数字逻辑 1：数制及其转换

《数字逻辑》 第一章·数制及其转换
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反码运算
[X]反 = 0101 1010 [-Y]反 = 1110 0110
即[Z]反 = 0100 0001，其真值为 Z = +100 0001。 ， 。
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补码运算
[X]补 = 0101 1010 [-Y]补 = 1110 0111
十进制与二、 十进制与二、八、十六进制数 对照表
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二、八、十六进制→十进制 十六进制→
转换成十进制数。 【例】将二进制数11010.11转换成十进制数。 将二进制数 转换成十进制数
【例】将八进制数204.5转换成十进制数。 转换成十进制数。 将八进制数 转换成十进制数
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补码
（Complement Number） ）
定点小数补码定义： 定点小数补码定义：设二进制小数 X = ±0.x-1x-2·· = +0.101 1001，X2 = -0.101 1001的补 ， 的补 码。 解：[X1]补 = 0.101 1001 [X2]补 = 2+(-0.101 1001) = 10 – 0.1011 001 = 1.010 0111
即[Z]补 = 0100 0001，其真值为 Z = +100 0001。 ， 。
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BCD码 码
（Binary Coded Decimal） ）
将每个十进制数用4位二进制数表示， 将每个十进制数用 位二进制数表示，且指定按序 位二进制数表示 排列的二进制数的前十种代码依次表示十进制数的 0～9。 ～ 。 N = 8x3+4x2+2x1+x0 对应的十进制数。 【例】求8421BCD码0101对应的十进制数。 码 对应的十进制数 的按权展开式为： 解：8421BCD码0101的按权展开式为： 码 的按权展开式为 N = 8×0+4×1+2×0+1×1 = 4+1 = 5 × × × × 表示十进制数5。 即8421BCD码0101表示十进制数 。 码 表示十进制数
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格雷码与二进制码对照表
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格雷码实例
【例】已知二进制码为1110，求其对应的格雷码。 已知二进制码为 ，求其对应的格雷码。 解：
即二进制码1110对应的格雷码为 对应的格雷码为1001。 即二进制码 对应的格雷码为 。
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十进制→二、八、十六进制 十进制→
小数转换（ 小数转换（基数乘法 ） 将十进制数0.3125转换成二进制小数。 转换成二进制小数。 【例】将十进制数 转换成二进制小数
即(0.3125)10 = (0.0101)2 。
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【例】八进制数204.53可以表示为 八进制数 可以表示为
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十六进制（Hexadecimal） ）
任意十六进制数H可以表示成 任意十六进制数 可以表示成
【例】十六进制数2EB5.C9可以表示为 十六进制数 可以表示为
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奇偶校验码（Parity Code） ）
它由若干个信息位加一个校验位构成， 它由若干个信息位加一个校验位构成，其中校验位 的取值（ 或 ）将使整个代码中的“ 的个数为奇 的取值（0或1）将使整个代码中的“1”的个数为奇 数或为偶数。 的个数为奇数则称为奇校验； 数或为偶数。若“1”的个数为奇数则称为奇校验； 的个数为奇数则称为奇校验 的个数为偶数则称为偶校验。 若“1”的个数为偶数则称为偶校验。 的个数为偶数则称为偶校验
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原码（True Form） ）
整数原码的定义： 整数原码的定义：设二进制整数 X = ±xn-1xn-2···x0，则其原码定义为
的原码。 【例】求X1 = +100 1011，X2 = -100 1011的原码。 ， 的原码 解：[X1]原 = 0100 1011 [X2]原 = 27– (-100 1011) = 1000 0000 + 100 1011 = 1100 1011
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补码
（Complement Number） ）
整数数补码的定义： 整数数补码的定义：设二进制整数 X = ±xn-1xn-2···x0，则其补码定义为
【例】求X1 = +100 1011，X2 = -100 1011的补码。 ， 的补码。 的补码 解：[X1]补 = 0100 1011 [X2]补 = 28 + (-100 1011) = 1 0000 0000 – 100 1011 = 1011 0101
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原码运算
【例】求Z ＝ X – Y。其中 ＝+101 1010，Y＝ 。其中X＝ ， ＝ +001 1001。 。 [Y]原 = 0001 1001 解：[X]原 = 0101 1010,
即[Z]原 = 0100 0001，其真值为 Z = +100 0001。 ， 。
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数的表示方法
位置计数法
多项式表示法
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十进制（Decimal） ）
任意十进制数D可以表示成 任意十进制数 可以表示成
【例】十进制数2004.98可以表示为 十进制数 可以表示为
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余3码（Residue 3 Code） 码 ）
