抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质

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高中抛物线知识点总结

高中抛物线知识点总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和深厚的理论基础。

在高中数学中，我们学习了抛物线的方程、性质、图像以及与二次函数、解析几何等知识的关联。

本文将对高中抛物线的相关知识进行总结和梳理，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。

一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上到定点距离与到定直线距离相等的动点所形成的轨迹。

其方程通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

抛物线具有以下基本性质：1. 它的对称轴是与x轴垂直的直线，过顶点。

2. 它的顶点是抛物线的最低点或最高点。

3. 它开口的方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

4. 它的图像关于对称轴对称。

二、抛物线的图像与方程通过对抛物线的方程进行分析，我们可以得到一些关于抛物线图像的信息。

1. 抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的极值点（即导数为0的点）得到。

顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。

2. 当a>0时，抛物线的图像开口向上，极值点是最低点；当a<0时，抛物线的图像开口向下，极值点是最高点。

3. 当抛物线的方程为y=ax^2+bx+c时，通过对y的值进行分析我们可以得到抛物线的开口大小和位置信息。

三、抛物线与二次函数的关系抛物线是二次函数的特殊图像，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。

通过对比抛物线与二次函数的方程，我们可以得到它们之间的关系。

1. 抛物线与二次函数的图像形状相同，二次函数可以表示抛物线的图像；2. 二次函数告诉我们抛物线的方程形式，可以通过方程的系数判断抛物线打开的方向和大小，掌握二次函数的性质有助于理解和研究抛物线。

四、抛物线与解析几何的关系抛物线在解析几何中有重要的应用和意义，特别是在平面直角坐标系中。

抛物线的方程可以表示平面上的曲线，通过解析几何的相关知识我们可以分析抛物线的性质和特点。

高中抛物线知识点总结

高中抛物线知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程学和其他领域。

在高中数学课程中，学生需要学习抛物线的基本性质、方程形式以及与实际问题的应用。

本文将对高中抛物线的知识点进行总结，包括抛物线的定义、性质、方程形式和常见问题解析等内容。

一、抛物线的定义抛物线是平面上一类特殊曲线，其定义可以从几何和代数两个角度来解释。

从几何角度看，抛物线是所有与一个定点（焦点）到平面上一条直线（准线）的距离之比等于到该直线距离平方的曲线。

从代数角度看，抛物线可以用二次函数的形式来表示，即f(x) = ax² + bx + c （a≠0）。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点也是准线的对称中心。

2. 定义域和值域：抛物线的定义域为全体实数，值域取决于抛物线开口的方向。

3. 零点和判别式：抛物线的零点为方程f(x) = ax² + bx + c = 0的实根，判别式Δ=b²-4ac 可用于判断抛物线的零点情况。

a）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实根；b）当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有一个实根；c）当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实根。

4. 单调性：抛物线的开口方向决定了其单调性，开口向上时，抛物线是向上开口并且在焦点处取得最小值；开口向下时，抛物线是向下开口并且在焦点处取得最大值。

5. 导数和凸凹性：抛物线的导数为二次函数f'(x) = 2ax + b，凹凸性取决于a的正负：当a>0时，抛物线朝上凹；当a<0时，抛物线朝下凸。

三、抛物线的方程形式1. 标准形式：对于抛物线f(x) = ax² + bx + c，当a≠0时，可以通过平移坐标轴的方法使其化简为标准形式y = x²，此时焦点为原点(0,0)。

2. 顶点形式：通过平移坐标轴的方法，将抛物线的顶点移动至坐标原点，得到顶点形式y = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。

