Ep (x, y, z)
Ep0
0
F
dr
P
质点在某点的势能等于质点从该点沿任何路 径移到势能零点过程中保守力做的功。
讨论
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．
掌握
➢受力分析确定要计算作功的力；
➢建立坐标系；
➢确定元功 dW
F
dr
➢求解
W ab dW
例1、物体由静止出发作直线运动，质量为m，
受力 bt ，b 为常量，求在 T 秒内，此
力所作的功。
解：元功 根据牛顿定律和加速度的定义求
二、质点的动能定理
Fn
W
b a
F
dr
b
a
Fdr cos
F cos Ft
W rB G m'm dr
m'
rA
r2
Am
r dr
r dr
rB
B
掌握
万有引力作功只取决于质点的起始 和终了位置，与所经过的路径无关。
2、弹性力作功
F kxi dW kxdx
F F'
o x Px
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
掌握
在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧 起始和终了位置决定，而与形变过程无关。
F
d r
F
d r
ACB
ADB
A
C
F
dr
F
d r
F
d r
l
ACB
BDA
D
B
l
F
dr
0
掌握
A C
D
物体沿闭合路径运动一周时,
B
保守力对它所作的功等于零 .
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
三、势能 (potential energy) 熟练掌握
重力功
重力势能
W (mgy2 mgy1)
若以{木块、子弹}为一系统，则这 对作用力和反作用力是内力，所以说内 力做功不一定为0。
（5）作功与参照系有关。
例如：传送带将箱子从
低处运到高处，地面上
f静
的人看摩擦力作功了，
而站在传送带上的人看
摩擦力没有作功。
(6）功率 （power） ：
定义：功随时间的变化率。
单位： 焦耳/秒（瓦特）
(7)功的计算方法
用力为f，木块对子弹 的反作用力为f`，木
f'
f
块的位移为s，子弹的
位移为（s+l）。
s
l
f 对木块作功： fs 0
f ` 对子弹作功： f ' (s l) 0
总功为： fs f ' (s l) f ' l
子弹减少的能量转变成木块的动能和热能， 摩擦生热：为一对作用力和反作用力作功之和。