2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.2双曲线的几何性质课时分层作业含解析人教B版选择性必修一

课时分层作业(二十二) 双曲线的几何性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A ．5
B ．5
C ．2
D ．2
A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2． ∴e 2
＝c 2
a 2＝5，∴e ＝5．]
2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为13
5，则其标准方程为( ) A ．x 252－y 2
122＝1 B ．y 2122－x 2
52＝1 C ．x 2122－y 2
52＝1
D ．y 252－x 2
122＝1
D [依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13．又c a ＝13
5，所以a ＝5，b ＝
c 2
－a 2
＝12，故其标准方程为y 252－x 2
122＝1．]
3．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±22x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±22x
D ．y ＝±2
4x
D [根据题意，双曲线C ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±
a
b x ，
若双曲线的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则c ＝
3a ，则b ＝
9a 2－a 2＝22a ，
则双曲线的渐近线方程为y ＝±2
4x ．]
4．平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB ，AD 的斜率分别为1
2，1，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．x ±2y ＝0
B ．2x ±y ＝0
C ．x ±y ＝0
D ．x ±3y ＝0
A [∵双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)是中心对称的， 故平行四边形ABCD 的顶点B ，D 关于原点对称， 设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，则D (－x 1，－y 1)， 故x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21
b 2＝1，
∴(x 0－x 1)(x 0＋x 1)a 2－(y 0－y 1)(y 0＋y 1)b 2＝0，
整理得到：
b 2a 2＝(y 0－y 1)(y 0＋y 1)(x 0－x 1)(x 0＋x 1)，即b 2
a 2－k AB ·k AD ＝0，
故b 2a 2＝12，即b a ＝22，
∴渐近线方程为y ＝±2
2x ，即x ±2y ＝0．]
5．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±5
3x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )
A ． 5
B ．14
C ．2
D ．2 5
A [∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝5
3，∴m ＝5，
∴c ＝
a 2＋
b 2＝14，
∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|
5＋9
＝5．]
二、填空题
6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．
2 [根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9
b 2
＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2．再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2．]
7．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为14
5的双曲线标准方程为 ． y 24－x 2
12＝1 [椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)， ∴c ＝4，e ＝4
5，
∴双曲线的离心率等于145－4
5＝2， ∴4
a ＝2，∴a ＝2． ∴
b 2＝42－22＝12．
∴双曲线的标准方程为y 24－x 2
12＝1．]
8．已知双曲线C ：x 23－y 2
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝ ．
3 [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±3
3x ，所以∠MON ＝60°．不妨设过点F 的直线与直线y ＝3
3x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN
＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，
由⎩⎨⎧
y ＝－3(x －2)，
y ＝3
3x ，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32，
所以M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32，
所以|OM |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫322
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32 2
＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3．] 三、解答题
9．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
[解] 椭圆方程为x 264＋y 2
16＝1， ∴椭圆的焦距为83．
①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，
∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝48b a ＝33
，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36
b 2＝12
．
∴双曲线的标准方程为x 236－y 2
12＝1．
②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，
∴⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝48a b ＝33
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝12
b 2＝36
．
∴双曲线的标准方程为y 212－x 2
36＝1．
由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 2
36＝1．
10．设双曲线y 2a 2－x 2
3＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2． (1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；
