第六章__弯曲应力及剪力流的知识点
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第6章弯曲应力
Iz
200 303 12
200 30 (170 15 139)2
301703 30170 (139 170)2
12
2
z y1
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A
B
2m
3m
20kNm
P=20kN D
C 1m
+ 10kNm
(3) 求最大拉应力与最大压应力
F2 2 bh / 3 2 106 100 150 10 6 / 3 10000 N 10kN
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
g
FQ
S
* Z
IZb
F3b
h 3
2
bh3 b
4F3 3bh
g
12
F334 106 4
3825N 3.825kN
h3 9
h3 1125106 9 h 3 91125106 0.216m 取 : h 216 (mm) b 2 h 144 (mm)
3
例
FQ
F l
悬臂梁由三块木板粘
50 接而成。跨度为1m。胶 z50 合面的许可剪应力为 50 0.34MPa，木材的〔σ〕
100
= 10 MPa，[τ]=1MPa，
分析B、C两截面（最大正负弯矩所在面）
B截面
| Lmax || C max |
C截面
| Lmax || C max |
显然
| C max B || C maxc |
20kNm
C
B
+ 10kNm
+
–
–
+
第六章弯曲应力1
=
y
= y (1)
o
——横截面上各点的纵向线应变
与各点到中性轴的距离成正比
A
b a o
A
b dx
中性轴
d c
o1
Ｂ
d
中 性 层 曲 率 半 径
中性层
y
d
o1 y
B
y
y
A1
B1
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
=
y
...... (1)
（二）物理关系：
由纵向线应变的变化规律 正应力的分布规律。
πd 4 64
z
Wz
= Wy
=
Iz d /2
=
Iy d/2
=
πd 3 32
y
几种简单截面的抗弯截面系数
Wz
=
Iz ymax
⑶ 空心圆截面
( ) I z
= Iy
=
π 64
D4
−d4
( ) = πD4 1− 4 64
O
z
式中 = d / D
( ) Wz
=
Iz D/2
=
πD3 32
1− 4
= Wy
A
y 2 dA
A
=
E
Iz
=
M
1= M
EIZ
——弯曲变形计算的基本公式
M Z
M
s
=
E
=
Ey
y
（三）、静力学条件
z
dA
sdA
x
由横截面上的弯矩和正应力的关系
→ 正应力的计算公式。
y
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
第六章 弯曲应力
近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y
材料力学弯曲应力知识点总结
材料力学弯曲应力知识点总结弯曲应力是材料力学中重要的概念之一，它描述了材料在受到弯曲力作用时所承受的内部力状态。
了解和掌握弯曲应力的知识对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
本文将对材料力学中弯曲应力的相关知识点进行总结。
一、弯曲应力的基本概念弯曲应力是指在材料受到弯曲作用时，在横截面上单位面积所承受的力的大小，通常用σ表示。
弯曲应力的大小与施加在材料上的弯曲力以及截面形状和尺寸有关。
二、弯矩和截面性质1. 弯矩：在弯曲过程中，作用在材料上的弯曲力会产生一个力矩。
弯矩的大小等于力矩除以截面法线距离。
弯矩的单位通常是N·m。
2. 惯性矩和截面模量：惯性矩描述了截面抵抗变形的能力，通常用I表示。
截面模量描述了材料在弯曲过程中的刚度，通常用W表示。
惯性矩和截面模量与截面的形状和尺寸有关。
三、材料的截面形状对弯曲应力的影响材料的截面形状对弯曲应力有着重要的影响，以下是几种常见截面形状的弯曲应力分析：1. 矩形截面：矩形截面的弯曲应力呈线性分布，最大弯曲应力出现在截面内边缘。
2. 圆形截面：圆形截面的弯曲应力均匀分布，在截面上的任意一点的弯曲应力都相同。
3. T型截面：T型截面的弯曲应力最大出现在截面顶部和底部的交接处。
4. I型截面：I型截面的弯曲应力主要集中在截面中轴线部分。
四、弯曲应力与应变的关系弯曲应力和应变之间的关系可以通过杨氏模量进行描述。
弯曲应力和应变的关系可以用以下公式表示：σ=M*y/I，其中M为弯矩，y为截面的纵向距离，I为截面的惯性矩。
五、弯曲应力的计算方法根据弯曲应力的定义和性质，可以采用以下方法来计算弯曲应力：1. 等效应力法：将弯矩和弯曲力矩转化为等效应力，然后根据截面形状计算弯曲应力。
2. 梁理论：基于材料的截面形状和尺寸，使用梁理论来计算弯曲应力。
通过计算截面的惯性矩和截面模量来获得弯曲应力。
六、弯曲应力的影响因素弯曲应力受到以下因素的影响：1. 弯曲力的大小和方向2. 材料的弹性模量3. 材料的截面形状和尺寸4. 材料的力学性质和力学行为5. 材料的应变率和应变历史七、弯曲应力的应用弯曲应力在工程设计和分析中具有广泛的应用，例如：1. 结构设计：通过对材料的弯曲应力进行分析，可以确定结构的合理尺寸和截面形状，以满足设计要求。
工程力学教学 第6章 弯曲应力
17
max
M Iz
ymax
令
Wz
Iz , ymax
上式可改写为
max
M Wz
Wz 称为抗弯截面模量，单位：m3。
上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于
横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再
成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，可按
平面假设分析吗?
