材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
Gg06-弯曲应力
max 1 故 max 2
L
P
分析和讨论
横截面上应力是如何分布的？ 两梁固结 两梁间光滑接触
为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？
如果梁由 n 层叠合而成，情况又怎样？
例
欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面
梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么 比例？
2. 最大正应力计算 （中性轴是对称轴的情况 ）
max
M max ymax [ ] Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为最大值的截面 ymax： 在弯矩最大的横截面上，选择离中性轴最远的点
M x
max
M max ymax M max M max [ ] Iz I z ymax Wz
W 1 0 b h 6
2b h
2
2
h 2 b
力学家与材料力学史
Galileo（1564-1642）
Galileo 在 1638 年出版的 Two New Sciences 一书中首次 对梁的弯曲进行了研究。
Hale Waihona Puke 力学家与材料力学史在其后的一百多年中，
经 Mariotte, J. Bernoulli 等
3M max b 44.7 mm 2[ ]
故取 b = 45 mm
动脑又动笔
撑杆跳过程中某时刻跳杆最小
曲率半径为 7.5m，增强玻璃钢跳
杆直径为 40 mm，E = 120 GPa， 求此时杆中的最大正应力。 120 240 320 480 (MPa)
M 由弯曲曲率公式 EI
跳杆中最大正应力
矩形横截面上的弯曲切应力是 如何分布的？
材料力学梁的应力解读
材料力学梁的应力解读
梁是结构分析中最基本的问题之一，也是材料力学中一个重要的概念。
梁的应力解读，就是对梁结构中的应力的分析。
一般来说，在材料力学中，梁的应力解读可以从下面几个方面来进行：
（1）弯曲应力：弯曲应力是指当梁在受到外力的作用下发生偏移或
沿着其中一轴线变形时，梁中钢材筋的纵向应力称为弯曲应力。
根据梁的
预定约束方式，可以分为受自重弯曲的应力和受外力弯曲的应力。
受自重
弯曲的应力大小由梁的自重和梁的几何形态所决定，一般情况下，斜梁的
自重弯曲应力会比悬臂梁的自重弯曲应力大。
受外力弯曲的应力大小取决
于受力梁的拉张性和刚度，以及施加外力的位置，大小和作用方向等因素，其中最重要的是材料的弹性模量。
（2）剪切应力：梁结构的剪切应力，是指梁受到外力作用时，对面
两侧的钢材筋之间的剪切应力。
由于受力面两端受非对称分布的外力作用，使得受力面的梁结构受到剪切应力的作用，一般情况下，受力面梁结构分
布的剪切应力会在受力面的两端有最大值，随着回头距离变小而逐渐减小。
（3）压应力：梁受外力所产生的压应力，是指受力面角支撑点处承
受拉力的钢材筋之间的应力，称为压应力。
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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材料力学
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
材料力学06弯曲应力_3切应力_机
5
三、圆形截面梁
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点处， 计算公式为
max
4FS 3A
式中，A 为圆形截面的面积
四、薄壁圆环形截面梁
薄壁圆环：壁厚 t 远小于平均半径 R
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点
max
处，计算公式为
max
2
FS A
式中，A 为薄壁圆环形截面的面积
FS
max
z
x
14
FS max 9.75kN
M 26kN m max
2）校核弯曲正应力强度
由型钢表中查得 No. 18 工字钢截面的几何参数：d = 6.5 mm，Wz = 185 mm3 ，Iz : Sz = 15.4 cm
max
M max Wz
26 185
103 106
140.6 MPa < 170 MPa
y
FS R
max
z
t
y
6
五、弯曲切应力强度条件
其中
max ≤
max
3 FS max 2A
4 FS max 3A
2 FS max A
FS max
d
(Iz
:
S z max
)
矩形截面 圆形截面 薄壁圆环形截面 工字形截面
7
[例1] 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大弯曲正 应力和最大弯曲切应力，并比较其大小。
b
FS
max h
z
缘各点处，弯曲切应力为
知识资料材料力学知识资料弯曲变形应力状态分析和强度理论(一)(新版)
需要课件请或弯曲变形粱的挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光洁的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。
（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：1. 挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。
沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程。
v=f(x)2．转角横截面相对本来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。
小变形情况下，3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。
(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。
