直线与方程知识点总结与题型

第三章：直线与方程的知识点

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倾斜角与斜率

1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上

两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21

21

y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴

垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：

（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….

直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.

2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.

4. 注意：0

0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后

者才是整条直线.

直线的两点式方程

1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为

11

2121

y y x x y y x x --=

--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x y

a b

+=.

3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.

4. 线段12P P 中点坐标公式1212

(

,)22

x x y y ++. 直线的一般式方程

1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为

斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C

B

-的直线.

2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0

Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.

3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；

（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A

B A B ⇔-≠. 如果2220A B

C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222

A B C

A B C ⇔==；1l 与2l 相交

1122

A B

A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组111222

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩. 若方程

组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离

1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y

，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；

点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=

的距离公式为d =

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，

22:0l Ax By C ++=

之间的距离公式d ，推导过程为：在直线2l 上任取一点

00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线

11:0l Ax By C ++=

的距离为d =

=