整理课件
18
横力弯曲
整理课件
19
6-2
横力弯曲正应力公式
弯曲正应力
M (x) y
IZ
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
Mmaxymax IZ
整理课件
M max
max
Wz
20
弯曲正应力公式适用范围 •纯弯曲或细长梁的横力弯曲
4 2
2 F
3 F
A
s max
A
s max
A
矩形截面 圆形截面 环形截面
根据强度条件可进行下述工程计算：
⑴强度校核；
⑵设计截面尺寸；
⑶确定容许荷载。
整理课件
38
利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截面。
⑴梁的最大正应力发生在弯矩最大、截面离中性轴最远
点处；变截面梁要综合考虑 M与IZ;脆性材料抗拉和抗压性能
一、矩形截面切应力
基本假设： ⑴截面上各点切应力与剪力同向；
12
M
M+dM
⑵距中性轴等距离各点的切应力相 等。
Fs m n Fs
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
页 退出
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
页 退出
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
页 退出
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
工程力学B(二)第10讲第六章弯曲应力
1
Ey
M EI z
My Iz
三、最大弯曲正应力
max
Mymax M Iz Iz ymax
Iz Wz , 抗弯截面系数 ymax
max
M Wz
最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面 系数成反比。抗弯截面系数综合反映了横截 面形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
b
h h 2 2
min
o
max
y
min
上下盖的切应力很小，强度计算不予考虑。
三、圆形截面梁的弯曲切应力 圆截面上的最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并 可近似认为各点处的切应力均平行于剪力，且沿中 性轴均匀分布。
Fs
Fs
max
z
2d 3
C
z
m
y
d
n
y
S z， max
d 2 2d d 3 8 3 12
d
C
z
bh2 Wz 6
C
z
Wz
d 3
32
y
y
例1 如图承受矩为Me=20KN.m的力偶作用，试计算梁内的最 大弯曲正应力与梁的曲率半径。梁用工字形标准型钢， 其牌号为No18，钢的弹性模量E=200GPa。
Me
l
z
y
解：
1 内力与应力分析
M M e 20.0kN.m M max 108 .1MPa Wz
b1 dx
1 2
dA
y
z
m
1
第三节 弯曲切应力
Fx 0 'bdx ( y )bdx dF 1 dF ( y) b dx M F dA Iz
Ey
M EI z
My Iz
三、最大弯曲正应力
max
Mymax M Iz Iz ymax
Iz Wz , 抗弯截面系数 ymax
max
M Wz
最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面 系数成反比。抗弯截面系数综合反映了横截 面形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
b
h h 2 2
min
o
max
y
min
上下盖的切应力很小，强度计算不予考虑。
三、圆形截面梁的弯曲切应力 圆截面上的最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并 可近似认为各点处的切应力均平行于剪力，且沿中 性轴均匀分布。
Fs
Fs
max
z
2d 3
C
z
m
y
d
n
y
S z， max
d 2 2d d 3 8 3 12
d
C
z
bh2 Wz 6
C
z
Wz
d 3
32
y
y
例1 如图承受矩为Me=20KN.m的力偶作用，试计算梁内的最 大弯曲正应力与梁的曲率半径。梁用工字形标准型钢， 其牌号为No18，钢的弹性模量E=200GPa。
Me
l
z
y
解：
1 内力与应力分析
M M e 20.0kN.m M max 108 .1MPa Wz
b1 dx
1 2
dA
y
z
m
1
第三节 弯曲切应力
Fx 0 'bdx ( y )bdx dF 1 dF ( y) b dx M F dA Iz
六弯曲应力专业知识
= 0.045m
2.计算截面对中性轴旳惯性矩
I1z
=
(0.120m)(0.020m3 ) 12
+ (0.120×0.020m2 )(0.045m
- 0.010m)2
=
3.02×10-6 m4
I2z
=
(0.020m)(0.120m3 ) 12
+ (0.120×0.020m2 )(0.080m - 0.045m)2
3、推论
梁在弯曲变形时， 接近凹边旳纵向纤维 缩短，接近凸边旳纤 维伸长，根据变形旳 连续性，其中必有一 层纵向纤维既不伸长 也不缩短,即保持原来 旳长度，这一纵向纤 维层称为中性层。
中性层与横截面旳交线称为中性轴。
4、几何分析
ρ ：变形后中性层旳曲率半径。
4、几何分析 ρ ：变形后中性层旳曲率半径。
例：图示钢制矩形截面简支梁，已知：P =6kN，
截面宽度 b =30mm，高度 h =60 mm，试求梁竖放
和横放时梁内最大正应力，并分别画出应力沿截面
高度旳分布图。
RA
解：求支承反力，作弯矩图；
M
RA
RB
P 2
3kN
Mmax 900N m
竖放时：
max
M max W
M max bh2 / 6
