抛物线的定义
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结一、抛物线的定义抛物线是平面上一个点沿着一条直线运动，同时受到一个恒定的垂直于直线的力的作用，这种轨迹叫做抛物线。
抛物线是由二次函数关系定义的曲线。
它是平面上一点到直线上一点的距离与这一点到定点的距离成比例的轨迹。
二、抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
2. 抛物线的顶点为(-b/2a, c-b^2/4a)。
三、抛物线的性质1. 抛物线的开口方向由二次项系数a的正负号决定。
若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
2. 抛物线的轴对称线为x=-b/2a，即抛物线的顶点为轴对称点。
3. 抛物线在顶点处的切线平行于x轴。
4. 抛物线的焦点可表示为(F, p)，其中F是焦点坐标，p=1/4a是抛物线焦点到顶点的距离。
5. 抛物线的定点到焦点的距离等于焦距。
6. 过抛物线的顶点和焦点的直线称为抛物线的焦线，焦点为该直线的对称中心。
7. 对于平行于抛物线轴的直线，其交点到焦点距离都相等。
四、抛物线的方程求解1. 已知顶点和焦点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=2px。
2. 已知焦点和直线求抛物线方程：设焦点为(F,p)，直线为l:x=ay+b，则抛物线的标准方程为：y^2=2px3. 已知抛物线的焦点和焦距求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，焦距为2a，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=4ax。
4. 已知抛物线的焦点和顶点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，顶点为(V, q)，则抛物线的标准方程为：(y-q)^2=4a(x-v)。
5. 已知抛物线上3点求抛物线方程：设抛物线上3点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则通过抛物线的标准方程组成三元二次函数方程，再通过该方程求解。
五、抛物线的应用1. 计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和图案。
抛物线的概念
抛物线的概念1. 定义抛物线是指一个平面曲线，它的形状类似于一个由一个定点（称为焦点）和一条曲线（称为准线）上的所有点构成的路径。
它是一个二次曲线，由一个二次方程所描述。
抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是实数，且 a ≠ 0。
具体来说，在抛物线上任意一点的坐标（x，y）满足上述方程。
2. 关键概念抛物线的关键概念包括焦点、准线、顶点、对称性和方程参数的含义。
2.1 焦点和准线抛物线的焦点是指一个定点，位于抛物线的内部，并且到抛物线上的任意一点的距离到焦点都相等。
抛物线的准线是指一条直线，位于抛物线的水平轴上方或下方，并与焦点的距离相等。
2.2 顶点抛物线的顶点是指抛物线的最高点或最低点，位于焦点与准线的交点处。
顶点的坐标可以通过将抛物线的标准方程转化为顶点形式来确定。
抛物线的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
2.3 对称性抛物线具有轴对称性，也就是说，它关于一条垂直于准线通过顶点的直线对称。
抛物线的焦点和顶点都位于对称轴上。
对称轴的方程为：x = -b/2a。
2.4 方程参数的含义抛物线方程中的参数 a、b 和 c 分别对应于抛物线的形状、方向和位置。
•参数 a 控制了抛物线的开口方向和形状：–当 a > 0 时，抛物线开口向上，形状为向上的 U 形。
–当 a < 0 时，抛物线开口向下，形状为向下的 U 形。
•参数 b 控制了抛物线的位置和对称性：–当 b = 0 时，抛物线的对称轴与 y 轴平行，抛物线是关于 y 轴对称的。
–当b ≠ 0 时，抛物线的对称轴与 y 轴不平行，抛物线不是关于 y 轴对称的，而是关于一个垂直于 y 轴的直线对称的。
•参数 c 控制了抛物线的位置：–当 c > 0 时，抛物线在 y 轴以下。
–当 c < 0 时，抛物线在 y 轴以上。
抛物线的全部知识点
抛物线的全部知识点抛物线是数学中非常重要的曲线之一，它在物理、工程和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
以下是抛物线的全部知识点：1. 抛物线的定义：抛物线是平面上各点到一个定点（焦点）与该定点所在直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
通常我们用二次函数的标准形式来表示抛物线：y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数，且a≠0。
2.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上到该点的距离与抛物线与x 轴的距离之比为常数的点。
准线是与焦点等距的直线。
3.抛物线的对称轴：对称轴是通过焦点和抛物线上其它任意一点的直线，它将抛物线分成两部分，且两部分是对称关系。
4.抛物线的顶点：顶点是抛物线上曲线最高或最低点的坐标。
在标准形式的二次函数中，顶点的x坐标为-x轴的对称轴的值，y坐标为函数的极值。
5.抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
6.抛物线的焦距和直径：焦距是焦点到准线的距离，直径是准线上两个焦点之间的距离，直径是焦距的两倍。
7. 抛物线的标准形式和顶点形式转换：通过平移和缩放，可以将二次函数转换为标准形式或顶点形式。
标准形式的抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是常数；顶点形式的抛物线方程为y = a(x-h)^2 + k，其中(a,b)为顶点的坐标，h为顶点的x坐标，k为顶点的y坐标。
8. 抛物线的焦点和准线的坐标计算：焦点的坐标为(x,y)，其中x = -b/2a，y = (4ac-b^2)/4a。
准线的方程为x = -b/2a。
9.抛物线的性质：抛物线是连续曲线，没有断点；抛物线是光滑曲线，没有拐点；对于开口向上（a>0）的抛物线，它是上升曲线；对于开口向下（a<0）的抛物线，它是下降曲线。
10.抛物线的切线和法线：切线是曲线上其中一点的切线，与曲线在该点的切点重合。
法线是与切线垂直的直线。
11.抛物线的渐近线：抛物线的对称轴和渐近线没有交点，但抛物线的顶点离开对称轴趋近于无穷远时，它会与对称轴越来越接近，近似成为渐近线。
抛物线概念
抛物线概念Parabola是一种最完美的抛物线，它的英文意思是“两极相同的形状；一条弯曲的线；一条抛物线”，在数学中它是由$y=ax^2+bx+c$ 这个二次曲线函数表示的，是空间中抛物线的表示，是学习椭圆形状及其展开方面的基本技能。
抛物线是一种几何形状，它可以形成圆，椭圆，茎状物和其它形状所形成的几何图形。
与矩形，正方形，长方形，三角形等基本几何形状不同，抛物线并不是简单地用一组点来表示的，也就是说，抛物线是一种动态的实体，它的状态在每个刻度上都是不同的，这就是它的神奇之处。
抛物线是以椭圆为基础形状并具有两个轴对称特性而形成的，它是数学上一种精确的几何形状，它的定义与分类有三种，即双曲线，抛物线和抛物面。