抛物线的概念性质几何意义

抛物线的概念性质几何意义抛物线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的概念性质和几何意义。

在本文中，我们将探讨抛物线的这些性质，并详细解释其几何意义。

首先，抛物线可以通过以下的数学定义来描述：抛物线是一个平面曲线，其点到焦点的距离等于点到准线的距离。

这个定义可以形式化为抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，并且a不等于0。

几何意义上，抛物线具有以下性质：1.对称性：抛物线是关于焦点所在的直线（称为对称轴）对称的。

这意味着，如果我们选择抛物线上的一个点P，并且通过对称轴绘制一条垂直于对称轴的线，那么这条线将穿过抛物线的两个点，其中一个是P的镜像。

这种对称性使得抛物线在几何和物理问题中具有重要的应用。

2.焦点和准线：抛物线的焦点是其特殊的点，它位于对称轴上。

焦点的几何意义是，对于通过焦点的任意直线，该直线与抛物线的两个切点之间距离相等。

这个性质被广泛应用于抛物物镜、卫星天线和汽车大灯等设计中。

3.方程的系数：抛物线方程的系数a、b和c对其形状产生影响。

如果a的值大于0，抛物线将开口向上；如果a的值小于0，抛物线将开口向下。

同时，a的绝对值决定了抛物线的曲率程度，绝对值越大，曲线越陡峭。

通过调整这些系数，我们可以调整抛物线的形状和位置。

4.最值点：抛物线的最值点是其曲线上的最高点（顶点）和最低点（谷底）。

顶点的x坐标可以通过抛物线方程的关键点公式计算，即x=-b/(2a)。

这个点对应于抛物线的对称轴上的点，同时也是其焦点的位置。

5.切线和法线：抛物线上的任意一点P处的切线是通过该点的抛物线曲线的切线，其斜率等于该点处的导数。

法线则是与切线垂直的线。

抛物线具有特殊的性质，即通过顶点的切线和准线平行，通过焦点的切线和准线垂直。

这些性质在物理学中的运动学问题中非常有用。

6.面积和弧长：抛物线上的面积可以通过定积分计算，其具体形式可以根据抛物线方程来确定。

同样，抛物线的弧长也可以通过定积分来计算，其结果是一个复杂的参数方程。

高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。

抛物线的定义、标准方程及几何性质

高二数学学案序号 114-115高二年级班教师毕环学生复习三十六抛物线的定义、标准方程及几何性质〖学习目的〗1、掌握抛物线的定义、标准方程及性质；2、会用定义、性质解决简单问题；会求抛物线的标准方程；〖重点难点〗定义的理解及应用、四种标准方程的区别和联系〖教学过程〗一、复习归纳1、抛物线的定义：平面内与定点F 和一直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线，（注：定点F 不在定直线l 上）其中：定点F 叫焦点；定直线l 叫准线；注：当定点F 在定直线l 上时，动点轨迹是过点F 与l 垂直的直线。

2、抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：1）焦半径：指抛物线上的点与焦点的连线；2）通径：指经过焦点的最短的弦；3）p （p>0）的几何意义：焦点到顶点的距离为2p；焦点到准线的距离为p ；通径长为p 2。

4）焦点在x 轴（或以x 轴为对称轴）的抛物线统一方程：)0(2≠=a ax y ；焦点在y 轴（或以y 轴为对称轴）的抛物线统一方程：)0(2≠=a ay x ； 5）抛物线的张口大小与p 有关，p 越大，张口也越大；二、例题讲解：例1、（1）已知抛物线的标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F （0，-2），求它的标准方程；例2、根据下列条件，求抛物线的标准方程（1）顶点在原点、焦点在x 轴上，且顶点与焦点的距离为6；（2）顶点在原点、对称轴为y 轴，且经过点（-6，-3）；（3）焦点在直线3x-4y-12=0上；（4）抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ,（5）已知抛物线的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ,求它的标准例3、抛物线x y 122=上一点M 到准线的距离为6，求点M 到焦点的距离和M 的坐标。

例4、过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为43π的直线交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 的长。

抛物线的像及其性质

抛物线的像及其性质抛物线是一种经典的数学曲线，具有许多独特的性质和应用。

本文将探讨抛物线的像以及与其相关的性质，带您深入了解这一有趣的几何形状。

1. 抛物线的定义和基本性质抛物线可以由以下标准方程表示：y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