Iz = I1z + I2z = 3.02×10-6 m4 + 5.82×10-6 m4 = 8.84×10-6 m4
3.计算最大弯曲正应力
截面B-B旳弯矩大小为：
M B = F ×0.400m = (15×103 N)(0.400m) = 6000N • m
在截面B旳上下边沿处，分别作用有最大拉应力与最大压应力
第六章 - 弯曲应力
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
My
max
IZ
24.09MPa
max
My max IZ
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
材力第六章 弯曲应力
3、切应力的分布：
Fs S z I zb
Fs
z
h y 2 h b h S z yc A ( 2 y ) b( y ) ( y2 ) 2 2 2 4
h y
max
y b
τ
3Fs 4y (1 2 ) 2bh h
2
3 Fs max 2 A
Mmax 6Mmax 6 4050 2 6.25MPa 7 MPa max 2 Wz bh 0.12 0.18
1 . 5 * 5400 Fs max 0. 375 MPa 0.9 MPa 1 . 5 max 0 . 12 * 0 . 18 A
几何方面
物理方面
静力方面
（一）、几何方面 1、实验：
纯弯曲梁横截面上的正应力公式
a c
b
d
2、变形规律： ⑴、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角 度且仍与纵向线正交。
a
c
b
M a
d c
M
⑵、纵向线：由直线变 为曲线，且靠近上部的 纤维缩短，靠近下部的 b d 纤维伸长。 3、假设： （1）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂 直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。
4 88106 46.2MPa 4 76310
Iz M C y2 2.5 88106 ct 28.2MPa 4 t max 28.2 t Iz 76310 M C y1 c max 46.2 c Cc Bc Iz
当
D12
4
[ D 2 (0.8D) 2 ]
4
材力06弯曲应力详解
M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图
第六章：梁弯曲时的内力和应力
FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
理论力学 第六章 弯曲应力解析
F
l 3
2 9
Fl
对于C右截面：
FSC右
FA
F
F 3
M C右
FA
l 3
2 9
Fl
FSC左 FSC右, MC左＝MC右
负号表示假设方向与实际方向相反。
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
2
B
2
1.5m
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
0
FA
6
F
4.5
q 3
3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
2、计算1-1截面的内力
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m FA
F=8kN
如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。
解：1.求支座反力
Fy M
0, FA
A (F ) 0,
FB FB
l
F
0 Fl
3
0
得
FA
2 3
F, FB
1 3
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
FA
2 3
F
MD
FA
a
2 3
Fa
同理,对于C左截面：
FSC左
FA
2 3
F
M
C左＝
2 3
• §6-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
反映梁的横截面上的剪力和弯
第六章：弯曲应力
组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分 图形对同一轴静矩的代数和。
弯曲应力
[例6-2]某梁的截面图形如图所示，试求其对图示 坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。
y
解：(1) 计算静矩Sy y轴为对称轴
50 20
50
1
Sy 0
(2) 计算静矩Sz
140
2
O 20
z
此截面可以看作由两个矩形1、2组成
Sz A1 yC1 A2 yC2
100 20 150 m3 140 20 70 m3 4.96 10 m
4 3
弯曲应力
二、惯性矩与惯性半径 1. 惯性矩
截面图形对z轴惯性矩 I z
截面图形对y轴惯性矩 I y 2. 极惯性矩 I P
A
y 2 dA z dA
(2) 计算静矩Sy y轴通过阴影部分图形面积的形心C1
Sy 0
弯曲应力
3.组合截面图形的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面。
S z Ai yC i S y Ai zC i
i 1 i 1 n
n
z
其中Ai为其中第i个组成部分图形的面积；
Ci
, yC i 为其中第i个组成部分图形的形心坐标。
弯曲应力
2.截面图形的形心
Sz yC A A zdA S y zC A A A Sz AyC , S y AzC
A
yd A
y
z
zC
dA C
y
A
yC
O
z