挠度w向下为正，转角θ顺时针转为正。
积分法计算梁的位移按照挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由第1 页/共6 页式中积分常数C、D，可由梁的边界条件来决定。
当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立，分段积分。
于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。
为了决定所有积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的延续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。
用叠加法求梁的位移（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。
（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。
要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满意： 1．材料为线弹性材料；2．梁的变形为小变形；3．结构几何线性。
（三）叠加法的特征1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。
2．梁在容易荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。
3．叠加法相宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。
[例 5—8—1] 用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将浮上几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和延续条件。
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解
材料⼒学习题第六章应⼒状态分析答案详解第6章应⼒状态分析⼀、选择题1、对于图⽰各点应⼒状态，属于单向应⼒状态的是（A ）。
20（MPa ）20d20（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点。
2、在平⾯应⼒状态下，对于任意两斜截⾯上的正应⼒αβσσ=成⽴的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。
3、已知单元体AB 、BC ⾯上只作⽤有切应⼒τ，现关于AC ⾯上应⼒有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）AC AC /2,0ττσ==；（B ）AC AC /2,/2ττσ==；（C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。
4、矩形截⾯简⽀梁受⼒如图（a ）所⽰，横截⾯上各点的应⼒状态如图（b ）所⽰。
关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
(b)(a)（A）点1、2的应⼒状态是正确的；（B）点2、3的应⼒状态是正确的；（C）点3、4的应⼒状态是正确的；（D）点1、5的应⼒状态是正确的。
5、对于图⽰三种应⼒状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。
τ(a) (b)(c)（A）三种应⼒状态均相同；（B）三种应⼒状态均不同；（C）（b）和（c）相同；（D）（a）和（c）相同；6、关于图⽰主应⼒单元体的最⼤切应⼒作⽤⾯有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
(A) (B) (D)(C)解答：maxτ发⽣在1σ成45o的斜截⾯上7、⼴义胡克定律适⽤范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A）脆性材料；（B）塑性材料；（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适⽤于（ C ）。
第六章 - 弯曲应力
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
My
max
IZ
24.09MPa
max
My max IZ
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
6.材料力学——弯曲应力
y2 20
120
20
RA A
F1=9kN
RB
F2=4kN
解
RA = 2.5kN RB = 10.5kN 最大正弯矩在截面 C 上
C 1m 1m
B 1m
D
MC = 2.5kN ⋅ m
最大负弯矩在 截面 B 上
2.5kN 80 y1
M( x) ⋅ y σ= Iz
M( x) — 横截面上的弯矩
18
强度条件： 二. 强度条件：
σmax
Mmax ⋅ ymax = ≤ [σ ] Iz
σmax
拉压强度相等材料： 拉压强度相等材料： 拉压强度不等材料： 拉压强度不等材料： 强度计算： 强度计算： a. 强度校核 强度校核: b. 截面设计 截面设计:
σ = Eε
=E
ρ
y
对称轴
o
z
y
正应力与它到中性层的距离成正比， 正应力与它到中性层的距离成正比， 中性层上的正应力为零 上式只能用于定性分析， 上式只能用于定性分析， 而不能用于定量计算： 而不能用于定量计算： 的位置未确定， （1）由于中性轴 z 的位置未确定， ） 无法标定； 故 y 无法标定；
中性轴 中性层
y
z
对称轴
ρ
M
中性层
y
图6-4
m ∆θ n z o a′ 中性轴 a′ o′ o′ b′ y b关系
o
o
y 轴 — 截面的对称轴 Z 轴 — 截面的中性轴 —距中性层为 b′b′ 距中性层为 y 处的纤维变形后的长度
