材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
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Gg06-弯曲应力
max 1 故 max 2
L
P
分析和讨论
横截面上应力是如何分布的？ 两梁固结 两梁间光滑接触
为什么两梁间无摩擦时， 横截面上的弯矩由两梁均分？
如果梁由 n 层叠合而成，情况又怎样？
例
欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩形截面
梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b 应成什么 比例？
2. 最大正应力计算 （中性轴是对称轴的情况 ）
max
M max ymax [ ] Iz
Mmax：在梁的所有横截面中，选择弯矩为最大值的截面 ymax： 在弯矩最大的横截面上，选择离中性轴最远的点
M x
max
M max ymax M max M max [ ] Iz I z ymax Wz
W 1 0 b h 6
2b h
2
2
h 2 b
力学家与材料力学史
Galileo（1564-1642）
Galileo 在 1638 年出版的 Two New Sciences 一书中首次 对梁的弯曲进行了研究。
Hale Waihona Puke 力学家与材料力学史在其后的一百多年中，
经 Mariotte, J. Bernoulli 等
3M max b 44.7 mm 2[ ]
故取 b = 45 mm
动脑又动笔
撑杆跳过程中某时刻跳杆最小
曲率半径为 7.5m，增强玻璃钢跳
杆直径为 40 mm，E = 120 GPa， 求此时杆中的最大正应力。 120 240 320 480 (MPa)
M 由弯曲曲率公式 EI
跳杆中最大正应力
矩形横截面上的弯曲切应力是 如何分布的？
材料力学梁的应力解读
材料力学梁的应力解读
梁是结构分析中最基本的问题之一，也是材料力学中一个重要的概念。
梁的应力解读，就是对梁结构中的应力的分析。
一般来说，在材料力学中，梁的应力解读可以从下面几个方面来进行：
（1）弯曲应力：弯曲应力是指当梁在受到外力的作用下发生偏移或
沿着其中一轴线变形时，梁中钢材筋的纵向应力称为弯曲应力。
根据梁的
预定约束方式，可以分为受自重弯曲的应力和受外力弯曲的应力。
受自重
弯曲的应力大小由梁的自重和梁的几何形态所决定，一般情况下，斜梁的
自重弯曲应力会比悬臂梁的自重弯曲应力大。
受外力弯曲的应力大小取决
于受力梁的拉张性和刚度，以及施加外力的位置，大小和作用方向等因素，其中最重要的是材料的弹性模量。
（2）剪切应力：梁结构的剪切应力，是指梁受到外力作用时，对面
两侧的钢材筋之间的剪切应力。
由于受力面两端受非对称分布的外力作用，使得受力面的梁结构受到剪切应力的作用，一般情况下，受力面梁结构分
布的剪切应力会在受力面的两端有最大值，随着回头距离变小而逐渐减小。
（3）压应力：梁受外力所产生的压应力，是指受力面角支撑点处承
受拉力的钢材筋之间的应力，称为压应力。
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
页 退出
材料力学
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
材料力学
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
页 退出
材料力学
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
第六章弯曲应力
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径r
3. 静力学关系
statics relation
M
z
FN
A dFN
σdA
A
O
x
M y
A dM y
zσdA
A
y
M z
A dM z
yσdA
A
凹入一侧的受压应力，凸出的一侧受拉应力
应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接
按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
σmax M max [σ] Wz
一、降低梁的最大弯矩值
1.合理地布置梁的荷载
F
F
l
Fl/4
l/4
l/2 l/4
Fl/8
2.合理地设置支座位置
q
q
l
ql2/2
a
a
l
0.0214ql2
当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小.
二、增大Wz
deformation geometric relationship
physical relationship
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
z
0.8a2 a2
π D12 4
2a22
0.8 1.6a22 ,a2
1.05D1
Wz4 4.57Wz1
工字形截面与框形截面类似.