说明： ◆ 若某坐标轴通过截面形心，则截面图形 对该轴的静矩必为零 ； ◆若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则 该 坐标轴必通过截面图形的形心; ◆截面图形对形心轴的静矩等于零。
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Page 4
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
Page
27
第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
Page 28
第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
Page 19
3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
Page 2
第六章 弯曲应力
梁的弯曲正应力小结
中性轴位置：中性轴过截面形心
中性层曲率：
1
M （I z －惯性矩） EI z （EI z －截面弯曲刚度）
My 正应力公式： s ( y ) Iz
最大应力发生在圆截 面的右上一点
M
Page
23
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（13）
•矩形截面梁的弯曲切应力: •薄壁截面梁的弯曲切应力:
Fs S z ( ) t ( s) Izt
FS S z ( ) t (y ) Izb
Fs S z ( ) 剪流 q( s) Iz
•梁的强度条件：
s max
s max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： s max s p ，对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
Page
3
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
O
50 A1
z
60
A2
10
y
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
yc 1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
100
a
a 50
S z ,max 100 10 50 2 80 10 95 1.76 105 mm 3
100
5
ta
Fs S z ,a 2tI z
4 10 1.51 10 10.85 MPa 7 20 2.779 10
4
10
t max
Fs
A
Fs
问题：A处剪流的方向向上还是向下？
Page 13
第六章 弯曲应力 工字形截面梁的弯曲切应力 Fs S z ( ) t ( s)
Izt
Fs
b
翼缘
1 ( H h) 2 1 S z ( ) t1 ( h t ) 2 F (h t1 ) Fs ( H h) t ( ) s 2Iz 4I z t1
t
z
dx
y
t 的大小
F1
dx
t (s)
t ' (s)
同样依据切应力互等定理，将 横向截面上的切应力计算转化 为纵向截面上的切应力计算。
F2
S
w
Page
8
第六章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 2.
t 的计算
w w
Fs
t ( s )tdx F2 F1
F1 s dA F2 F1 My M dA S z ( ) Iz Iz
h/b值对解的影响： 横截面上各点假设：t//侧边，或t//剪力
t 沿截面宽度方向均匀分布
F h/b越大，解越精确。(h/b>2时，足够精确)
Page 7
第六章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 1. 问题分析 (1). 切应力 t 方向与分布假定
x
Fs
•沿截面中心线
依据：切应力互等定理 •沿截面厚度均匀 (2)、计算
Page 6
第六章 弯曲应力 弯曲正应力与弯曲切 应力比较
l
F
s max
s max t max
3F Fl 6Fl t max 2 2 bh bh2 bh 6 6Fl 2bh l 2 4 当 l >> h 时，smax >> tmax bh 3F h
b
C
z
h
y
Fs S z ( ) q( s) Iz
Page 16
第六章 弯曲应力 梁的强度条件 • 弯曲正应力强度条件：
s max
M W [s ] z max
smax：最大弯曲正应力；[s] ：材料单向应力许用应力
•弯曲切应力强度条件：
t max
FS Sz ,max [t ] I zd max
20 kN
C
D
是弯矩绝对值最大截面？
1m 3m 1m
画剪力弯矩图
M 图:
My s Iz
C截面：弯矩绝对值最大。a点拉应 力，b点压应力都可能达危险值。 B截面：弯矩绝对值不是最大， 但b点拉应力可能达危险值。
10kN m
20kN m
200
a
30
y1
z
170
yC
b 30
Page 18
第六章 弯曲应力
M [s ] Wz max
FS S z ,max t max [t ] I zd max
Page 24
第六章 弯曲应力 引言：梁合理强度设计的理论依据与设计思路
M My 依据 s = , s Wz Iz
FS S z ( ) t Izd
合理强度设计基本思路 增大Wz、Iz与降低M
Page
25
第六章 弯曲应力 •由Iz与Wz的区别看强度与刚度设计 的不同 a
ax
(1 x) a
a I z (1 x)3 (1 3x) 12 2 3 Wz a (1 x)2 (1 3x) 12 在区间(0,1), I z 无极值 1 当x , Wz 有极大值 9
A 0 F2 F1 0 2t t
'
F1
dx t F1
F2
A
t
A 0 t 0
Page 11
