第六章弯曲应力2
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5-4弯曲切应力 一、 矩形截面梁横截面上的切应力
1、假设：⑴ 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 ⑵ 2、公式推导 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力 大小相等）。
Fs y
x
dx
图a
z
h
y b
τ
h
M
Fs
Fs dFs
x
dx
图a
A
M dM
dx
z y b Fs
M N dA A Iz
4、结论：选36c型号
x
Iz 29.9cm * Sz
例：图示梁上作用有一移动载荷，已知其截面为矩形 h/b=3/2， []=10MPa ，[ ]=3MPa，求：b、h lx x 解：1、按正应力强度确定 F F x F=40kN
z
l
l
A
1m
B
M max max M max Wz M ( x) F (l x) x / l , M o
F A L/2 L/2 B F
Mmax=PL / 4
F/2
L/4
F/2
Mmax = FL / 8 L/4
二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。
合理截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面模量大的截面。
1）放置方式：
Wz左 h 1, Wz右 b
竖放比横放要好。
bh WZ 左 62 hb WZ 右 6
h( x ) 3F h1 2b[ ]
3、矩形截面切应力的分布：
Fs S z I zb
h A* b( y ) 2
Fs
max
h
y
B
* yc
z
Fs
b
h y 2 h b h Sz yc A 2 b( y ) ( y2 ) 2 2 2 4
矩
Fs h 2 ( y2 ) 2I z 4
* FS S z ( y) I zd
Fs
* Sz
——下侧部分截面对中性 轴 z 的静矩
max (0)=
Байду номын сангаасFs S z*,max I z b0
* Sz ,max
* Fs S z ,max I z b0
b0
：可以查型钢表
弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
Fl 6 Fl 2 bh bh2 6
A
MS z ydA Iz
( M dM ) S z N1 Iz
y y
z
τ
Fs S z dM S z 1 dx bIz bIz
y
Fs S z 由切应力互等定理可知 I zb
注意：Fs为横截面的剪力；Iz 为整个横截面对 z 轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽 * 度； S z 为所求点对应位置以外的面积对中性 轴 z 的静矩。
2d /3p
O C
y
4、薄壁截面梁翼缘上的切应力
d
h
(1) 平行于y 轴的切应力
b y
FS1 d A 0.9 FS
A1
可见翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一般 不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担
y
计算表明，工字形截面梁的腹板 承担的剪力
d
O
三、工字形薄壁梁 腹板上的切应力: 仍按矩形截面的公式计算。
b=140mm；h=210mm
§5-5梁的合理设计
M max max Wz
Fs maxS zmax max I zb
F/L
A B
一、合理安排梁的受力，减小弯矩。
Mmax = FL / 8
P/L
0.2L
Mmax=FL/ 40
0.2L
合理安排梁的受力，减小弯矩。
Z
三、设计等强度梁: -----各横截面具有同样强度的梁
M ( x) [ ] －弯曲等强条件 W ( x) bh2 ( x ) M ( x ) Fx W ( x ) 6 6Fx h( x ) b[ ]
3FS ( x ) [ ] －剪切等强条件 2bh( x )
FS ( x ) F
Fs1 ( x) Fx / l , 当 x l , Fs1max F ,
max
b 120(m m) F 1.5 h 180(m m) bh
10106 max 1 2 bh 6 b 140(m m) h 210(m m)
158.4 103 3 930 ( cm ) 170106
M max WZ
查表选36c型号 I z 17300 cm4 ; b 140mm ;
3、切应力校核
F s maxS z Fs max 2.7(MPa) [ ] max I zb b( I z / S z )
max
3 Fs 1.5 2 A
(1) 沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处 ( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
二、圆截面梁
d
max
最大切应力 max 在中性轴处
O k
k'
y O'
max
4 FS 3A
A
例、矩形截面
B
z
L 3m
(bh=0.12m0.18m） 木梁如图，[ ]=7 M Pa，
[ ]=0. 9 M Pa，试求最大
Fs q L/ 2
x
正应力和最大剪应力之
-q L/ 2 x
比,并校核梁的强度。 解：、画内力图求危险面内力
M
q L² / 8
qL 3600 3 Fs max 5400 ( N ) 2 2 qL2 3600 32 M max 4050 ( N .m) 8 8
x 0.5l 0.5(m m); 1 M max Fl 10(kNm ) 4
2、按切应力强度确定