y
dϕ 的线应变： 纤维 bb 的线应变： γ p = ρ dx M (ρ + y)dθ − ρ ⋅ dθ = y ε= ρ ⋅ dθ ρ
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
材料力学-6-弯曲刚度
• 引言 • 弯曲刚度的基本原理 • 弯曲刚度的实验验证 • 弯曲刚度在工程中的应用 • 弯曲刚度的优化设计 • 结论与展望
01
引言
主题简介
01
弯曲刚度是材料力学中一个重要 的概念，主要研究材料在受到弯 曲力作用时的行为和性能。
02
弯曲刚度涉及到材料抵抗弯曲变 形的能力，对于工程结构的稳定 性、承载能力和使用寿命具有重 要意义。
车辆行驶安全
弯曲刚度影响桥梁的平顺性，从而 影响车辆行驶的安全性和舒适性。 弯曲刚度不足可能导致桥面不平整， 增加车辆颠簸和振动。
建筑度对其抗震性 能具有重要影响。在地震作用下， 具有较高弯曲刚度的建筑能够更 好地抵抗地震引起的振动，减少
破坏。
风载响应
弯曲刚度也决定了建筑结构对风 载的响应。弯曲刚度较大的建筑 能够更好地承受风力作用，减少
机械零件
在机械零件的设计中，弯曲刚度是评估零件性能的重要指标。例如，在汽车和 航空器的设计中，需要确保关键部件的弯曲刚度满足要求，以保证车辆和飞机 的安全性和稳定性。
03
弯曲刚度的实验验证
实验设备与材料
01
02
03
试样
选择具有代表性的材料试 样，如金属、塑料等。
实验设备
包括万能材料试验机、测 力计、测量工具等。
轻质材料
选择轻质材料，如铝合金、碳纤维复合材料等，以减小结构重量， 提高弯曲刚度。
高强度材料
选用高强度材料，如高强度钢、钛合金等，以提高结构承载能力， 降低弯曲变形。
材料属性优化
通过合金化、热处理等方法优化材料的力学性能，如提高弹性模量、 抗拉强度等，从而提高弯曲刚度。
结构设计优化
合理布局
弯曲应力
第六章 弯曲应力1 基本概念及知识要点1.1 基本概念纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲刚度、弯曲切应力（剪应力）。
应熟练理解和掌握这些基本概念。
1.2 平面弯曲工程实际中的梁，大多数是具有一个纵向对称面的等截面直梁。
外载荷作用在梁的纵向对称面内，并垂直于梁的轴线，梁弯曲时轴线将在对称平面内弯曲成平面曲线，这种弯曲叫平面弯曲。
当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲（或剪切弯曲）；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。
1.3 弯曲正应力梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形几何关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与推导轴向拉压正应力公式和扭转切应力公式的方法相同。
弯曲正应力公式zI My=σ 式中M 为所研究截面的弯矩；z I 分为截面图形对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点到中性轴的距离。
计算时，M 和y 均用代数值代入，由此得到所求点的应力符号，同样也可根据梁的变形情况来确定。
梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率杆的弯曲中。
1.4 弯曲切应力弯曲切应力公式的推导不是按照变形几何关系、物理关系、平衡关系三方面进行的，而是根据分析对弯曲切应力的分布规律作出假定——平行于剪力F s 且沿截面厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式*zzF S bI τ=s 式中，F s 为截面上的剪力；z I 为整个截面对中性轴的惯性矩；b 为所求切应力处横截面的宽度；*z S 为截面上距中性轴为y 的横线任一侧部分面积对中性轴的静矩。
1.5 弯曲强度条件1 正应力强度条件弯曲正应力是影响梁强度的主要因素，对梁（等截面梁）的强度计算主要是满足正应力强度条件][maxmax σσ≤=zW M 式中m axy I W zz =称为横截面的抗弯截面系数。
对于塑性材料，其抗拉和抗压能力相等，通常将梁设计为与中性轴对称的形状，强度条件为][maxmax σσ≤=zW M 对于脆性材料，其抗压能力远超过抗拉能力。
材料力学习题解答(弯曲应力)
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示,已知l =4m , b /h =2/3,q =10kN/m ,[σ]=10MPa ,试肯定此梁横截面的尺寸. 解：(1) 画梁的弯矩图由弯矩图知：(2) 盘算抗弯截面系数32323669h bh h W ===(3) 强度盘算22maxmax 33912[]29416 277ql M ql h Wh h mm b mmσσ===⋅≤∴≥==≥6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情形如图所示,若[σ]=160MPa ,试求允许载荷.解：(1)画梁的弯矩图(2) 查表得抗弯截面系数6323710W m -=⨯(3) 强度盘算max max 66223[]33[]3237101601056.8822PM P W W WW P kNσσσ-===⋅≤⨯⨯⨯⨯∴≤==取允许载荷No20ax ql x[]57P kN =6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴.试作轴弯矩图,并求轴内最大正应力.解：(1)(2) C 截面：3max3332 1.341063.20.0632C C C C C M M MPa d W σππ⨯⨯====⨯B 截面：3max3434440.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B BB B B M M MPa D d W D σππ⨯====⨯--(3) 轴内的最大正应力值MPa C 2.63max max ==σσ6.5.