高中数学 1.1.2基本不等式课件 新人教A版选修4-5
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2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版选修4_5
值才是2.
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y
4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y
4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片 进入:
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
m＋n＝4， ∴ m－n＝－2. m＝1， ∴ n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
本课时考点主要考查不等式的性质，2012年湖南高
考将不等式的性质及函数的单调性结合命题，是高考命题
b(n∈N，n≥2).
[小问题· 大思维]
1．若 x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y， a b ③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤y＞x这五个不等式中， 恒成立的不等式有哪些？
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：1-1-2
y 9x 1 9 当且仅当x＝ y 且x＋y＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式等号 成立． 故 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
5 (2)∵x<4，∴4x－5<0，则 5－4x>0. 1 1 ∴y＝4x＋ ＝(4x－5)＋ ＋5 4x－5 4x－5
1 ＝－5－4x＋5－4x ＋5≤－2
规律技巧
1 以上各题均当 a＝b＝2时取等号，在推理过程
中要正确运用不等式的性质，把握住不等号方向的正确性．当 同向不等式相加时要注意等号能否成立．
【变式训练 1】
(1)已知 a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
1 1 求证：1＋a1＋b≥9.
(2)已知 a，b，c 是不全相等的正数，求证： a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式： 1 a＋ ≥2(a>0，当且仅当 a＝1 时取等号)． a b a 当 ab>0 时， ＋ ≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)． a b
2 a ＋ b a2＋b2≥ ≥2ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号 2
成立)．
2．均值不等式的应用 应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值． (1)x，y∈R＋，且 xy＝m(m 为定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 m； (2)x，y∈R＋，且 x＋y＝n(n 为定值)，那么当 x＝y 时，xy n2 有最大值 . 4 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相 等”．否则会得出错误的结果.
第一讲
不等式和绝对值不等式
一
不等式
2
基本不等式
课前预习目标
课堂互动探究
1.1.2.基本不等式 课件(人教A选修4-5)
a＋b 如果 a，b 都是正数，我们就称 2 为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， (1)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 积 P 取得最 大 值； (2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 和 S 取得最 小 值．
行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同 向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不 等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话 要搞清楚．
[通一类] 1．设a，b，c∈R＋，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又 a，b，c∈R＋， ∴ a2＋b2≥
每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平
均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此 优惠条件？请说明理由．
2
2 2 |a＋b|＝ (a＋b)． 2 2
2
2 2 2 2 同理： b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (a＋c)． 2 2
三式相加， 得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当且仅当 a＝b＝c 时取等号.
[研一题]
[例 2] 1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
[精讲详析]
本题考查基本不等式在证明不等式中的应
用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋ a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明课件理新人教A版选修4_5
“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12<k（k1－1），k12>k（k1＋1），1k
<
2 k＋
k－1，
1k>
2 k＋
k＋1.上面不等式中
k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性； (3)真分数性质“若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm”． [提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一 个度．
2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有 目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以 便确定解题方向．
(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|， 只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0， 由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒 成立． 综上，1a－b－abcc>1.
所以 a2＋2ab＋b2＝1.
因为 a>0，b>0，
所以a12＋b12＝（a＋a2b）2＋（a＋b2b）2＝1＋2ab＋ba22＋1＋2ba＋ab22＝
2 ＋ 2ab＋2ba ＋ ba22＋ab22 ≥ 2 ＋ 2
2ab·2ba ＋ 2
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式二2.绝对值不等式的解法2
(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最 大值即可，即 m≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋ 2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则 m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为 R，则 m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则 m∈[1，＋∞)．
法三：原不等式的解集就是 1<(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22>1，
解得－x<11≤或xx≤>35，，
∴－1≤x<1 或 3<x≤5.
∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得 2x＋5>7＋x 或 2x＋5<－(7＋x)，
整理得 x>2 或 x<－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当 x2－2<0 且 x≠0，即－ 2<x< 2，且 x≠0 时，原不 等式显然成立． ②当 x2－2>0 时， 原不等式可化为 x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2， 即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2， ＋∞)．
法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即 y＝－2x＋12，2，x－＜－7≤7，x≤2， 6，x＞2.