这个方程确定了抛物线的形状和位置。

其中，a决定了抛物线的开口方向（向上或向下），b影响抛物线的位置和对称性，c是抛物线与y轴的截距。

对于任意给定的a、b、c值，抛物线总是具有以下基本性质：- 抛物线关于与y轴垂直的直线x = -b/(2a) 对称。

- 抛物线开口方向由a的正负决定，当a>0时开口向上，a<0时开口向下。

- 抛物线在顶点处取得极值。

当a>0时，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，顶点是抛物线的最高点。

- 抛物线在顶点处与x轴平行。

- 当抛物线的a值越大（或者越小），开口越窄，形状越扁平（或者宽胖）。

2. 抛物线的像在数学和物理学中，抛物线的像是指一个点经过抛物线的反射后所出现的位置。

这一概念在光学和物体运动的研究中有广泛的应用。

具体而言，当光线或物体以一定的角度和速度与抛物线相交时，其反射路径会形成一条新的曲线，称为像曲线。

像曲线是抛物线的镜像，并具有与原始抛物线相似的形状和性质。

抛物线的像具有以下特点：- 抛物线的顶点在像曲线的焦点处。

- 抛物线的对称轴与像曲线的对称轴重合。

- 抛物线的凹部面向像曲线的凸部。

- 抛物线的任意一点P与像曲线上对应点P'之间的切线相互垂直。

3. 抛物线的性质除了上述提到的基本性质和像的概念外，抛物线还有一些其他有趣的性质和应用。

（1）焦点和准线抛物线的焦点是指使得从焦点出发的光线或平行光线经抛物线反射后汇聚于另一点的位置。

焦点的位置可以通过抛物线的标准方程求得。

抛物线还有一条垂直于对称轴且位于焦点一侧的直线，称为准线。

准线的长度等于焦点到对称轴的垂直距离，可以通过抛物线的标准方程计算。

高二数学抛物线知识点

高二数学抛物线知识点在高二数学学习中，抛物线是一个重要的几何图形，具有很多特殊的性质和应用。

本文将重点介绍高二数学中与抛物线相关的知识点，帮助学生更好地理解和运用抛物线的概念。

一、抛物线的定义与基本性质1. 定义：抛物线是平面上一条曲线，其上每一点到定点（焦点）的距离等于该点到定直线（准线）的距离。

2. 基本性质：- 抛物线关于准线对称。

- 抛物线开口方向由系数a的正负决定。

- 当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方。

- 当抛物线开口向下时，焦点在抛物线的下方。

二、抛物线的标准方程及相关公式1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

2. 焦点坐标的计算公式：焦点坐标为（-b/2a, 1-（b^2-4ac）/4a）。

3. 准线方程的计算公式：准线方程为x = -b/2a。

三、抛物线与二次函数的关系1. 抛物线是二次函数的图像：抛物线可以看作是二次函数y = ax^2 + bx + c的图像。

2. 抛物线的最值点：最值点为抛物线的顶点，坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。

四、抛物线的平移和缩放1. 左右平移：将抛物线的方程中的x替换为(x - h)，即可实现左右平移h个单位。

2. 上下平移：将抛物线的方程中的y替换为(y - k)，即可实现上下平移k个单位。

3. 垂直缩放：将抛物线的方程中的a替换为ka，即可实现垂直方向上的缩放。

五、抛物线的应用1. 物理学中的抛体运动：抛物线是自由落体运动的轨迹，可以用来描述抛体在无空气阻力的情况下的运动轨迹。

2. 工程学中的抛物线天桥：抛物线形状的桥梁设计，可以减少材料用量，提高桥梁的稳定性和美观性。

3. 经济学中的成本与收益关系：某些经济模型中，成本与收益之间的关系符合抛物线的特征。

六、抛物线的相关定理1. 切线定理：抛物线上任一点处的切线与焦点的连线垂直。

2. 弦线定理：抛物线上任一点处的弦线与焦点的连线夹角等于弦线与准线的夹角。

高三抛物线定理知识点

高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。

在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。

本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。

一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。

该定点称为焦点，到直线称为准线。

1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。

2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。

3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。

二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。

对称轴是过焦点和顶点的直线。

1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。

2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。

三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。

在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。

四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。

准线的方程为 x = -f。

五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。

1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。

2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。

六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。

2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。

七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。

2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。

3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。

八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。

1、抛物线的定义、标准方程、几何性质

1、抛物线的定义、几何性质学习目标：理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题重点：抛物线的定义、几何性质难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题知识梳理：抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F 不在直线l 上）．注意：点F 在直线l 上时，轨迹是过点F 且垂直于直线l 的一条直线 2．抛物线四种标准方程的几何性质：轴)轴轴)轴3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦半径：抛物线 )0(22>-=p px y 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离2||||0px PF += 抛物线 )0(22>±=p py x 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离 2||||0py PF +=(5) 焦点弦长：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(,0)2p F (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切(2) 221p y y -=，4221p x x =(3)pBF AF 211=+ (4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p ． 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则221212()()AB x x y y =-+-||11||1212212y y kx x k -+=-+= 分类例析：一、抛物线的定义、几何性质及应用例1（1）过抛物线x y 82=的焦点F 作倾斜角是π43的直线，交抛物线于A,B 两点，则||AB = A ．8B ．28C ．216D ．16（2）（2020新课标1理4）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9（3）经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，则2121x x y y 的值为__________。