把直径d =1m 的钢丝绕在直径为2m 的卷筒上,设E =200GPa,试盘算钢丝中产生的最大正应力. 解：(1) 由钢丝的曲率半径知1M E M EI I ρρ=∴=(2) 钢丝中产生的最大正应力93max200100.510100 1MR ER MPa I σρ-⨯⨯⨯====6.8. 压板的尺寸和载荷如图所示.材料为45钢,σs =380MPa ,取安全系数n=1.5.试校核压板的强度.x解：(1)(2) 232363330.030.0212(1)(1) 1.568106620bH hW m H -⨯=-=-=⨯(3) 强度盘算许用应力380[]2531.5SMPa nσσ===强度校核max 6308196[]1.56810A M MPa W σσ-===⨯压板强度足够.6.12.图示横截面为⊥形的铸铁推却纯曲折,材料的拉伸和紧缩许用应力之比为[σt ]/[σc ]=1/4.求程度翼缘的合理宽度b .解：(1) ,max 11320 c c y mm=(2) 由截面形心地位()()304006017060370320304006060510 i CiC iA y b y Ab b mm⨯-⨯+⨯⨯===⨯-+⨯=∑∑6.13. ⊥形截面铸铁梁如图所示.若铸铁的许用拉应力为[σt ]=40MPa ,许用压应力为[σc ]=4P . 解：(1)(2) A ()22max 86320.8[][]101801016010132.60.80.825096.410A C C zC zCzC C M h Ph I I I P kN h σσσ--==≤⨯⨯⨯∴≤==-⨯A 截面的最大拉应力11max 86310.8[][]1018010401052.80.80.896.410A t t zC zCzC t M h Ph I I I P kNh σσσ--==≤⨯⨯⨯∴≤==⨯⨯C 截面的最大拉应力()22max 86320.6[][]1018010401044.20.60.625096.410C t t zC zCzC t M h Ph I I I P kN h σσσ--==≤⨯⨯⨯∴≤==-⨯取许用载荷值[]44.2P kN =6.14. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示.许用拉应力[σl ]=40MPa ,许用压应力[σc ]=160MPa .解：(1) 画梁的弯矩图(2) 盘算截面几何性质42.572.522264157.542.53020021520030100157.5 30200200303020060.12510i CiC i zCAA y y mmAIy dA y dy y dy m --⨯⨯+⨯⨯===⨯+⨯==⨯⨯+⨯⨯=⨯∑∑⎰⎰⎰(3) 强度盘算B 截面的最大压应力3max620100.157552.4 []60.12510B C C C zC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯B 截面的最大拉应力3max6(0.23)2010(0.230.1575)24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--⨯-===⨯C 截面的最大拉应力3max610100.157526.2 []60.12510C C t t zC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯梁的强度足够.(4) 评论辩论：当梁的截面倒置时,梁内的最大拉应力产生在B 截面上.3max620100.157552.4 []60.12510B C t t ZC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯梁的强度不够.6.19. 试盘算图示工字形截面梁内的最大正应力和最大剪应力. xmax max 15 20 Q kN M kNm==(2) 查表得截面几何性质3*max14113.8 6z z I W cm cm b mmS ===(3) 盘算应力最大剪应力*3max max max151018.10.0060.138Z Z Q S MPabI τ⨯===⨯最大正应力3max max62010141.814110M MPa W σ-⨯===⨯6.22. 起重机下的梁由两根工字钢构成,起重机自重Q=50kN ,起重量P=10kN .许用应力[σ]=160MPa ,[τ]=100MPa .若暂不斟酌梁的自重,试按正应力强度前提选定工字钢型号,然后再按剪应力强度前提进行校核.解：(1)(2) (3) C 截面：B()(506)()501204.17C C M x x x dM x x dxx m =-=-==此时C 和D 截面的弯矩是104.25 134.05C D M kNm M kNm==D 截面：()(106)(8)()381203.17D D M x x x dM x x dxx m =+-=-==此时C 和D 截面的弯矩是98.27 140.07C D M kNm M kNm==最大弯矩值是max 140.07 M kNm=(4) 按最大正应力强度前提设计查表取25b *max1021.3z z I b mm cmS==(5) 按剪应力强度校核当起重机行进到最右边时（x =8m ）,梁内剪应力最大; x剪应力强度盘算*3max maxmax581013.6[]220.010.213zzQ SMPabIττ⨯===⨯⨯剪应力强度足够.6.23. 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示,跨度l=1 m.