码是另一种BCD码，它是由 码加3后形成 余3码是另一种 码是另一种 码 它是由8421码加 后形成 码加 的。 用余3码对 码对(28)10进行编码。 进行编码。 【例】用余 码对 对应的余3码分别是 解：2、8对应的余 码分别是 、 对应的余 0010+0011=0101， 0010+0011=0101，1000+0011=1011 即(28)10 = (0101 1011)余3。
转换成十进制数。 【例】将十六进制数EB5.C转换成十进制数。 将十六进制数 转换成十进制数
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十进制→二、八、十六进制 十进制→
整数转换（ 整数转换（基数除法 ） 将十进制数45转换为二进制数 转换为二进制数。 【例】将十进制数 转换为二进制数。
即(45)10 = (101101)2。
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8421奇偶校验码 奇偶校验码
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CRC码 码
（Cyclic Redundary Check） ）
CRC码中采用“模2运算”，即加减无进位或借位。 码中采用“ 运算” 即加减无进位或借位。 码中采用 运算 CRC码中引入了代码多项式的概念，即将一个二进 码中引入了代码多项式的概念， 码中引入了代码多项式的概念 制序列与代码多项式一一对应。 制序列与代码多项式一一对应。如：二进制序列 1 0110 0111对应代码多项式为 对应代码多项式为
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反码（Negative Number） ）
定点小数反码的定义： 定点小数反码的定义：设二进制小数 X = ±0.x-1x-2···x-m，则其反码定义为
【例】求X1 = +0.101 1001，X2 = -0.101 1001的 ， 的 反码。 反码。 解：[X1]反 = 0.1011001 [X2]反 = 2+(-0.101 1001) – 2-7 = 10 – 0.101 1001 – 0.000 0001 = 1.010 0110
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反码（Negative Number） ）
整数反码的定义： 整数反码的定义：设二进制整数 X = ±xn-1xn-2···x0，则其反码定义为
1011， 1011的反码 的反码。 【例】求X1 = +100 1011，X2 = -100 1011的反码。 解：[X1]反 = 0100 1011 [X2]反 = 28+(-100 1011) – 1 = 1 0000 0000 – 100 1011 – 1 = 1011 0100
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原码（True Form） ）
定点小数原码定义： 定点小数原码定义：设二进制小数 X = ±0.x-1x-2···x-m，则其原码定义为
【例】求X1 = +0.101 1001， X2 = -0.101 1001的 ， 的 原码。 原码。 解：[X1]原 = 0.101 1001 [X2]原 = 1–(-0.101 1001) = 1+0.101 1001 = 1.101 1001
第一章 数制及其转换
计算机科学学院 朱勇 zhudz_1964@ zhudz_1964@
数制（Number System） ）
人们常用一组符号并根据一定的规则来表示数值的 大小，这些符号和规则构成了不同的进位计数制， 大小，这些符号和规则构成了不同的进位计数制， 简称数制。 简称数制。 基数是指计数制中所用到的数字符号的个数。 基数是指计数制中所用到的数字符号的个数。 位权是指在一种进位计数制表示的数中， 位权是指在一种进位计数制表示的数中，用来表明 不同数位上数值大小的一个固定常数。 不同数位上数值大小的一个固定常数。
二进制→八、十六进制 二进制→ 分法） （n分法） 分法
【例】将二进制数10110001101011.1111001分别 将二进制数 分别 转换成八进制和十六进制数。 转换成八进制和十六进制数。
即(10110001101011.1111001)2 = (26153.744)8；
即(10110001101011.1111001)2 = (2C6B.F2)16。
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八、十六进制→二进制 十六进制→ 分法） （n分法） 分法
转换成二进制数。 【例】将八进制数673.124转换成二进制数。 将八进制数 转换成二进制数
即(673.124)8 = (110111011.0010101)2。
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格雷码（Gray Code） ）
在格雷码编码中， 在格雷码编码中，任意两个相邻的代码只有一位二 进制数不同。 进制数不同。 从二进制转换成格雷码的规则如下： 从二进制转换成格雷码的规则如下： 设二进制码为： ＝ 设二进制码为：B＝Bn-1…Bi+1Bi…B0，对应的格雷 码为G＝ 则有G 码为 ＝Gn-1…Gi+1Gi…G0，则有 n-1＝Bn-1， Gi＝Bi+1⊕Bi
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机器码（Machine Code）与 ） 真值 （Truth Value） ）
人们通常在数值的前面加“+”表示正数（ +”通 人们通常在数值的前面加“+”表示正数（“+”通 表示正数 常也可以省略）， ），加 表示负数。 常也可以省略），加“-”表示负数。这种表示称 为符号数的真值。 为符号数的真值。 在数字系统中，符号和数值一样是用0 来表示的， 在数字系统中，符号和数值一样是用0和1来表示的， 一般将数的最高为作为符号位，通常用0表示正， 一般将数的最高为作为符号位，通常用0表示正， 表示负。 用1表示负。这种将符号和数值统一编码表示的二 进制数称为机器数或机器码。 进制数称为机器数或机器码。常用的机器码主要有 原码、反码和补码三种。 原码、反码和补码三种。
二进制（Binary） ）
任意二进制数B可以表示成 任意二进制数 可以表示成
【例】二进制数11010.11可以表示为 二进制数 可以表示为
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二进制运算规则
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八进制（Octal ）
任意八进制数C可以表示成 任意八进制数 可以表示成