抛物线知识点归纳总结

抛物线知识点归纳总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，它在物理、数学等领域都有着广泛的应用。

本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、抛物线的定义。

抛物线是平面上到定点的距离与到定直线的距离之差等于常数的动点轨迹。

通俗地讲，抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两个对称的平滑弧线。

二、抛物线的标准方程。

1. 抛物线的标准方程通常写作，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

2. 抛物线开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 当抛物线与y轴相交时，x=0，代入方程得到抛物线的顶点坐标。

三、抛物线的性质。

1. 对称性，抛物线关于其顶点对称。

2. 切线性质，抛物线上任意一点处的切线与该点处的切线平行于抛物线的对称轴。

3. 焦点和准线，抛物线的焦点是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定点，准线是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定直线。

4. 焦距，抛物线焦点到顶点的距离称为抛物线的焦距。

四、抛物线的应用。

1. 物理学中，抛物线运动是一种常见的运动形式，如抛体运动、炮弹发射等都可以用抛物线来描述。

2. 工程学中，抛物线的形状被广泛运用在建筑、桥梁、汽车等设计中，具有良好的结构稳定性。

3. 数学学科中，抛物线是解析几何和微积分中的重要概念，对于理解曲线的性质和方程有着重要意义。

五、抛物线的变形。

1. 抛物线的平移，通过平移变换可以使抛物线的顶点不位于原点，而是位于任意一点，这时抛物线的标准方程需要经过变换。

2. 抛物线的缩放，通过缩放变换可以改变抛物线的大小，使其开口更大或更小。

3. 抛物线的旋转，通过旋转变换可以使抛物线绕着定点旋转一定角度，这时抛物线的标准方程也需要相应的变换。

六、抛物线的求解。

1. 已知顶点坐标和另一点坐标时，可以直接代入抛物线的标准方程求解抛物线的具体方程。

2. 已知焦点和准线时，可以利用焦点和准线的性质来求解抛物线的具体方程。

抛物线的知识点高二

抛物线的知识点高二抛物线的知识点抛物线是一种经典的曲线形状，它在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和公式，以及一些与抛物线相关的重要知识点。

一、抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。

定义中的焦点和准线的位置关系决定了抛物线的形状。

当焦点位于准线之上时，抛物线开口朝上；当焦点位于准线之下时，抛物线开口朝下。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线具有轴对称性，即关于准线对称。

2. 焦点和准线的距离相等性：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

3. 点的坐标：设焦点为F，准线为x轴，抛物线上任意一点P的坐标为（x，y），则有y² = 2px，其中p是焦距。

4. 切线与焦准关系：抛物线上任意一点P处的切线与焦准线之间的夹角等于切线和准线之间的夹角。

三、抛物线的公式1. 基本形式：对于抛物线的基本形式y²= 2px，焦点在原点处，准线为x轴。

2. 平移形式：对于平移后的抛物线，坐标平移量为(a, b)，则公式变为（y - b）² = 2p（x - a）。

3. 顶点形式：对于抛物线的顶点形式，坐标顶点为(h, k)，则公式变为（y - k）² = 2p（x - h）。

4. 标准方程与顶点形式的关系：标准方程y² = 2px可通过平移得到顶点形式（y - k）² = 2p（x - h）。

五、与抛物线相关的重要知识点1. 抛物线的焦距：焦距p是决定抛物线形状的重要参数，它决定了抛物线的开口大小。

2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程是用参数t表示抛物线上的点坐标，参数方程为x = 2at，y = at²。