若胶合面上的许用切应力为0.34 MPa,木材的许用曲折正应力为[σ[τ]=1 MPa,试求允许载荷P解：(1)max maxQ P M Pl==(2) 梁曲折正应力强度前提maxmax2262[]16[]10100.10.153.75661M PlW bhbhP kNlσσσ==≤⨯⨯⨯≤==⨯(3) 梁曲折切应力强度前提maxmax633[]222[]21100.10.151033Q PA bhbhP kNτττ==≤⨯⨯⨯⨯≤==(4)胶合面上切应力强度前提2222max1336312222[]244212[]0.34100.10.153.8250.15660.02544zQ h P hy ybhIbhP kNhyτττ⎛⎫⎛⎫=-=-≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯⨯≤==⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭允许载荷：[P]=3.75 kN.6.27.在图中,梁的总长度为l ,受均布载荷q 感化.若支座可对称地向中点移动,试问移动距离为若干时,最为合理？ 解：(1) 束缚反力2B C ql R R ==(2) 截面上的最大正弯矩和最大负弯矩22,max 2,max228822ql l ql ql qla M a qa M +-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭=-(3) 二者数值相等时最为合理2222822440410.20782ql qla qa a la l l a l l-=+-=-+-+===。
材料力学习题应力状态分析答案详解
1、图示应力状态，按第三强度理论的强度条件为 。
（注： ）
解答：
2、第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为 及 ，对于纯剪切应力状态，恒有 / ＝ 。
解答：纯剪应力状态
3、一般情况下，材料的塑性破坏可选用最大剪应力或形状改变能密度强度理论；而材料的脆性破坏则选用最大拉应力或最大伸长线应变强度理论（要求写出强度理论的具体名称）。
解答：
17、一体积为10×10×10mm3的立方铝块，将其放入宽为10mm的刚性槽中，已知v（铝）=0.33，求铝块的三个主应力。
解答：
18、外径为D、内径为d的空心圆轴受扭转时，若利用一电阻应变片作为测力片，用补偿块作为温度补偿，采用半桥接线。问：（1）此测力电阻片如何粘贴可测出扭矩；（2）圆轴材料的E、v均为已知， 为测得的应变值，写出扭矩计算式。
解答：
7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。
解答：
8、图示单元体，已知 、 及该点的最大主应力 。求该点的另外两个主应力 、 及最大切应力 。
解答：
9、试确定图示单元体的最大切应力，以及图示斜截面上的正应力和切应力。
解答：
10、已知受力构件某处的 ， ， ，材料的E＝200GPa，v＝0.3。试求该点处的 、 。
解答：在危险截面A上危险点在七上下边缘
由第三强度理论
不安全
12、图示齿轮传动轴内电机带动，作用在齿轮上的力如图示，已知轴的直径d＝30mm，P＝0.8kN，Q＝2kN，l＝50mm，齿轮节圆直径D＝200mm。试用第三强度理论校核轴的强度。已知轴的 。
13、图示传动轴，皮带轮Ⅰ直径D1＝80cm，皮带轮Ⅱ直径D2＝40cm，已知轴的许用应力 。试以第四强度理论设计轴的直径d，并指出危险截面位置，画出危险点的应力状态。
材料力学教案 第6章 弯曲应力
第6章弯曲应力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导过程中所作的假设。
掌握中性层、中性轴等基本概念和含义。
弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。
理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。
教学重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导；横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算；弯曲的强度计算；弯曲横截面上的剪应力。
教学难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和结果以及弯曲中心的概念。
教具：多媒体。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
教学内容：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施。
教学学时：6学时。
教学提纲：6.1 梁的纯弯曲1、几个基本概念（1）平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。
怎样加载才能产生平面弯曲？若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在对称平面内，才能发生平面弯曲。
若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。
什么叫弯曲中心？当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。
这样的特定点称为弯曲中心。
关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。
①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图(a),(b),(c)所示。
②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图(d)、(e)所示。
③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图(e)、(f)所示。
④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。
这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。
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F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