第六章 弯曲应力 剪流概念的应用：形象地确定t的方向。 小论文题：试由有限元等方法评价剪流 比拟的精度。
Fs
B
中国最大内陆河新疆塔里木河
Page 12
第六章 弯曲应力 例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向
tmax ： 最大弯曲切应力； [t] ： 材料纯剪切许用应力
• s ,t 联合作用强度条件（详见第9章强度理论） 讨论题：1.强度条件通常解决哪几类问题？ 强度校核、截面形状尺寸设计、确定许用载荷
2.如何确定梁的危险截面与危险点？
Page 17
第六章 弯曲应力 讨论：危险截面是否一定
20 kN
A B
6
10kN m
20kN m
200
69 MPa [s ] 100 MPa
a
30
B截面：
M y 10 10 139 s B C 34.5 MPa [s ] 6 Iz 40.3 10
b 6
y1
z
170
yC
b
·强度足够
30
Page 20
第六章 弯曲应力
t2
H
h
z
y
t1
b 2 2 t 2 h2 2 腹板 S z ( ) ( H h ) ( y ) 8 2 2 Fs t ( y) [b( H 2 h2 ) t 2 ( h2 4 y 2 )] 8 I z t2 Fs t max [bH 2 (b t )h2 ] 8 I z t2
I z y 2dA,
A
I y z 2dA
A
I yz yzdA
A
I p Iz I y
•平行移轴定理与转轴公式
Page 5
第六章 弯曲应力
§6-3 弯曲切应力
一、矩形截面梁(h>b)的弯曲切应力
h2
FS
C
t y
t FS
h2
z
y
x
dx
b2 b2 y
假设: t (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布 思考: 能否假设 t (y) 沿截面高度均匀分布?
第六章 弯曲应力 C截面：
M C y1 20 106 61 sa Iz 40.3 106
sb
20 kN
A B
20 kN
C
D
1m
3m
1m
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：
50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
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第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
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第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN
sM
y
sN sM
20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:
10kN m
20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
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第六章 弯曲应力
梁的弯曲正应力小结
中性轴位置：中性轴过截面形心
中性层曲率：
1
M （I z －惯性矩） EI z （EI z －截面弯曲刚度）
My 正应力公式： s ( y ) Iz
最大应力发生在圆截 面的右上一点
M
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第六章 弯曲应力
上一讲回顾（13）
•矩形截面梁的弯曲切应力: •薄壁截面梁的弯曲切应力:
Fs S z ( ) t ( s) Izt
FS S z ( ) t (y ) Izb
Fs S z ( ) 剪流 q( s) Iz
•梁的强度条件：
s max
s max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： s max s p ，对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
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3
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
O
50 A1
z
60
A2
10
y
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
yc 1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
100
a
a 50
S z ,max 100 10 50 2 80 10 95 1.76 105 mm 3
100
5
ta
Fs S z ,a 2tI z
4 10 1.51 10 10.85 MPa 7 20 2.779 10
4
10
t max
Fs
A
Fs
问题：A处剪流的方向向上还是向下？
Page 13
第六章 弯曲应力 工字形截面梁的弯曲切应力 Fs S z ( ) t ( s)
Izt
Fs
b
翼缘
1 ( H h) 2 1 S z ( ) t1 ( h t ) 2 F (h t1 ) Fs ( H h) t ( ) s 2Iz 4I z t1
t
z
dx
y
t 的大小
F1
dx
t (s)
t ' (s)
同样依据切应力互等定理，将 横向截面上的切应力计算转化 为纵向截面上的切应力计算。
F2
S
w
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第六章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 2.