3. 抛物线的平移与旋转：抛物线可以通过平移和旋转的方式进行变换，改变其位置和方向。

4. 抛物线的应用：抛物线在物理学中有广泛应用，例如在抛物运动、射击问题和天体运动等方面。

几何中的抛物线性质

几何中的抛物线性质抛物线是数学中的一种特殊曲线，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍抛物线的定义及其基本性质，包括焦点、准线、顶点、对称轴等重要概念。

同时，还将探讨抛物线的相关公式和实际应用，帮助读者更好地理解并应用这一几何形状。

一、抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由焦点到准线的距离始终相等构成。

其数学表达式为：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数且a≠0。

抛物线是一个平滑的U形曲线，向上或向下开口，具有许多独特的性质。

二、抛物线的基本性质1. 焦点和准线：焦点是指离抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等的点。

准线是平行于对称轴，并与抛物线不相交的一条直线。

2. 顶点和对称轴：顶点是指抛物线的最高点或最低点，即曲线的拐点。

对称轴是通过焦点和顶点的直线，也是抛物线的对称轴线。

3. 焦距公式：焦距是指焦点到对称轴的距离。

在一般的抛物线方程中，焦距的计算公式为：f = 1 / (4a)4. 切线和法线：切线是抛物线某一点处切于曲线的直线，而法线则与切线垂直。

5. 弧长和曲率：抛物线的弧长可使用积分计算。

曲率是抛物线某一点处曲线的弯曲程度，由相应的导数或偏导数表示。

三、抛物线的相关公式1. 标准形式：y = ax²2. 顶点坐标：(-b/2a, f(-b/2a))3. 焦点的坐标：(p, a/p)，其中p为焦距4. 准线方程：y = -p5. 切线方程：y = mx + c，其中m是抛物线某一点处的导数，c为相应的截距四、抛物线的实际应用抛物线不仅在数学领域中具有重要意义，还广泛应用于各行各业。

以下是一些抛物线在实际中的应用示例：1. 抛物线反射器：抛物线形状的反射器可以将平行光线聚焦到一个点上，常用于望远镜、卫星天线等设备中。

2. 炮弹的轨迹：抛物线方程可用于计算炮弹射程和最大高度等参数，有助于炮弹的轨迹预测和射击控制。

3. 桥梁设计：在桥梁的设计过程中，抛物线形状能够提供足够的结构安全性和荷载分布均匀性。

高二抛物线知识点总结

高二抛物线知识点总结抛物线是数学中重要的曲线之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和经济等。

在高二数学学习中，学生也要掌握抛物线的相关知识点。

本文将对高二抛物线的知识点进行总结。

一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上满足特定几何关系的点的集合，其定义可以用顶点、焦点和准线来描述。

抛物线的一些重要性质包括：1. 对称性：抛物线关于其准线对称。

2. 焦点和准线的关系：焦点是准线上一点到抛物线上任意一点的距离的中点。

3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线和通过该点的法线垂直。

4. 直径和焦距：通过抛物线顶点的直径，其长度等于焦距的两倍。

二、抛物线的方程高二学生需要学习抛物线的方程形式，抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a ≠ 0，a、b、c为常数。