2.合理的放置
W1 h W2 b
材料力学06弯曲应力_3切应力_机
5
三、圆形截面梁
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点处， 计算公式为
max
4FS 3A
式中，A 为圆形截面的面积
四、薄壁圆环形截面梁
薄壁圆环：壁厚 t 远小于平均半径 R
最大弯曲切应力发生于中性轴上各点
max
处，计算公式为
max
2
FS A
式中，A 为薄壁圆环形截面的面积
FS
max
z
x
14
FS max 9.75kN
M 26kN m max
2）校核弯曲正应力强度
由型钢表中查得 No. 18 工字钢截面的几何参数：d = 6.5 mm，Wz = 185 mm3 ，Iz : Sz = 15.4 cm
max
M max Wz
26 185
103 106
140.6 MPa < 170 MPa
y
FS R
max
z
t
y
6
五、弯曲切应力强度条件
其中
max ≤
max
3 FS max 2A
4 FS max 3A
2 FS max A
FS max
d
(Iz
:
S z max
)
矩形截面 圆形截面 薄壁圆环形截面 工字形截面
7
[例1] 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大弯曲正 应力和最大弯曲切应力，并比较其大小。
b
FS
max h
z
缘各点处，弯曲切应力为
知识资料材料力学知识资料弯曲变形应力状态分析和强度理论(一)(新版)
需要课件请或弯曲变形粱的挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光洁的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。
（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：1. 挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。
沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程。
v=f(x)2．转角横截面相对本来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。
小变形情况下，3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。
(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。
挠度w向下为正，转角θ顺时针转为正。
积分法计算梁的位移按照挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由第1 页/共6 页式中积分常数C、D，可由梁的边界条件来决定。
当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立，分段积分。
于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。
为了决定所有积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的延续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。
用叠加法求梁的位移（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。
（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。
要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满意： 1．材料为线弹性材料；2．梁的变形为小变形；3．结构几何线性。
（三）叠加法的特征1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。
2．梁在容易荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。
3．叠加法相宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。
[例 5—8—1] 用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将浮上几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和延续条件。
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F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
截面 D
o
z Dd o
zh o
z
y
y
y
Iz
D4
64
D4 1 4
64
1 bh3 12
D3
Wz
32
D3 1 4
32
1 bh2 6
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都 不再成立。
FA
F 4
20 y 20
FB
7 4
F
据此作出梁的弯矩图如下
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
Fb/4
180 40 134 86
120 C
形心 z 20 y 20
M
m
ax
Fb 4
M
m
ax
Fb 2
Fb/2 发生在截面C 发生在截面B
2、计算最大拉、压正应力 Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
注意到 M (x) y
Iz
而
M max
M max
C 形心 z
20 y 20
y1 y2
因此压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条 件则B、C截面都要考虑。
Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
C 形心 z
考虑截面B ：
20 y 20
t,max
M B y2 Iz
F / 2 2 103 mm 86 mm
30 MPa 5493103 mm4
F 19.2 kN
c,max
M B y1 Iz
F
/
2
2103 mm 134
5493104 mm4
mm
90
MPa
F 73.8 kN
Fb/4
120
180 40 134 86
Fb/2
C 形心 z
考虑截面C：
20 y 20
t,max
M C y1 Iz
2 2
(2) 垂直于y 轴的切应力
FN*2
h
d d
d
O
y b
FN*1 1 1' d FS 1d d x
d F S
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
1
FS
S
* z
I zd
1
1
FS
I zd
d
h 2
d
2
FS 2I z
h d
160
MPa
12.5
a
M maxya Iz
21 560
z
375106 N mm 560 21 mm
a
2
65586104 mm4
166
148 MPa
或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 12.5
21 560
z
max 160 MPa
a
166
560 21
a
ya ymax
max
2 560
[ c]
yt,max [ t] yc,max [ c]
例 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。
钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择工字钢
的号码。
F
F
F=75kN
A
B
FA 2.5m 2.5m 2.5m 2.5m FB 10 m
281 375
单位： kN·m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
FA
FB
3 2
F
112.5
kN
M max 375 kN m
2、根据强度条件确定截面尺寸
M max
Wz
Wz
M max
375106 N mm 152 MPa
2460103
mm3
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447 cm3 2447 10 3 mm 3
与要求的Wz相差不到1%，可以选用。
FS
S
* z
Izb
FS 2I z
h2 4
y 2
(1) 沿截面高度按二次抛物
线规律变化；
(2) 同一横截面上的最大切应max z 力max在中性轴处( y=0 )；
max
O
(3)上下边缘处（y=±h/2)，
切应力为零。
y
max
FS h 2 8I z
8
FS h 2 bh3
12
3 FS 3FS 2 bh 2A
12.5
21 560
F
A
FA
5m
C
10m
M
B
z
FB
a
375 kN.m 166
Fl 解：1、作弯矩图如上， M max 4 375 kN m
2、查型钢表得
56号工字钢 I z 65586 cm4 Wz 2342 cm3
3、所求正应力为
max
M max Wz
375106 N mm 2342103 mm3
弹性力学的分析结果：
对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。
F
M (x)y
l
Iz
Fl 4
max
M (x) Wz
例 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。
试求危险截面上的最大正应力max 和同一横截面上 翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
例 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对
中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉
应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试
求梁的许可荷载[F ] 。
120
180 40 134 86
F
q=F/b
A
b C bB
D
b
C 形心 z
FA
FB
解：1、梁的支反力为
第六章 弯曲应力
弯曲正应力计算公式
1 M
EI z E E y
My
Iz
中性轴 z 为横截面的对称轴时 b
h
z
z
y
y
max
My m a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
称为弯曲截面系数
中性轴 z 不是横截面的对称轴时
yt，max yc，max
Oz y
t,max
Myt,max Iz
c,max