(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
[解] (1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2． ∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2．
∴双曲线方程为y 2
－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±3
3
x ．
∴l 1的方程为y ＝33x ，l 2的方程为y ＝－3
3x ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|＝5×2c ＝20， ∴|AB |＝10， ∴
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10，
即(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100． ∵y 1＝33x 1，y 2＝－3
3x 2， x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，
∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝3
3(x 1＋x 2)， ∴y ＝36(x 1－x 2)，y 1－y 2＝23
3x ， 代入(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100，
得3×(2y )2
＋13(2x )2
＝100，整理得x 275＋3y 225＝1．
11．(多选题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－
c,0)，F 2(c,0)，又点N ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－c ，3b 22a ．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋
|MN |＞4b ，则双曲线C 的离心率可能为( )
A ．3
B ．4
C ．3
2
D ．65
ABD [双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋|MN |＞4b ，
即(|MF 2|＋|MN |)min ＞4b ，又|MF 2|＋|MN |≥2a ＋|MF 1|＋|MN |≥2a ＋|NF 1|＝2a ＋3b 22a ，当且仅当M ，N ，F 1三点共线且M 在N ，F 1之间时取“＝”，即2a ＋3b 22a ＞4b ⇒3b 2－8ab ＋4a 2
＞0⇒3⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
－8·
b a ＋4＞0， 解得b a ＞2或b a ＜2
3，
∴e 2
＝1＋b 2a 2＞5或e 2＜139，∴e ＞5或1＜e ＜13
3．]
12．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝4
5，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．3x ±4y ＝0
B ．4x ±3y ＝0
C ．3x ±5y ＝0
D ．5x ±4y ＝0
B [作F 2Q ⊥PF 1于Q ，
因为|F 1F 2|＝|PF 2|， 所以Q 为PF 1的中点， 由双曲线的定义知
|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝2a ＋2c ， 故|F 1Q |＝a ＋c ， 因为cos ∠PF 1F 2＝4
5， 所以F 1Q
F 1F 2
＝cos ∠PF 1F 2，
即a ＋c 2c ＝4
5，得3c ＝5a ， 所以3
a 2＋
b 2＝5a ，得b a ＝4
3，
故双曲线的渐近线方程为y ＝±4
3x ，即4x ±
3y ＝0．]
13．(一题两空)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点，与双曲线的渐近线交于P 、Q 两点．若|PQ |
|MN |＞2，记过第一、三象限的双曲线C 的渐近线为l 1，则l 1的倾斜角的
取值范围为 ，离心率的取值范围为 ．
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π4 (1，2) [如图，在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中，取x ＝c ，可得y ＝±b 2a ，
∴|MN |＝2b 2
a ．
分别在双曲线的渐近线y ＝b a x 与y ＝－b
a x ， 取x ＝c ，求得|PQ |＝2bc
a ．
由|PQ| |MN|＞2，得
2bc
a
2b2
a
＞2，即
c2＞2b2，
∴a2＋b2＞2b2，∴
b
a
＜1，
∴l1的倾斜角的取值范围为⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，
π
4
e2＝
b2
a2
＋1＜2，∴e的取值范围为(1，2)．]
14．双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥
4
5c，则双曲线的离心率e 的取值范围为．
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
5
2，5
[直线l的方程为
x
a
＋y
b
＝1，即bx＋ay－ab＝0．
由点到直线的距离公式，且a>1，b>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝
b(a－1)
a2＋b2
，点(－1,0)到直线l的距离d2＝
b(a＋1)
a2＋b2
，s＝d1＋d2＝2ab
a2＋b2
＝2ab
c．由s≥
4
5c，得
2ab
c ≥
4
5c，即5a c
2－a2≥2c2．于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0．解不等
式，得5
4≤e
2≤5，由于e>1，因此e的取值范围是
5
2≤e≤5．]
15．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．[解]切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10，
因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称．
所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0．
当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则其渐近线方程为y ＝±b a x ，即
b
a ＝3， 则双曲线方程可化为x 2a 2－y 2
9a 2＝1， 因为双曲线过点P (3，－1)，
所以9a 2－19a 2＝1，所以a 2＝80
9，b 2＝80， 所以所求双曲线方程为x 2809
－y 2
80＝1．
当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则渐近线方程为y ＝±a b x ，即
a
b ＝3， 则双曲线方程可化为y 29b 2－x 2
b 2＝1， 因为双曲线过点P (3，－1)， 所以19b 2－9b 2＝1，得－80
9b 2＝1，无解． 综上可知所求双曲线方程为x 2809－y 2
80＝1．。