由此方程可以得到抛物线的顶点坐标、焦点坐标以及准线的方程。

三、焦点和准线的计算对于给定的抛物线，可以通过顶点和焦距的关系计算焦点的坐标。

焦距等于1/4a，其中a为二次项系数。

准线的方程为x = -b/2a。

四、抛物线的平移和缩放通过平移和缩放操作，可以对抛物线进行变换。

平移操作是将抛物线的顶点沿着平移向量进行平移，缩放操作是改变抛物线的大小。

高二学生需要掌握平移和缩放对抛物线方程的影响。

五、求解抛物线与直线的交点在实际问题中，求解抛物线与直线的交点是非常重要的。

高二学生需要掌握如何解这类问题，可以通过联立抛物线方程和直线方程，得到交点的坐标。

六、抛物线的应用抛物线在物理、工程和经济等领域有广泛应用。

一些常见的应用包括：1. 物体的抛体运动：当物体受到重力作用时，其运动轨迹为抛物线。

2. 抛物面太阳能集热器：通过将反射板塑造成抛物面，可以将太阳能集中到焦点上，实现集热和发电。

3. 投射物的轨迹计算：通过抛物线方程，可以计算投射物的高度、距离和到达时间等参数。

总结：通过本文的介绍，我们可以了解到高二抛物线的定义、性质和方程等知识点。

解析几何中的抛物线

解析几何中的抛物线抛物线作为解析几何中的一个重要概念，在数学中有着广泛的应用。

它是指平面上满足一定几何特征的曲线，具有独特的性质和形态。

本文将深入探讨抛物线的定义、性质和应用。

一、抛物线的定义抛物线是平面上所有离定点（焦点）距离等于定直线（准线）距离的点的轨迹。

焦点和准线的关系是抛物线的核心要素。

在解析几何中，我们通常使用坐标系来描述抛物线，其中焦点的坐标为(Fx, Fy)，准线的方程为y = Px。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，即抛物线上任意一点P(x, y)关于准线对称的点为P'(-x, y)。

2. 焦点定理：对于抛物线上的任意一点P(x, y)，其到焦点的距离等于到准线的距离的平方。

即FP² = |y - Fy|² = (x - Fx)²。

3. 切线性质：抛物线上任意点P(x, y)处的切线斜率等于准线的斜率，即y' = Px。

4. 曲率性质：抛物线上任意点P(x, y)处的曲率为k = 2|Px| / (1 + (Px)²)³/²。

5. 焦距与准线的关系：抛物线焦点到准线的距离等于焦距的绝对值，即Fy = ±2Px。

三、抛物线的标准方程在解析几何中，通常使用标准方程来表示抛物线。

对于顶点在原点的抛物线，其标准方程为y² = 4Px，焦点为(Fx, Fy)，准线为y = Px。

而对于顶点不在原点的抛物线，其标准方程为(x - h)² = 4p(y - k)，焦点为(Fx + h, Fy + k)，准线为y = k + p。

四、抛物线的应用抛物线在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

以下列举几个实际应用的例子：1. 炮弹飞行轨迹：抛物线可以用来描述炮弹在抛射过程中的飞行轨迹，利用抛物线的性质可以计算出炮弹的落点和最大射程等参数。

2. 天体运动轨迹：行星或其他天体的运动轨迹可以近似看作抛物线，通过研究抛物线的性质可以精确计算天体的运动轨迹和相关参数。

高一数学抛物线知识点总结

高一数学抛物线知识点总结抛物线是数学中的重要概念，具有广泛的应用。

在高一数学学习过程中，我们不可避免地会接触到抛物线的相关知识。

本文将对高一数学抛物线知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用相关概念。

一、抛物线的定义和特点抛物线是一个平面曲线，它与一个定点（焦点）和一条直线（准线）有关。

具体而言，对于给定的焦点F和准线l，抛物线上的每个点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。

抛物线的形状呈现对称性，左右两侧完全相同。

其特点包括：焦准定理、焦半径定理、对称性等。

二、抛物线的方程及其形式抛物线的方程有多种形式，我们根据不同的情况选择适合的表达形式。

常见的抛物线方程包括：顶点形式、焦点形式、准线形式等。

以下是各种形式的抛物线方程及其特点：1. 顶点形式：y=a(x-h)^2+k这个形式的抛物线方程表达了抛物线的顶点坐标(h, k)和对称轴与x轴的夹角。

参数a决定了抛物线的开口方向和形状。

2. 焦点形式：4p(y-k)=(x-h)^2这个形式的抛物线方程表达了焦点坐标(h, k+p)和准线平行于y轴的坐标系。

参数p表示焦点到准线的距离，决定了抛物线的形状。

3. 准线形式：y^2=4ax这个形式的抛物线方程表达了焦点在原点的坐标系。

参数a 决定了抛物线的开口方向和形状。

三、抛物线的性质和应用抛物线作为一个重要的曲线，具有丰富的性质和广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的抛物线性质和应用：1. 焦点和准线的关系：焦点位于准线上方或下方，并且到准线的距离等于焦距的两倍。