抛物线的函数是$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq 0$。
因为$a\neq 0$，因此抛物线在$x$轴上保持对称，两条曲线贴近$x$轴而形成抛物状，中心在$x$轴上的点$(-\frac{b}{2a}, 0)$，同时还有$y$轴的中心点$(0,c)$。
抛物线的函数要求$a>0，b>0$时，抛物线开口向上；当$a<0，b<0$时，抛物线开口向下。
抛物线有广泛的应用，如炮筒弹道（向上开口）和地势形状（向下开口）等，还可以用来描述力学和弹性力学当中的加速度的轨迹，有的行星的运动也遵循抛物线曲线，都有抛物线的身影。
抛物线有着非常完美的几何结构，它非常稳定，它能与空间中的点，线，面等其它几何形状结合起来，可以通过它研究几何形状，它也可以作为几何中非常重要的部分，并作为数学模型来表示实际中非常常见的形状。
所以抛物线是一个非常有用而又不随时间变化的几何形状，它也正在为我们提供着极大的帮助。
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
关于抛物线的知识点总结
关于抛物线的知识点总结抛物线是数学中的一种二次曲线，其形状类似于一个开口朝下的弧形。
它在物理学、工程学、建筑学等领域中有广泛应用。
本文将对抛物线的知识点进行总结，包括定义、性质、公式以及应用等方面。
一、定义抛物线是一个平面曲线，它的定义可以通过以下两种方式进行：1. 通过焦点和直线的定义：抛物线是到定点（称为焦点）距离等于到定直线（称为准线）距离的所有点的轨迹。
2. 通过二次方程的定义：抛物线是二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）图像所表示的曲线。
二、性质1. 抛物线对称性：对于任意一条抛物线，它都具有关于其顶点对称的性质。
2. 抛物线顶点：抛物线上最高或最低点称为顶点，该点位于准线上方或下方，并且满足y轴方向上没有其他极值。
3. 抛物线切线斜率：在任意一点处，抛物线切线斜率等于该处导数值。
4. 抛物线焦距：焦距是指准线到焦点的距离，用f表示。
对于标准形式的抛物线y=x²，其焦距为1/4。
5. 抛物线离心率：离心率是指焦距与顶点到准线的距离之比，用e表示。
对于标准形式的抛物线y=x²，其离心率为1。
6. 抛物线方程：抛物线的一般方程为y=ax²+bx+c（a≠0），其中a控制开口方向和大小，b控制左右移动，c控制上下移动。
三、公式1. 抛物线顶点坐标公式：对于一般形式的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
2. 抛物线切线斜率公式：在任意一点处，抛物线切线斜率等于该处导数值，即dy/dx=2ax+b。
3. 抛物线焦距公式：对于一般形式的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），其焦距为f=1/(4a)。
4. 抛物线离心率公式：对于一般形式的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），其离心率为e=sqrt(1+4a²/b²)。
四、应用抛物线在物理学、工程学、建筑学等领域中有广泛应用，以下是其中的几个例子：1. 抛物线运动：当一个物体在重力作用下运动时，其轨迹为一条抛物线。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。
在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。
1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。
其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。
当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。
这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。
（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。
焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。
（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。
（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。
（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。
求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。
3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。
在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。
抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。
抛物线定义及标准方程
抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。
抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。
首先，我们来看抛物线的定义。
如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。
根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。
其次，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。
根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。
将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。
最后，我们来看一些抛物线的性质。
首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。
其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
最后，抛物线的焦距为|4a|p。
这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。
通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。
希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。
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抛物线的定义
温宿二中王蕊
一、教学目标
1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；
2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；
3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；
4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美.
