2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.2双曲线的几何性质课时分层作业含解析人教B版选择性必修一

课时分层作业(二十二) 双曲线的几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )

A ．5

B ．5

C ．2

D ．2

A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2． ∴e 2

＝c 2

a 2＝5，∴e ＝5．]

2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为13

5，则其标准方程为( ) A ．x 252－y 2

122＝1 B ．y 2122－x 2

52＝1 C ．x 2122－y 2

52＝1

D ．y 252－x 2

122＝1

D [依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13．又c a ＝13

5，所以a ＝5，b ＝

c 2

－a 2

＝12，故其标准方程为y 252－x 2

122＝1．]

3．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．y ＝±22x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±22x

D ．y ＝±2

4x

D [根据题意，双曲线C ：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±

a

b x ，

若双曲线的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则c ＝

3a ，则b ＝

9a 2－a 2＝22a ，

则双曲线的渐近线方程为y ＝±2

4x ．]

4．平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB ，AD 的斜率分别为1

2，1，则该双曲线的渐近线方程为( )

A ．x ±2y ＝0

B ．2x ±y ＝0

C ．x ±y ＝0

D ．x ±3y ＝0

A [∵双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)是中心对称的， 故平行四边形ABCD 的顶点B ，D 关于原点对称， 设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，则D (－x 1，－y 1)， 故x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21

b 2＝1，

∴(x 0－x 1)(x 0＋x 1)a 2－(y 0－y 1)(y 0＋y 1)b 2＝0，

整理得到：

b 2a 2＝(y 0－y 1)(y 0＋y 1)(x 0－x 1)(x 0＋x 1)，即b 2

a 2－k AB ·k AD ＝0，

故b 2a 2＝12，即b a ＝22，

∴渐近线方程为y ＝±2

2x ，即x ±2y ＝0．]

5．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±5

3x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )

A ． 5

B ．14

C ．2

D ．2 5

A [∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝5

3，∴m ＝5，

∴c ＝

a 2＋

b 2＝14，

∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|

5＋9

＝5．]

二、填空题

6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．

2 [根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9

b 2

＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2．再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2．]

7．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为14

5的双曲线标准方程为 ． y 24－x 2

12＝1 [椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)， ∴c ＝4，e ＝4

5，

∴双曲线的离心率等于145－4

5＝2， ∴4

a ＝2，∴a ＝2． ∴

b 2＝42－22＝12．

∴双曲线的标准方程为y 24－x 2

12＝1．]

8．已知双曲线C ：x 23－y 2

＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝ ．

3 [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±3

3x ，所以∠MON ＝60°．不妨设过点F 的直线与直线y ＝3

3x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN

＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，

由⎩⎨⎧

y ＝－3(x －2)，

y ＝3

3x ，

得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3

2，y ＝32，

所以M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，32，

所以|OM |＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫322

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32 2

＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3．] 三、解答题

9．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．

[解] 椭圆方程为x 264＋y 2

16＝1， ∴椭圆的焦距为83．

①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，

∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝48b a ＝33

，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36

b 2＝12

．

∴双曲线的标准方程为x 236－y 2

12＝1．

②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，

∴⎩⎨⎧

a 2＋

b 2＝48a b ＝33

，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝12

b 2＝36

．

∴双曲线的标准方程为y 212－x 2

36＝1．

由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 2

36＝1．