2. 焦准定理：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

3. 焦半径定理：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

4. 抛物线的切线：切线斜率等于抛物线上一点的导数，切线与抛物线相切于该点。

5. 抛物线的应用：抛物线广泛应用于物理、工程和几何问题中，如炮弹的轨迹分析、汽车大灯的反射原理等。

本文对高一数学抛物线知识点进行了总结，从抛物线的定义和特点、方程及其形式，到抛物线的性质和应用等方面进行了解析。

抛物线标准方程及其几何性质

教学内容知识梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。

，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ， ②准线方程是：2px -=。

③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征 y 2=kxk>0时开口向右 (k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上 (0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k<0时开口向下例题讲解例1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y2＝－8x B ．y2＝8x C ．y2＝－4xD ．y2＝4x例2坐标平面内到定点F(－1，0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．y2＝2xB ．y2＝－2xC ．y2＝4xD ．y2＝－4x例3已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74例4拋物线y2＝4x 上一点M 到焦点的距离为2，则M 到y 轴的距离为________．例5已知过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．例6根据下列条件求拋物线的标准方程．(1)拋物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)拋物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与拋物线交于点A ，|AF|＝5.例7已知抛物线y2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．变式练习.(1)将本例中A (3，2)改为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，试求|P A |＋|PF |的最小值及此时P 点的坐标．(2)本例条件不变，求点P 到点B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，1的距离与点P 到直线x ＝－12的距离之和的最小值．例7.已知探照灯的轴截面是抛物线y 2=x ，如图所示，平行于对称轴y=0的光线于此抛物线上入射点，反射点分别为P 、Q ，设点P 的纵坐标为a(a>0)，当a 取何值时，从入射光线P 到反射点Q 的光线路径最短？例8已知拋物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求拋物线C 的方程，并求其准线方程；y oFPQ(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与拋物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．课内练习1．以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（）Ａ、相交Ｂ、相离Ｃ、相切Ｄ、不确定 2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（） A ．(716 ,0) B ．(－732 ,0) C ．(0,－ 732 ) D ．(0,－ 716 )3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是（） A ．43 B ．75 C ．85 D ．34．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF → =－4，则A 点坐标为（） A ．（2，±2 2 ） B ．（1，±2） C ．（1，2） D ．（2，2 2 ）5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为． 6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA|的取值范围是．7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是． 8．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ．（1）求抛物线的方程；（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围；（2）求|AM|+|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？课后作业1．顶点为原点，抛物线对称轴为y轴，且过点（－4，5），则抛物线的准线方程为（）A．y=－45B．y=45C．x=－45D．x=452．已知点P是抛物线22y x=上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是7(,4)2A，则||||PA PM+的最小值是（）A．112B．4 C．92D．53．过点（－1，0）作抛物线y=x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为（）A．2x＋y＋2=0 B．3x－y＋3=0 C．x＋y＋1=0 D．x－y＋1=04．抛物线型拱桥的顶点距水面2m时，水面宽8m，若水面升1m，此时水面宽为．5．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则△OAB的重心的坐标为．6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点Ｐ（２，－４）的抛物线的方程．7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线方程．8．已知抛物线x y 22=及定点),0,1(),1,1(-B A M 是抛物线上的点，设直线BM AM ,与抛物线的另一交点分别为21,M M ．求证：当点M 在抛物线上变动时（只要21,M M 存在且1M 与2M 是不同两点），直线21M M 恒过一定点，并求出定点的坐标B 组1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．02．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是（） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分P A → 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是（）A 、y=6x 2―31B 、x=6y 2－31 C 、y=3x 2+31 D 、y=―3x 2―14．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是．5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是．6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程．7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标．8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA为直径的圆与y 轴相切.（1）点A 的轨迹C 的方程；（2）PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上．。

圆锥曲线之抛物线知识点讲解(含解析)

抛物线的概念与几何性质一、知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质3.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.4.焦半径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 解析设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m＝－3或5.答案B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.答案B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135 C.145 D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2. 答案 (1)B (2)A规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x 解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ，则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ，则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°，则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形，设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ，解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)，圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|P A |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3，故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|P A |，所以|P A |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PF A 为等腰三角形). 答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p . 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1). |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10解析抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A[思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知 |AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB ＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝2p sin2α得|AB|＝2psin2α＝3sin230°＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝3 8，故S△AOB ＝12|AB|·d＝12×12×38＝94.答案D【例3】(2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163 D.203[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.答案 C三、课后练习1.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析设|AF |＝m ，|BF |＝n ，∵|AF |＋|BF |＝233|AB |，∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3. 答案 D2.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎨⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，则S △PEF S OAB＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 答案 C3.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx－4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.5.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8解析过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B.答案 B。