t 的计算
w w
Fs
t ( s )tdx F2 F1
F1 s dA F2 F1 My M dA S z ( ) Iz Iz
h/b值对解的影响： 横截面上各点假设：t//侧边，或t//剪力
t 沿截面宽度方向均匀分布
F h/b越大，解越精确。(h/b>2时，足够精确)
Page 7
第六章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 1. 问题分析 (1). 切应力 t 方向与分布假定
x
Fs
•沿截面中心线
依据：切应力互等定理 •沿截面厚度均匀 (2)、计算
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第六章 弯曲应力 弯曲正应力与弯曲切 应力比较
l
F
s max
s max t max
3F Fl 6Fl t max 2 2 bh bh2 bh 6 6Fl 2bh l 2 4 当 l >> h 时，smax >> tmax bh 3F h
b
C
z
h
y
Fs S z ( ) q( s) Iz
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第六章 弯曲应力 梁的强度条件 • 弯曲正应力强度条件：
s max
M W [s ] z max
smax：最大弯曲正应力；[s] ：材料单向应力许用应力
•弯曲切应力强度条件：
t max
FS Sz ,max [t ] I zd max
20 kN
C
D
是弯矩绝对值最大截面？
1m 3m 1m
画剪力弯矩图
M 图:
My s Iz
C截面：弯矩绝对值最大。a点拉应 力，b点压应力都可能达危险值。 B截面：弯矩绝对值不是最大， 但b点拉应力可能达危险值。
10kN m
20kN m
200
a
30
y1
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170
yC
b 30
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第六章 弯曲应力
M [s ] Wz max
FS S z ,max t max [t ] I zd max
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第六章 弯曲应力 引言：梁合理强度设计的理论依据与设计思路
M My 依据 s = , s Wz Iz
FS S z ( ) t Izd
合理强度设计基本思路 增大Wz、Iz与降低M
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25
第六章 弯曲应力 •由Iz与Wz的区别看强度与刚度设计 的不同 a
ax
(1 x) a
a I z (1 x)3 (1 3x) 12 2 3 Wz a (1 x)2 (1 3x) 12 在区间(0,1), I z 无极值 1 当x , Wz 有极大值 9
A 0 F2 F1 0 2t t
'
F1
dx t F1
F2
A
t
A 0 t 0
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第六章 弯曲应力 剪流概念的应用：形象地确定t的方向。 小论文题：试由有限元等方法评价剪流 比拟的精度。
Fs
B
中国最大内陆河新疆塔里木河
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第六章 弯曲应力 例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向
tmax ： 最大弯曲切应力； [t] ： 材料纯剪切许用应力
• s ,t 联合作用强度条件（详见第9章强度理论） 讨论题：1.强度条件通常解决哪几类问题？ 强度校核、截面形状尺寸设计、确定许用载荷
2.如何确定梁的危险截面与危险点？
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第六章 弯曲应力 讨论：危险截面是否一定
20 kN
A B
6
10kN m
20kN m
200
69 MPa [s ] 100 MPa
a
30
B截面：
M y 10 10 139 s B C 34.5 MPa [s ] 6 Iz 40.3 10
b 6
y1
z
170
yC
b
·强度足够
30
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第六章 弯曲应力
t2
H
h
z
y
t1
b 2 2 t 2 h2 2 腹板 S z ( ) ( H h ) ( y ) 8 2 2 Fs t ( y) [b( H 2 h2 ) t 2 ( h2 4 y 2 )] 8 I z t2 Fs t max [bH 2 (b t )h2 ] 8 I z t2
I z y 2dA,
A
I y z 2dA
A
I yz yzdA
A
I p Iz I y
•平行移轴定理与转轴公式
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第六章 弯曲应力
§6-3 弯曲切应力
一、矩形截面梁(h>b)的弯曲切应力
h2
FS
C
t y
t FS
h2
z
y
x
dx
b2 b2 y
假设: t (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布 思考: 能否假设 t (y) 沿截面高度均匀分布?
第六章 弯曲应力 C截面：
M C y1 20 106 61 sa Iz 40.3 106
sb
20 kN
A B
20 kN
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1m
3m
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