Fs maxS z Fs max max max 1.5 Fs max I zb A Fs ( x) F (1 x / l ), 当 x 0, Fs max F ;
-q L/ 2 x
max 1.5
M
Fs max A
1.5 5400 0.12 0.18 2
q L² / 8
0.375MPa 0.9MPa [ ]
应力之比
max M max 2 A L 16.7 max Wz 3Fs h
60kN A 1m Fs
112.5kN 52.5kN
C D l
F
E
max
F
max
梁的切应力强度条件为
ql/2
max
* z max
ql/2
对等直梁，有
——材料在横力弯曲时的许用切应力
FS max S I zb
ql2/8
弯曲切应力的强度条件
max
F
s max z max
S I zb
1、校核强度
max
3F 2 bh
max 6Fl 2bh l 4 2 max bh 3F h
当 l >> h 时，max >> max
四、梁的切应力强度条件
一般 max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，
则 max 所在点处于纯剪切应力状态。
q E
m G mH l/2
求最大应力并校核强度
q 3.6kN / m
A
FS
Fs max 5400 (N )
B
z
L 3m
M max 4050 ( N.m)
q L/ 2
x
求最大应力并校核强度
max
M max 6 M max 6 4050 Wz bh2 0.12 0.182
6.25MPa [ ] 7 MPa
q= 30kN/m B 5m
例：图示梁为工字型截面，已知 [] = 170 MPa，[ ] = 100 MPa 试选择工字型梁的型号。
解：1、画Fs、M图
FAY = 112.5 kN ；FBY = 97.5 kN x
97.5kN
2、按正应力确定截面型号
max
WZ M max
M
112.5 158.4kNm
2、设计截面尺寸
3、确定外荷载。
需要校核切应力强度的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核切应力强度; 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的 相应比值时，要校核切应力强度;
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。
q 3.6kN / m
2
2）抗弯截面模量/截面面积
截面形状 圆
Wz A
形
矩
形
槽
钢
工字钢
0.125 d
0.167 h
(0.27 ~ 0.31)h (0.27 ~ 0.31)h
3）根据材料特性选择截面形状
对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截 面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而 梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：
1、假设：⑴ 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 ⑵ 2、公式推导 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力 大小相等）。
Fs y
x
dx
图a
z
h
y b
τ
h
M
Fs
Fs dFs
x
dx
图a
A
M dM
dx
z y b Fs
M N dA A Iz
4、结论：选36c型号
x
Iz 29.9cm * Sz
例：图示梁上作用有一移动载荷，已知其截面为矩形 h/b=3/2， []=10MPa ，[ ]=3MPa，求：b、h lx x 解：1、按正应力强度确定 F F x F=40kN
z
l
l
A
1m
B
M max max M max Wz M ( x) F (l x) x / l , M o
F A L/2 L/2 B F
Mmax=PL / 4
F/2
L/4
F/2
Mmax = FL / 8 L/4
二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。
合理截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面模量大的截面。
1）放置方式：
Wz左 h 1, Wz右 b
竖放比横放要好。
bh WZ 左 62 hb WZ 右 6
h( x ) 3F h1 2b[ ]
3、矩形截面切应力的分布：
Fs S z I zb
h A* b( y ) 2
Fs
max
h
y
B
* yc
z
Fs
b
h y 2 h b h Sz yc A 2 b( y ) ( y2 ) 2 2 2 4
矩
Fs h 2 ( y2 ) 2I z 4
* FS S z ( y) I zd
Fs
* Sz
——下侧部分截面对中性 轴 z 的静矩
max (0)=
Байду номын сангаасFs S z*,max I z b0
* Sz ,max
* Fs S z ,max I z b0
b0
：可以查型钢表
弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
Fl 6 Fl 2 bh bh2 6
A
MS z ydA Iz
( M dM ) S z N1 Iz
y y
z
τ
Fs S z dM S z 1 dx bIz bIz
y
Fs S z 由切应力互等定理可知 I zb
注意：Fs为横截面的剪力；Iz 为整个横截面对 z 轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽 * 度； S z 为所求点对应位置以外的面积对中性 轴 z 的静矩。
2d /3p
O C
y
4、薄壁截面梁翼缘上的切应力
d
h
(1) 平行于y 轴的切应力
b y
FS1 d A 0.9 FS
A1
可见翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一般 不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担
y
计算表明，工字形截面梁的腹板 承担的剪力
d
O
三、工字形薄壁梁 腹板上的切应力: 仍按矩形截面的公式计算。
b=140mm；h=210mm
§5-5梁的合理设计
M max max Wz
Fs maxS zmax max I zb
F/L
A B
一、合理安排梁的受力，减小弯矩。
Mmax = FL / 8
P/L
0.2L
Mmax=FL/ 40
0.2L
合理安排梁的受力，减小弯矩。
Z
三、设计等强度梁: -----各横截面具有同样强度的梁
M ( x) [ ] －弯曲等强条件 W ( x) bh2 ( x ) M ( x ) Fx W ( x ) 6 6Fx h( x ) b[ ]
3FS ( x ) [ ] －剪切等强条件 2bh( x )
FS ( x ) F
Fs1 ( x) Fx / l , 当 x l , Fs1max F ,
max
b 120(m m) F 1.5 h 180(m m) bh
10106 max 1 2 bh 6 b 140(m m) h 210(m m)
158.4 103 3 930 ( cm ) 170106
M max WZ
查表选36c型号 I z 17300 cm4 ; b 140mm ;
3、切应力校核
F s maxS z Fs max 2.7(MPa) [ ] max I zb b( I z / S z )
max
3 Fs 1.5 2 A
(1) 沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处 ( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
二、圆截面梁
d
max
最大切应力 max 在中性轴处
O k
k'
y O'
max
4 FS 3A
A
例、矩形截面
B
z
L 3m
(bh=0.12m0.18m） 木梁如图，[ ]=7 M Pa，
[ ]=0. 9 M Pa，试求最大
Fs q L/ 2
x
正应力和最大剪应力之
-q L/ 2 x
比,并校核梁的强度。 解：、画内力图求危险面内力
M
q L² / 8
qL 3600 3 Fs max 5400 ( N ) 2 2 qL2 3600 32 M max 4050 ( N .m) 8 8
x 0.5l 0.5(m m); 1 M max Fl 10(kNm ) 4
2、按切应力强度确定
Fs maxS z Fs max max max 1.5 Fs max I zb A Fs ( x) F (1 x / l ), 当 x 0, Fs max F ;
-q L/ 2 x
max 1.5
M
Fs max A
1.5 5400 0.12 0.18 2
q L² / 8
0.375MPa 0.9MPa [ ]
应力之比
max M max 2 A L 16.7 max Wz 3Fs h
60kN A 1m Fs
112.5kN 52.5kN
C D l
F
E
max
F
max
梁的切应力强度条件为
ql/2
max
* z max
ql/2
对等直梁，有
——材料在横力弯曲时的许用切应力
FS max S I zb
ql2/8
弯曲切应力的强度条件
max
F
s max z max
S I zb
1、校核强度
max
3F 2 bh
max 6Fl 2bh l 4 2 max bh 3F h
当 l >> h 时，max >> max
四、梁的切应力强度条件
一般 max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，
则 max 所在点处于纯剪切应力状态。
q E
m G mH l/2
求最大应力并校核强度
q 3.6kN / m
A
FS
Fs max 5400 (N )
B
z
L 3m
M max 4050 ( N.m)
q L/ 2
x
求最大应力并校核强度
max
M max 6 M max 6 4050 Wz bh2 0.12 0.182
6.25MPa [ ] 7 MPa
q= 30kN/m B 5m
例：图示梁为工字型截面，已知 [] = 170 MPa，[ ] = 100 MPa 试选择工字型梁的型号。
解：1、画Fs、M图
FAY = 112.5 kN ；FBY = 97.5 kN x
97.5kN
2、按正应力确定截面型号
max
WZ M max
M
112.5 158.4kNm
2、设计截面尺寸
3、确定外荷载。
需要校核切应力强度的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核切应力强度; 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的 相应比值时，要校核切应力强度;
各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。
q 3.6kN / m
2
2）抗弯截面模量/截面面积
截面形状 圆
Wz A
形
矩
形
槽
钢
工字钢
0.125 d
0.167 h
(0.27 ~ 0.31)h (0.27 ~ 0.31)h
3）根据材料特性选择截面形状
对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截 面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而 梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：