截面 D
o
z Dd o
zh o
z
y
y
y
Iz
D4
64
D4 1 4
64
1 bh3 12
D3
Wz
32
D3 1 4
32
1 bh2 6
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都 不再成立。
FA
F 4
20 y 20
FB
7 4
F
据此作出梁的弯矩图如下
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
Fb/4
180 40 134 86
120 C
形心 z 20 y 20
M
m
ax
Fb 4
M
m
ax
Fb 2
Fb/2 发生在截面C 发生在截面B
2、计算最大拉、压正应力 Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
注意到 M (x) y
Iz
而
M max
M max
C 形心 z
20 y 20
y1 y2
因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。
Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
C 形心 z
考虑截面B ：
20 y 20
t,max
M B y2 Iz
F / 2 2 103 mm 86 mm
30 MPa 5493103 mm4
F 19.2 kN
c,max
M B y1 Iz
F
/
2
2103 mm 134
5493104 mm4
mm
90
MPa
F 73.8 kN
Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
C 形心 z
考虑截面C：
20 y 20
t,max
M C y1 Iz
2 2
(2) 垂直于y 轴的切应力
FN*2
h
d d
d
O
y b
FN*1 1 1' d FS 1d d x
d F S
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
1
FS
S
* z
I zd
1
1
FS
I zd
d
h 2
d
2
FS 2I z
h d
160
MPa
12.5
a
M maxya Iz
21 560
z
375106 N mm 560 21 mm
a
2
65586104 mm4
166
148 MPa
或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 12.5
21 560
z
max 160 MPa
a
166
560 21
a
ya ymax
max
2 560
[ c]
yt,max [ t] yc,max [ c]
例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。
钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择工字钢
的号码。
F
F
F=75kN
A
B
FA 2.5m 2.5m 2.5m 2.5m FB 10 m
281 375
单位： kN·m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
FA
FB
3 2
F
112.5
kN
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
M max
Wz
Wz
M max
375106 N mm 152 MPa
2460103
mm3
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447 cm3 2447 10 3 mm 3
与要求的Wz相差不到1%，可以选用。
FS
S
* z
Izb
FS 2I z
h2 4
y 2
(1) 沿截面高度按二次抛物
线规律变化；
(2) 同一横截面上的最大切应max z 力max在中性轴处( y=0 )；
max
O
(3)上下边缘处（y=±h/2)，
切应力为零。
y
max
FS h 2 8I z
8
FS h 2 bh3
12
3 FS 3FS 2 bh 2A
12.5
21 560
F
A
FA
5m
C
10m
M
B
z
FB
a
375 kN.m 166
Fl 解：1、作弯矩图如上， M max 4 375 kN m
2、查型钢表得
56号工字钢 I z 65586 cm4 Wz 2342 cm3
3、所求正应力为
max
M max Wz
375106 N mm 2342103 mm3
弹性力学的分析结果：
对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
F
M (x)y
l
Iz
Fl 4
max
M (x) Wz
例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。
试求危险截面上的最大正应力max 和同一横截面上 翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对
中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉
应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试
求梁的许可荷载[F ] 。
120
180 40 134 86
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
C 形心 z
FA
FB
解：1、梁的支反力为
第六章 弯曲应力
弯曲正应力计算公式
1 M
EI z E E y
My
Iz
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b
h
z
z
y
y
max
My m a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
Oz y
t,max
Myt,max Iz
c,max