作出函数的图象，由图可知，当 x≤－1 时，有 y≤0， 即|x＋7|－|x－2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
不等式的证明课件3(人教A版选修4-5)
2
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2
b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
2
2
a b c d
2 2 2
0 不等式显然成立
c
2
a
2
b
2
2
d
2
2
0
原不等式即证
2 2 2
ac
2 2 2
bd
2
2
a
2 2
b
2 2
c
2
2
2
d
2 2
2
2
即证 a c b d 2 abcd a c b d a d b c 即证 2 abcd a d b c 即证 ad bc 0
21 25
因 为 21 25 成 立 ，
所以（ 3 7） (2 5 ) 成 立 ，
2 2
即证明了 3
7 2 5
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困 难。例如，在例9中我们很难想到从”21<25“入手。 在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用 分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证 明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
而此式显然成立
原不等式
C 1
C 12
C 成立
练习3
1 求证
6
7 2
2
5
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证：
( a1 b1 ) ( a 2 b 2 )
≥
a1 a 2 b1b 2
1 1 1
3 求 证
1
a a
2 2
例3：若a、b、c是不全相等得正数
2
为了证明上式成立，只需证明
即证 1 1 42 , 因此只需证明 4
人教A版高中数学选修4-5第一讲二绝对值不等式上课课件
证明
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b
1.1.2 基本不等式 课件(人教A选修4-5)
3 (2)设 0<x< ，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 2 1 9 (3)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值． x y
[思路点拨]
根据题设条件，合理变形，创造能用基
本不等式的条件，求最值．
2x 2 [解] (1)∵x>0，∴f(x)＝ 2 ＝ . 1 x ＋1 x＋x 1 1 1 ∵x＋x≥2，∴0< ≤ . 1 2 x＋x ∴0<f(x)≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．即f(x)值域 为(0,1] 3 (2)∵0<x< ，∴3－2x>0. 2 2x＋3－2x 2 9 ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[ ]＝ . 2 2 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝ 时，等号成立． 4 9 ∴y＝4x(3－2x)的最大值为 . 2
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并 求出最小总费用．
解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋1 由已知xa＝360，得a＝ x 3602 所以y＝225x＋ x －360(x＞0)． (2)∵x>0， 3602 ∴225x＋ x ≥2 225×3602＝10 800. 3602 ∴y＝225x＋ x －360≥10 440， 3602 当且仅当225 x＝ 时，等号成立． x 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费 用是10 440元．
a2 b2 c2 ∴( b ＋b)＋( c ＋c)＋( a ＋a) ≥2(a＋b＋c)． a2 b2 c2 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c. a2 b2 c2 当且仅当 b ＝b， c ＝c， a ＝a， 即a＝b＝c时取等号.
高中数学人教A版选修4-5课件：1-2-1绝对值三角不等式
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典例透析
1
2
3
3.三个实数的绝对值不等式 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
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典例透析
1
2
1.对绝对值三角不等式的理解 剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝 对值的和差的关系,我们可以类比得到另外一种形式:|a|-|b|≤|ab|≤|a|+|b|. 和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab>0,ab<0,ab=0三种 情况来确定的,其本质是叙述在两个实数符号的各种情形下得到的 结果,即这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零各 种不同情况讨论,往往在所难免,因此,对绝对值的认识要有分类讨 论的习惯.
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题型一
题型二
题型三
题型一
绝对值三角不等式的性质
【例1】 设a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值. 分析：解决本题的关键是灵活运用绝对值三角不等式的性质.因 为a,b的符号不确定,所以需要分ab≥0和ab<0进行讨论. 解:|a+b|=|(a+b+1)-1|≤|a+b+1|+|-1|≤1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)2(a+2b+4)+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3×1+2×4+5=16. ①当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2; ②当ab<0时,则a(-b)>0, |a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16. 总之,恒有|a|+|b|≤16. 而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16. 因此|a|+|b|的最大值为16.
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：1-2-1
x＋y |2 －x|＋|2 －y|＋|x＋y|≥2 ＋1. 2
【证明】
由绝对值三角不等式得：
|2x－x|＋|2y－y|≥|2x＋2y－(x＋y)|≥|2x＋2y|－|x＋y|. ∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥|2x＋2y|. 而|2x＋2y|＝2x＋2y≥2 2x· 2y ＝2 2
x x ＋y
x＋y x＋y ＝2· 2 2 ≥2 2 ＋1，
y
x＋y ∴|2 －x|＋|2 －y|＋|x＋y|≥2 ＋1. 2
规律技巧 题顺利得解．
把绝对值不等式和均值不等式结合起来，使问
【变式训练 3】 M)，求证：|xy－ab|<ε.
ε ε 已知|x－a|<2M，0<|y－b|<2|a|，y∈(0，
证明
它的几何意义是三角形的________． 由于定理 1 与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等 式为________． 2．定理 2 如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤________，当且仅当(a －b)(b－c)≥0 时，等号成立.
答 案
ab≥0
|a＋b|<|a|＋|b|
两边之和大 |a－
答案
D
【例 2】
若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数
a 的取值范围是________．
【解析】 因为|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，
则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
【答案】
－2≤a≤4
规律技巧
利用绝对值三角不等式求最值的技巧
绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系，有些对于 y ＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x＋a|－|x－b|型的函数最值求法，利用该 不等式或其几何意义更简捷、方便．
人教版高中数学选修4-5《1.2基本不等式》
基本不等式
人教A版高中数学选修4-5
探究:你能从几何的角度解释定理1吗?
思考：你能在这个图案中找 出关于图形面积之间的相等 或不等关系吗？
D
a b
2
2
b
G F E H
1、正方形ABCD的面 2 2 a b 积S=＿＿＿＿
C
２、四个直角三 角形的面积之和
A
a
S = 2ab
'
'
３、S与 S 有什么样
归纳整理，整体认识
本节课你有什么收获？
1、数学知识: 2、数学思想:整体思想、数形结合 3、数学方法:分析法
作业
问题1：跟同学一起讨论基本不等式的其他 几何解释
≥ D
O C
B
a
b
E
几何意义：半径不小于弦长的一半
拓展延伸
例 （1）用篱笆围一个面积为１００平方米的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？ 最大的面积是多少？
变式训练： 求证：（1）在所有周长相同的矩形中， 正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中， 正方形的周长最短.
下面讨论一下基本不等式的几何意义. 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过 点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、 A OD. ①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? ③OD与CD的大小关系怎样? OD=______ CD=______ OD_____CD
的不等关系？S>S′即
B
a b
2
2
人教A版高中数学选修4-5
探究:你能从几何的角度解释定理1吗?
思考：你能在这个图案中找 出关于图形面积之间的相等 或不等关系吗？
D
a b
2
2
b
G F E H
1、正方形ABCD的面 2 2 a b 积S=＿＿＿＿
C
２、四个直角三 角形的面积之和
A
a
S = 2ab
'
'
３、S与 S 有什么样
归纳整理，整体认识
本节课你有什么收获？
1、数学知识: 2、数学思想:整体思想、数形结合 3、数学方法:分析法
作业
问题1：跟同学一起讨论基本不等式的其他 几何解释
≥ D
O C
B
a
b
E
几何意义：半径不小于弦长的一半
拓展延伸
例 （1）用篱笆围一个面积为１００平方米的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？ 最大的面积是多少？
变式训练： 求证：（1）在所有周长相同的矩形中， 正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中， 正方形的周长最短.
下面讨论一下基本不等式的几何意义. 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过 点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、 A OD. ①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? ③OD与CD的大小关系怎样? OD=______ CD=______ OD_____CD
的不等关系？S>S′即
B
a b
2
2
2019高二数学人教A版选修4-5课件：1.1.2基本不等式1
预习反馈
2.若 x≠0，则 f(x)＝2－3x2－1x22 的最大值是________，取得最值时 x 的值是________. 【解析】 f(x)＝2－3x2＋x42≤2－3×4＝－10，当且仅当 x2＝x42，即 x＝± 2时取等号． 【答案】 －10 ± 2
预习反馈
3．已知 a，b 是正数，求证：
练一练
2．已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，试求 x＋y 的最小值. 【解】 ∵x>0，y>0，且1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y ＝yx＋9yx＋10≥2 yx·9yx＋10＝16.当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时等号成立． 又1x＋9y＝1，∴当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
∴当促销费定在 7 万元时，年利润最大．
归纳小结
设出变量
建――→立
数学模型
定――义→域
利用均值不等式求最值
“＝”成 立―的―――条→件
结论
练一练
3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方 体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高 度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有 制箱材料 60 m2，问当 a，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数 最小(A，B 孔的面积忽略不计)?
1．两个定理
定理
内容
等号成立的条件
定理 1 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R) 当且仅当 a＝b 时，等号成立
定理 2
a＋b 2≥
ab (a，b＞0)
当且仅当 a＝b时，等号成立
2.算术平均与几何平均
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
返回
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
返回
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
返回
返回
1．不等式的基本性质
返回
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
返回
[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
返回
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
返回
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1．不等式的基本性质
返回
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
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[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
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16
►变式训练
3．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的
无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米
20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总
栏 目
造价是( )
链 接
A．80 元 B．120 元 C．160 元 D．240 元
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17
解析：设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1
∴a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
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10
2
．
证
明
：
(1
＋
1 x
)(1
＋
1 y
)
＝
（x＋1）（y＋1） xy
＝
栏 目
链
（2x＋y）（2y＋x） xy
＝
5xy＋2（x2＋y2） xy
＝
5
＋
2（x2＋y2） xy
≥
5
＋
接
2×xy2xy＝9.
当且仅当 x＝y＝21时取等号．∴(1＋1x)(1＋1y)≥9.
目 链 接
当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时，
x
1＋y2取得最大值3
4
2 .
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7
解法二 令{ x＝cos θ， y＝ 2sin θ 0≤θ≤π2 ，
则 x 1＋y2＝cos θ 1＋2sin2θ＝
2cos2θ（1＋2sin2θ）·12≤
12·2cos2θ＋（21＋2sin2θ）2＝3 4 2.
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栏 目 链 接
13
所以每人至少应交3 48840＝80(元)． (2)每批去 x 名同学，共需去48x×4批， 总开支又分为： ①买卡所需费用 240x 元， ②包车所需费用48×x 4×40元． 所以 y＝240x＋48×x 4×40(0＜x≤48，x∈Z)， 即 y＝240x＋3x2≥240×2 x×3x2＝1 920 2. 当且仅当 x＝3x2，即 x＝4 2时，等号成立．
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栏 目 链 接
14
由 0＜x≤48，5＜4 2＜6，x∈Z)可知， 当 x1＝5 时，y1＝240×5＋352＝2 736； 当 x2＝6 时，y2＝240×6＋362＝2 720. 因为 y1＞y2， 所以当 x2＝6 时，y 有最小值，ymin＝2 720. 故每人至少应交2 47820≈56.67(元)．
xy≥4＋2 4yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy时，等号成立．又∵2x＋y＝1，栏目链
接
∴x＝14，y＝12，∴当 x＝41，y＝12时，x1＋2y取最小值 8. 点评：使用基本不等式求最值时，一定要验证三个条件：“一正”“二
定”“三相”等，缺一不可．
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5
►变式训练
1．设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x 的最大值为 __________．
m．得另一边长为4xm.记容器的总造价为 y 元，则
y＝4×20＋2x＋4x×1×10＝
栏
80＋20x＋4x≥80＋20×2 x·4x＝160，
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栏 目 链 接
15
点评：利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细
阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么
量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y的
栏 目
函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)，
链 接
最后利用不等式的有关知识解பைடு நூலகம்．求解过程中要注
意实际问题对变量x的范围的制约．
b，c在不等式中的作用相等，交换其中任意两个的
位置，结论仍成立)，只需侧重证明a(b2＋
c2)≥2abc，其他按“同理”的格式书写即可．
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9
证明：∵b2＋c2≥2bc，a＞0，∴a(b2＋c2)≥2abc，①
同理，b(c2＋a2)≥2abc，②
栏
目
c(a2＋b2)≥2abc.③
链 接
∵a，b，c 不全相等，∴①②③式中至少有一个式子不能取等号．
栏
1．分析：∵x2＋＝1是常数，∴x2与的积可能有最 目
大值．
链 接
∴可把x放到根号里面去考虑，即化为，
注意到x2与1＋y2的积，应处理成2x2·.
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6
解析：解法一 ∵x≥0，y≥0，x2＋y22＝1，
∴x 1＋y2＝ x2（1＋y2）＝
2x2·1＋2 y2≤
栏
2x2＋21＋2 y2＝ 2x2＋2y22＋12＝342，
不等式的形式，但还应注意适用前提．
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3
解析：(1)因为 x＞0，所以由基本不等式得 f(x)＝4x＋1x6≥
栏
2 4x·1x6＝2 64＝16.
目 链 接
当且仅当 4x＝1x6，即 x＝2 时，“＝”成立．
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4
(2)运用“乘 1 法” 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1．1.2 基本不等式
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1
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栏 目 链 接
2
利用基本不等式求函数的值域或最值
栏
(1)若x＞0，求f(x)＝4x＋的最小值
目 链
(2)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则＋的最小值是
接
______；
分析：函数解析式在形式上已经基本符合了基本
栏 目 链 接
当
2cos2θ＝1＋2sin2θ，即
π θ＝ 6 时，也即
x＝
23，y＝
22时，
x 1＋y2取得最大值342.
答案：3
2 4
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8
利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2) ＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
栏 目
链
分析：本题的结论是关于a，b，c的轮换对称式(a， 接
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11
利用基本不等式解应用题
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张 240 元，其使用规定 为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某
栏
班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除 目
链
需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车， 接 无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元． (1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？ (2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？
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12
分析：弄清题意，理解总费用由买游泳卡所需费用及包车费两项 组成．
解析：设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元． (1)每批去 x 同学，共需去48x×8批，总开支又分为： ①买卡所需费用 240x 元， ②包车所需车费用48×x 8×40元． 所以 y＝240x＋48×x 8×40(0＜x≤48，x∈Z)． 因为 y＝240xx＋6x4≥240×2 x×6x4＝3 840， 当且仅当 x＝6x4，即 x＝8 时，等号成立．