初一抛物线的知识点归纳总结

初一抛物线的知识点归纳总结抛物线是初中数学中一种基础的几何图形，对于初一学生来说，了解和掌握抛物线的性质和相关概念非常重要。

在本文中，我们将对初一抛物线的知识点进行归纳总结，并介绍其相关定义和性质。

一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一类曲线，其定义可以通过平面解析几何的方法给出。

具体定义如下：给定平面直角坐标系，设直线L：y=kx（k≠0）和点F (0,p)为抛物线的焦点，对于平面上任意一点P(x,y)，它到直线L的距离等于它到焦点F的距离。

则曲线P的轨迹就是一条抛物线。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的，即对于抛物线上的任意一点P(x,y)，点P'(-x,y)也在抛物线上。

2. 切线性：抛物线上的任意一点P(x,y)处的切线斜率等于焦点F到点P的斜率。

3. 焦点和准线：焦点F是抛物线上的一个特殊点，准线L是抛物线上和直线 y=0 垂直的一条直线。

4. 对称轴：对称轴是垂直于准线的直线，过抛物线的焦点和准线的中点。

5. 顶点：抛物线的顶点是抛物线上离对称轴最近的点，即曲线的最高点或最低点。

三、抛物线的方程及表示初一阶段主要学习二次函数方程的基本形式 y=ax^2+bx+c，其中a≠0。

四、抛物线的图像和特点1. 当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点。

2. 抛物线关于对称轴对称，焦点位于对称轴上方或下方。

3. a的绝对值越小，抛物线越窄；a的绝对值越大，抛物线越宽。

4. 抛物线与x轴的交点称为零点，抛物线与y轴的交点称为截距。

五、抛物线的应用举例1. 炮弹抛物线问题：炮弹在发射后受到重力的影响，其运动轨迹可以用抛物线来描述。

2. 反射面问题：光线从抛物线上一点入射，经过反射后，可以确定抛物线上相应的反射点。

3. 天桥设计：为使人行天桥结构稳定且美观，可以采用抛物线设计。

六、总结初一的抛物线知识点主要包括抛物线的定义、性质、方程、图像及特点等。

高二数学抛物线知识点

高二数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个重要的几何形状，它在物理、工程和计算机科学等领域中都有广泛的应用。

学习抛物线的知识可以帮助学生更好地理解和应用数学原理。

在高二数学课程中，学生将会学习关于抛物线的基本概念、性质和相关公式。

本文将以多个方面来介绍高二数学中的抛物线知识点。

一、抛物线的基本定义抛物线是一种特殊形状的二次曲线，它由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定。

具体而言，抛物线是所有到焦点距离和到准线距离相等的点组成的图形。

抛物线由一个开口向上或向下的弧线组成，其形状特征能够通过方程或者图形来描述。

二、抛物线的标准方程在高二数学中，抛物线的标准方程是一个重要的知识点。

对于一个开口向上或向下的抛物线，其标准方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。

通过标准方程，我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及其他重要属性。

三、抛物线的顶点和焦点抛物线的顶点是图形的最高点或最低点，它在数学问题中起到重要的定位作用。

对于一个开口向上或向下的抛物线，顶点的 y 坐标是抛物线函数的最大值或最小值。

顶点坐标可以通过标准方程或者其他数学方法来确定。

抛物线的焦点是抛物线曲线和准线的交点，它在抛物线的几何构造中发挥重要作用。

焦点坐标的确定同样可以通过标准方程来实现。

焦点是抛物线的特殊点之一，它在许多物理和工程问题中具有重要的几何意义。

四、抛物线的对称性和切线抛物线具有一些重要的几何性质，其中之一是对称性。

对称轴是指通过抛物线顶点并垂直于准线的直线。

抛物线关于对称轴具有对称性，即对称轴上的任意点关于对称轴可以找到另一个点与之对称。

对称性是抛物线在计算和应用中的一个重要特征。

在抛物线上的每个点处，可以找到一条切线，它与该点的切点相切于抛物线。

切线是指与曲线仅仅在某一个点处相切的直线。

切线的斜率与抛物线在该点的斜率相等，因此可以通过求导来求得切线的斜率。

切线在计算动力学和微积分问题中有广泛的应用。