教学重点:
1.掌握抛物线的定义与相关概念；
2.掌握抛物线的标准方程；
教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.
四、教学问题诊断
本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难点的突破我采取的策略是：
1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线.
2.鉴于抛物线的画法比较复杂，用教具难以操作，因此我运用多媒体来演示画抛物线的过程.另外，画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显，对学生的抽象能力要求比较高，为此，我设置了两个问题，为学生发现抛物线的几何特征作铺垫.
3.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点不在直线上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.
另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略：
1.坐标系的建立——教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳.
2.求抛物线的方程——全班学生分工，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程.
3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题4，先让学生独立思考，再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.
五、教学过程
教学过程
设计说明
一、课堂导入
1.生活中的抛物线：
（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；
2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；
（3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的.
2.数学中的抛物线：
一元二次函数的图像是一条抛物线.
提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？
通过生活中的抛物线使学生认识到学习抛物线的必要性.
通过问题引入引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望.
二、抛物线的定义
1.抛物线的画法
（1）介绍作图规则.
（2）动画展示作图过程.
提出问题：笔尖所对应的点满足的几何关系是什么？
（3）分析作图过程
提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？
提出问题：在作图过程中，绳长，，，，中，哪些量没有变？哪些量变了？
（4）结论
点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等于它到直尺的距离.
2.抛物线的定义
问题1：你能给抛物线下个定义吗？
抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线. 问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线.
3.抛物线的相关概念：
定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线.
设，焦点到准线的距离.
抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点
抛物线的画法比较复杂，让学生自己画抛物线，操作起来很困难，学生很难完成.因此我运用多媒体信息技术来演示画抛物线的过程.
通过两个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础.
加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解.
这是教材的第一个思考交流，目的是对抛物线定义的应用，同时也给出了课堂导入时所给问题的一种解决方法.
三、抛物线的方程
.方程推导
1）建
请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系.
（2）推导
问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由
提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程.
三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好.
：焦点到准线的距离.
3.思考交流
问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流.
教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，并用投影仪展示.
通过问题3，让学生分工求出三种建系下的方程，为标准方程的理解奠定基础.
部学生在推导方程时存在困难，故给出提示.
这是教材的第二个思考交流，目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共有四种形式，加深学生对抛物线标准方程的理解.
大部分学生解决问题4所用的方法都是图像变换法.
图像
抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式.
4.例题分析
例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
（1）；（2）；
2.根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）焦点：；（2）准线：.
课本中的例题只涉及了抛物线标准方程的一种形式，无法达到巩固知识的目的.因此，我更换了教材的例题，例1是由方程求图像，例2是由图像求方程.并且两个例题中的4个小题正好包含了抛物线标准方程的四种形式.
四、课堂小结
问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.
1.知识内容：（1）抛物线的定义：
（2）抛物线的标准方程：
①焦点在轴正半轴：；
②焦点在轴负半轴：；
③焦点在轴正半轴：；
④焦点在轴负半轴：.
2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.
3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.
培养学生梳理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力.
五、课后延伸
1.课后作业
书，P76，A组，2题，3题，4题.
2.课后思考
请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数的图像是一条抛物线？
3.课后延展
（1）抛物线型桥梁
通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长江大桥，宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁.
提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点？有哪些优点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征？
（2）卫星.
提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质？
对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨. 是对这节课所学方法的巩固和对初中所学相关内容的同化，也是为下节课作好铺垫.
感受抛物线的广泛应用和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情.。