几何经典模型：截长补短辅助线模型

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截长补短辅助线模型

模型：截长补短

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB

＋CD，可以考虑截长补短法.

截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF

＝CD即可.

补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证

明AH＝EF即可.

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.

模型实例

例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .

证法一，截长法：

如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.

∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△ACD≌△AED ，

∴CD＝DE，∠C＝∠3 .

∵∠C＝2∠B，

∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，

∴∠4＝∠B ，

∴DE＝BE ，

∴CD＝BE.

∵AB＝AE＋BE，

∴AB＝AC＋CD .

证法二，补短法：

如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .

∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .

∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .

∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .

∵∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.

又∵AE＝AC＋CE，

∴∴AB＝AC＋CD .

例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .

证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE .

∵CD＝CD，DC⊥OA，

∴△ACD≌△ECD，

∴∠A＝∠CED .

∵∠A＝∠GBD ，

∴∠CED＝∠GBD ，

∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，

∴∠OED＝∠OBD .

∵OD平分∠AOB，

∴∠AOD＝∠BOD .

∵OD＝OD，

∴△OED≌△OBD ，

∴OB＝OE，

∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .

1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC 的度数 .

【答案】

证法一：补短

延长AB到点E，使BE＝BD .在△BDE中，

∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，

∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E .

又∵AC＝AB＋BD，

∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE .

∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600，

∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300 .

∵AD＝AD，

∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C .

∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C .

∵∠BAC＝600，

∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，

∴3

2

∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .

证法二：在AC上取一点F，使AF＝AB，连接DF. ∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠FAD .

∵AD＝AD，

∴△BAD≌△FAD，

∴∠B＝∠AFD，BD＝FD .

∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC

∴FD＝FC ，∴∠FDC＝∠C .

∵∠AFD＝∠FDC＋∠C，

∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C .

∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800，

∴3

2

∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .

2.如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB .求证：AC＝AE ＋CD .

【答案】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠OAC ＝∠OAB ＝

2BAC ，∠OCA ＝∠OCB ＝2

ACB

， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝

2BAC

ACB

＝600，

∴∠AOC ＝1800－∠AOE ＝1200 .

∵AE ＝AF ，∠EAO ＝∠FAO ，AO ＝AO ， ∴△AOE ≌△AOF （SAS ）， ∴∠AOF ＝∠AOE ＝600，

∴∠COF ＝∠AOC －∠AOF ＝600， ∴∠COF ＝∠COD .

∵CO ＝CO ，CE 平分∠ACB ， ∴△COD ≌△COF （ASA ）， ∴CD ＝CF .

∵AC ＝AF ＋CF ， ∴AC ＝AE ＋CD ，

3. 如图，∠ABC ＋∠BCD ＝1800，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠DCB .求证：AB ＋CD ＝BC .

【答案】证法一：截长

如图①，在BC 上取一点F ，使BF ＝AB ，连接EF . ∵∠1＝∠ABE ，BE ＝BE ，

∴△ABE ≌△FBE ，∴∠3＝∠4 . ∵∠ABC ＋∠BCD ＝1800，

BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠DCB ， ∴∠1＋∠2＝12∠ABC ＋1

2

∠DCB ＝

12

×1800＝900 ， ∴∠BEC ＝900 ，

∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .