第六章弯曲应力
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材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
第六章__弯曲应力及剪力流的知识点
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第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
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27
第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
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第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
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第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
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第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
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引用记号
课件：第六章 弯曲应力
A y0dA 0
同理:
Iz Iz0 a2 A I y I y0 b2 A
Page
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
16
思考：下列计算是否正确？ 其中C是截面形心。
IZ2 IZ1 Aa2
•C
解：不正确。
z1
a
因为 Z1 不是形心轴
z2
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17
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
( y) 1 dF
b dx
l F dA
My
Iz
M Iz
y * dA
ydA Sz ( )
MSz ( )
Iz
Sz()－面积 对中性轴 z 的静矩
l
( y) Sz ( ) dM
bIz dx
( y) FSSz ( )
I zb Page
1
2
M
M dM
y
FS
FS
y* mn
1
2
x
dx
d
l 2 0
0.002
3
x l
4(
x l
)2
dx
l l 2
0.002 1
x l
dx
0.002
3l 2
( x )2 l
l
4l 3
(
x l
)3
2 0
0.002 x
x2 l
2l
l
2 103 m 3
2
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29
作业
6-1 6-3 6-8 A-8
Page
30
§6-3 对称弯曲切应力
解：1. 问题分析
已知=(D+d)/2, E, 截面尺寸，可应
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
第六章 弯曲剪应力
所 以 d m in 1 3 7m m
[例6-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图 所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两 个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许 用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
L
FQ
P
-PL
M
P
解：叠梁承载时，每
梁都有自己的中性层
§6-3 弯曲剪应力和强度校核
一.具有纵对称轴截面梁的剪应力
对于薄壁、高截面的梁须计算弯曲剪应力
My
Iz
q(x) x dx
P
bh
z
q(x)
M(x)
M (x)dM (x)
y
FQ
FQ dFQ
在hb的情况下
假设 1)的 ：方向F都 Q平与 行
2)沿宽度均布。
y
NI
N II
NI A*ⅠdA
M ydA M
(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平 面内时,梁产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面 内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将 会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大
，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。
二. 开口薄壁截面的弯曲中心
对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性 平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将 发生扭转变形。
b(x)
3P
4[]h
即： b(x)min4[3P]h
P/2
P
A
C
xL
P/2 同理：若b为常量，高度h=h(x)
B W(x)1bh2(x) Px
6
2[]
h(x) 3Px 半抛物线
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
第六章 - 弯曲应力
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
My
max
IZ
24.09MPa
max
My max IZ
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
第六章 弯曲应力材料力学安徽理工大学
方程：z y R
2 2 2
I z y 2 dA ( R 2 z 2 )dA
A A
y
dA 2 R 2 Z 2 dy
I z ( R 2 z 2 )2 R 2 y 2 dy
R R
dy y
0 Z
d
4
64
(然而： I p
A
dA ( y z )dA
A A A
设中性轴为z
y
z
dA
N x dA 0
A
E
A
y
dA 0
E
ydA 0
A
ydA S
A
z
0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y z dA 0 z E
y
zydA I yz 0
A
A
A
dA
对于短跨、截面高的梁 P 须计算弯曲剪应力
h
x
q( x)
dx
b
M ( x)
M ( x) d M ( x)
z
My Iz
y
在hb的情况下 假设：1) 的方向都与Q平行 2) 沿宽度均布。
y
N II
NI
M My dA N I dA Iz * Iz * A A
D
B
P 2
P 2
B
主梁AB A
La M 2 La 2
M max AB
P (l a ) 4
P
附梁CD
C a M
M max CD Pa 4
D
解：
2 2 2
I z y 2 dA ( R 2 z 2 )dA
A A
y
dA 2 R 2 Z 2 dy
I z ( R 2 z 2 )2 R 2 y 2 dy
R R
dy y
0 Z
d
4
64
(然而： I p
A
dA ( y z )dA
A A A
设中性轴为z
y
z
dA
N x dA 0
A
E
A
y
dA 0
E
ydA 0
A
ydA S
A
z
0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y z dA 0 z E
y
zydA I yz 0
A
A
A
dA
对于短跨、截面高的梁 P 须计算弯曲剪应力
h
x
q( x)
dx
b
M ( x)
M ( x) d M ( x)
z
My Iz
y
在hb的情况下 假设：1) 的方向都与Q平行 2) 沿宽度均布。
y
N II
NI
M My dA N I dA Iz * Iz * A A
D
B
P 2
P 2
B
主梁AB A
La M 2 La 2
M max AB
P (l a ) 4
P
附梁CD
C a M
M max CD Pa 4
D
解：
材力06弯曲应力详解
M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图
弯曲应力和强度.
第六章 弯曲应力和强度1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时，0≠=Q dxdM。
，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。
横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。
这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
（2）物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。
当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为y EE ρεσ==该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上ρE为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。
中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。
（3）静力关系截面上的最大正应力为zI My maxmax =σ 如引入符号m axy I W zz =则截面上最大弯曲正应力可以表达为zW M=max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。
它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]3长度。
矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：621223maxbh h bh y I W zz ===直径为d 的圆截面：3226433maxd d d y I W z z ∏=∏==至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如T 形截面。
这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：zt I My 1)(=σ 最大压应力为：ze I My 2)(=σ 2、横力弯曲时的正应力zI My=σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
第六章：梁弯曲时的内力和应力
FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
工程力学教学课件 第6章 弯曲应力 PPT资料共79页
第六章 弯曲应力
1
目录
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
2
目录
第六章 弯曲应力
§6–1 概述 §6–2平面图形的几何性质 §6–3 弯曲正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 梁的强度计算 §6–6 提高梁强度的主要措施 §6–7 弯曲中心 §6–8 组合梁
3
胶 缝 F Is1 zS bz *616 30 6 0 1 0 4 2 3 6 0 0 40 0 1 21.1M 1 P
36
§6–5 梁的强度计算
梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 对于等截面梁
⒈ 正应力强度条件：
max
Mmax Wz
上边缘。
26
30
P=50kN
P=20kN
A
DB
C
0.3m 0.3m 0.2m
5.5kN.m
⊕
C
z
y1 y2
38.2mm 71.8mm
110
○－
Iz 5.73 16 0mm 4
D截c ,面m : aM x Iz D y 2 5 4.7 kN5 .m.5 1 3 6 1 0 1 30 1 0 27.8 1 1 3 0 1 6 0 6.9 8 MP
⊕
○－
z
C
110
z1
4kN.m
解：画梁的弯矩图； 确定中性轴的位置。
y111 130 1 0 1 30 5 0 3 3 0 0 8 8 0 0 7 03.2 8 mm
y211 y0 17.8 1mm
1
目录
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
2
目录
第六章 弯曲应力
§6–1 概述 §6–2平面图形的几何性质 §6–3 弯曲正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 梁的强度计算 §6–6 提高梁强度的主要措施 §6–7 弯曲中心 §6–8 组合梁
3
胶 缝 F Is1 zS bz *616 30 6 0 1 0 4 2 3 6 0 0 40 0 1 21.1M 1 P
36
§6–5 梁的强度计算
梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 对于等截面梁
⒈ 正应力强度条件：
max
Mmax Wz
上边缘。
26
30
P=50kN
P=20kN
A
DB
C
0.3m 0.3m 0.2m
5.5kN.m
⊕
C
z
y1 y2
38.2mm 71.8mm
110
○－
Iz 5.73 16 0mm 4
D截c ,面m : aM x Iz D y 2 5 4.7 kN5 .m.5 1 3 6 1 0 1 30 1 0 27.8 1 1 3 0 1 6 0 6.9 8 MP
⊕
○－
z
C
110
z1
4kN.m
解：画梁的弯矩图； 确定中性轴的位置。
y111 130 1 0 1 30 5 0 3 3 0 0 8 8 0 0 7 03.2 8 mm
y211 y0 17.8 1mm
第六章弯曲应力2
40 180
120
C 形心 86 z 134
Fb/4
压应力
拉应力
20
y 20
拉应力 C截面 B截面
压应力
可见:压应力强度条件由B截面控制,拉应力 强度条件则B,C截面都要考虑.
Fb/2
40 180
拉应力
120
C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B :
20
压应力
y 20
σ t,max
M B y2 F / 2 × 2 × 10 3 mm (86 mm ) = = ≤ 30 MPa 3 4 Iz 5493 × ×10 mm
1
∑X =N
F s S z dM S z τ1 = = dx bI z bI z
由切应力互等定理可知
( M + dM ) S z N1 = Iz
τ1
y
τ
y x
F s S z τ = I zb
σ
σ1
图C
注意:Fs为横截面的剪力;Iz 为整个横截 面对 z 轴的惯性矩;b为所求点对应位置 * 截面的宽度;S z 为所求点对应位置以外 的面积对Z轴的静矩.
M C y1 F / 4 × 2 × 10 3 mm (134 mm ) ≤ 30 MPa = = 4 4 Iz 5493 × 10 mm F ≤ 24.6 kN
拉应力
(
)
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[ F ] = 19.2 kN
例:图示槽型截面梁,Iz=100*106mm4,y1=200mm,y2=50mm, 〔σt〕=45MPa,〔σ c 〕=120MPa.校核梁的强度.
b
3,矩形截面剪应力的分布:
h A* = b( y ) 2
120
C 形心 86 z 134
Fb/4
压应力
拉应力
20
y 20
拉应力 C截面 B截面
压应力
可见:压应力强度条件由B截面控制,拉应力 强度条件则B,C截面都要考虑.
Fb/2
40 180
拉应力
120
C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B :
20
压应力
y 20
σ t,max
M B y2 F / 2 × 2 × 10 3 mm (86 mm ) = = ≤ 30 MPa 3 4 Iz 5493 × ×10 mm
1
∑X =N
F s S z dM S z τ1 = = dx bI z bI z
由切应力互等定理可知
( M + dM ) S z N1 = Iz
τ1
y
τ
y x
F s S z τ = I zb
σ
σ1
图C
注意:Fs为横截面的剪力;Iz 为整个横截 面对 z 轴的惯性矩;b为所求点对应位置 * 截面的宽度;S z 为所求点对应位置以外 的面积对Z轴的静矩.
M C y1 F / 4 × 2 × 10 3 mm (134 mm ) ≤ 30 MPa = = 4 4 Iz 5493 × 10 mm F ≤ 24.6 kN
拉应力
(
)
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[ F ] = 19.2 kN
例:图示槽型截面梁,Iz=100*106mm4,y1=200mm,y2=50mm, 〔σt〕=45MPa,〔σ c 〕=120MPa.校核梁的强度.
b
3,矩形截面剪应力的分布:
h A* = b( y ) 2
材料力学教案 第6章 弯曲应力
第6章弯曲应力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导过程中所作的假设。
掌握中性层、中性轴等基本概念和含义。
弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
教学重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算；弯曲的强度计算；弯曲横截面上的剪应力。
教学难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和结果以及弯曲中心的概念。
教具：多媒体。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
教学内容：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施。
教学学时：6学时。
教学提纲：6.1 梁的纯弯曲1、几个基本概念（1）平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在对称平面内，才能发生平面弯曲。
若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。
什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。
这样的特定点称为弯曲中心。
关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图(a),(b),(c)所示。
②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图(d)、(e)所示。
③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图(e)、(f)所示。
④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。
这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。
材料力学第6章-弯曲应力概要
Iz
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'
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(A） (Ｂ) (C)
（D） (Ｅ) (F)
６.2.12图示正方形截面在xy平面内纯弯曲变形时，采用（a）、(b）两种放置方式,其最大正应力分别为 和 。合理的放置方式是（)；若使 ,则 =。
6.2.1３纯弯曲的T形截面铸铁梁，如图所示。其放置方式最合理的是（)。
６.2.1４矩形截面梁在弯曲时,图示横截面上的弯矩不为零,z轴为形心轴,该截面上ａ、b、c三点正应力的关系为（）。
6．2.１7T形截面悬臂梁受力如图所示。已知截面高度h、惯性矩 和材料的弹性模量E,并测得D截面上、下边缘处的线应变 和 ，则外力偶矩 。图中Ｃ为形心。
６.２．1８Ｔ形截面梁如图所示。测得D截面上、下边缘处的纵向线应变分别是 , ，此截面中性轴位置 。图中z为形心轴。
6．2.19在6．２．14题中，ａ、b、ｃ三点切应力的关系为（)。
（A) (B） (C) （D）
6．２.20矩形截面简支木梁受载如图所示。梁AC段任一横截面上a点的切应力是。
（C） （D)
（E) (F)
６.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（）。
（A） (B)
（C） （D）
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（）。
（A） (B）
(C) （D)
６．2.５用直径为d的圆形木切割出一根高h,宽b的矩形截面梁,若使梁对z轴的抗弯截面系数为最大，则ｈ/b是（)。
（A)２．０（B） (C)１.５（D）
第六章－弯曲应力()
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
ﻩ
第六章弯曲应力(Ⅱ）
6．2．1下列各梁中,AB段为纯弯曲的有（）。
6．２.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（)。
（A) （B)
(Ａ) ＜ ＜ (B） ＝ <
(C) ＜ = (B） = ＝
6.2.10矩形截面简支梁分别采用图中（a）、(b)、(ｃ）三种截面尺寸，其最大正应力之比为()。
（A) (B） （C）
(Ｄ） (E) (Ｆ)
6.2.１1两根矩形截面悬臂梁的尺寸、荷载分别相同，材料分别为钢和木材。设二梁均在线弹性范围内变形,二梁C截面处的最大正应力的关系为(）,上边缘的最大线应变的关系为（）。
6.2.６悬臂梁由两根T形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力),受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是()。
6．2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B套入实心圆杆Ａ而成,略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量 。
(１)他们最大正应力的比 是（)。（A)Leabharlann ５/2（B)1／２（C)1/4（D）1
（2)任一横截面上正应力的分布规律是()。
(A) (B）
(C)
6.２．15工字形截面简支梁如图所示。已知截面对中性轴z的抗弯截面系数 、弹性模量E以及C截面下边缘的纵向线应变 。设梁的变形在线弹性范围内，则作用在梁上的荷载P＝。
6.2．16一直径为 的圆截面梁,另一内外直径之比 的圆环截面梁，二梁的长度、材料及受力分别相同。若使二梁的最大正应力相同,则圆截面梁和圆环截面梁的重量之比 =。
6．2.8图示梁由材料相同的上、下两部分叠合而成，不计上、下两部分间的摩擦力,并可认为上、下两部分的曲率 相同。上、下两部分梁所承受的弯矩之比 ,上下两部分梁的最大正应力之比 。
6.２.9受力情况相同的三种等截面梁,分别由整块材料、两块材料并列和两块材料叠合（未粘接,并不计相互之间的摩擦力)组成，如图（a）、（ｂ）、(c)所示。若用 、 、 本别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，下列结论中正确的为(）。
（D） (Ｅ) (F)
６.2.12图示正方形截面在xy平面内纯弯曲变形时，采用（a）、(b）两种放置方式,其最大正应力分别为 和 。合理的放置方式是（)；若使 ,则 =。
6.2.1３纯弯曲的T形截面铸铁梁，如图所示。其放置方式最合理的是（)。
６.2.1４矩形截面梁在弯曲时,图示横截面上的弯矩不为零,z轴为形心轴,该截面上ａ、b、c三点正应力的关系为（）。
6．2.１7T形截面悬臂梁受力如图所示。已知截面高度h、惯性矩 和材料的弹性模量E,并测得D截面上、下边缘处的线应变 和 ，则外力偶矩 。图中Ｃ为形心。
６.２．1８Ｔ形截面梁如图所示。测得D截面上、下边缘处的纵向线应变分别是 , ，此截面中性轴位置 。图中z为形心轴。
6．2.19在6．２．14题中，ａ、b、ｃ三点切应力的关系为（)。
（A) (B） (C) （D）
6．２.20矩形截面简支木梁受载如图所示。梁AC段任一横截面上a点的切应力是。
（C） （D)
（E) (F)
６.2.3图示箱形截面梁的抗弯截面系数为（）。
（A） (B)
（C） （D）
6.2.4图示截面的抗弯截面系数为（）。
（A） (B）
(C) （D)
６．2.５用直径为d的圆形木切割出一根高h,宽b的矩形截面梁,若使梁对z轴的抗弯截面系数为最大，则ｈ/b是（)。
（A)２．０（B） (C)１.５（D）
第六章－弯曲应力()
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ﻩ
第六章弯曲应力(Ⅱ）
6．2．1下列各梁中,AB段为纯弯曲的有（）。
6．２.2下列关于圆环截面几何性质的算式中正确的有（)。
（A) （B)
(Ａ) ＜ ＜ (B） ＝ <
(C) ＜ = (B） = ＝
6.2.10矩形截面简支梁分别采用图中（a）、(b)、(ｃ）三种截面尺寸，其最大正应力之比为()。
（A) (B） （C）
(Ｄ） (E) (Ｆ)
6.2.１1两根矩形截面悬臂梁的尺寸、荷载分别相同，材料分别为钢和木材。设二梁均在线弹性范围内变形,二梁C截面处的最大正应力的关系为(）,上边缘的最大线应变的关系为（）。
6.2.６悬臂梁由两根T形截面叠起来放置（略去相互之间的摩擦力),受力如图所示。任一横截面上的正应力分布规律应是()。
6．2.7圆形截面悬臂梁由圆筒B套入实心圆杆Ａ而成,略去两接触面间的摩擦力，材料弹性模量 。
(１)他们最大正应力的比 是（)。（A)Leabharlann ５/2（B)1／２（C)1/4（D）1
（2)任一横截面上正应力的分布规律是()。
(A) (B）
(C)
6.２．15工字形截面简支梁如图所示。已知截面对中性轴z的抗弯截面系数 、弹性模量E以及C截面下边缘的纵向线应变 。设梁的变形在线弹性范围内，则作用在梁上的荷载P＝。
6.2．16一直径为 的圆截面梁,另一内外直径之比 的圆环截面梁，二梁的长度、材料及受力分别相同。若使二梁的最大正应力相同,则圆截面梁和圆环截面梁的重量之比 =。
6．2.8图示梁由材料相同的上、下两部分叠合而成，不计上、下两部分间的摩擦力,并可认为上、下两部分的曲率 相同。上、下两部分梁所承受的弯矩之比 ,上下两部分梁的最大正应力之比 。
6.２.9受力情况相同的三种等截面梁,分别由整块材料、两块材料并列和两块材料叠合（未粘接,并不计相互之间的摩擦力)组成，如图（a）、（ｂ）、(c)所示。若用 、 、 本别表示这三种梁中横截面上的最大正应力，下列结论中正确的为(）。