人教版高中数学全套PPT课件1数列 (2) 公开课一等奖课件

课堂典例讲练
思路方法技巧
等比数列求和公式
已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前
n 项和，且 9S3＝S6，则数列{a1n}的前 5 项和为(
)
A.185或 5
B.3116或 5
31
15
C.16
D. 8
[答案] C
[Baidu Nhomakorabea析] 欲求数列{a1n}的前 5 项的和，因为 a1＝1，{an}是 等比数列，故需求出其公比 q，由 9S3＝S6 结合求和公式即可求 得 q.
(2)利用等比数列的前 n 项和公式求和时，要特别注意公比 q 的取值，应当按 q＝1 和 q≠1 分别求解，如果其中含有参数不能 确定时，必须进行分类讨论．
在等比数列{an}中，若 Sn＝189，q＝2， an＝96，求 a1 和 n. [解析] 解法一：∵an＝96，q＝2， ∴a1·2n＝192.① 又∵Sn＝a111－－22n＝189， 即 a1－a1·2n＝－189， ∴a1＝a12n－189＝192－189＝3. 代入①式得 n＝6.
探索延拓创新
错位相减法求数列的前 n 项和 求数列12，34，58，176，…，2n2－n 1的前 n 项和． [分析] 本题中的数列是由数列 1,3,5,7，…与12，14，18， 116，…的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后 面的数列是等比数列，可用错位相减法求和．
[解析] 设 Sn＝12＋232＋253＋…＋2n2－n 1，① 则 2Sn＝1＋32＋252＋…＋22nn－－11.②
[辨析] 在等比数列{an}中，若公比 q＝1，则 Sn＝na1，若 q≠1，则 Sn＝a111－－qqn，因此在解含参数的等比数列求和问题 时，一定要注意其公比是什么，能否取到 1.
[正解] (1)当 x＝1 时，Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2， ∴Sn＝n2.
(2)当 x≠1 时，Sn＝1＋3x＋5x2＋…＋(2n－1)·xn－1， xSn＝x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn， 相减得(1－x)Sn＝1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn－2)－(2n－1)xn ＝1－(2n－1)xn＋2x11－－xxn－1， ∴Sn＝2n－1xn＋1－x－2n1＋21xn＋1＋x.
①－②，得－Sn＝－1－2(12＋212＋213＋…＋2n1－1)＋2n2－n 1＝ －1－2×1211－－212n1－1＋2n2－n 1
＝－1－2＋2n1－2＋2n2－n 1 ＝－3＋2n2＋n 3， ∴Sn＝3－2n2＋n 3.
(2013·湖南文，19)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.
自主预习
1.等比数列的前 n 项和公式 (1)q＝1 时，Sn＝__n_a_1__；
a11－qn a1－qan (2)q≠1 时，Sn＝__1_－__q__＝___1_－__q____.
破疑点：(1)等比数列前 n 项和公式及通项公式中共有五个量 a1、q、an、n、Sn，这五个量可“知三求二”．
[解析] 由题知 q3＝S6－S3S3＝8，则 q＝2， ∴数列a1n是公比为12，首项为 1 的等比数列， ∴其前 5 项和 T5＝1×1－1－12215＝3116，故选 C.
在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值等于
()
A．－2
B．－1
C．1
D．2
[答案] D [解析] ∵S5＝22，q＝－2，∴a1[11－－－－225]＝22， ∴a1＝2.
等比数列前 n 项和的性质
设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是
()
A．X＋Z＝2Y
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
名师辨误做答
求和 1,3x,5x2,7x3，…，(2n－1)xn－1，…. [错解] ∵Sn＝1＋3x＋5x2＋…＋(2n－1)xn－1， ∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋…＋(2x－1)xn， 两式相减得(1－x)Sn＝1＋2x(1＋x＋…＋xn－2)－(2n－1)xn ＝1－(2n－1)xn＋2x11－－xxn－1， ∴Sn＝2n－1xn＋1－x－2n1＋21xn＋1－x.
(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总 收入为 bn 万元，写出表达式；
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
[解析] (1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800(1 －15)万元，第 n 年的投入为 800(1－15)n－1 万元．
所以，n 年内的总投入为：an＝800＋800(1－15)＋…＋800(1 －15)n－1＝4 000－4 000(45)n(万元)；
建模应用引路
等比数列前 n 项和公式的实际应用
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进 行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度 投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅 游业收入估计 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用， 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.
在正项等比数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，若 S10＝10，S30＝ 130，则 S20 的值为________．
[答案] 40
[解析] 由 S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列， 得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)， 解方程得 S20＝40 或 S20＝－30，∵S20>0，∴S20＝40.
⇒515×1.12×(1.12n－1) ＝5 855×0.12 ∴1.12n＝2.22， ∴n＝7. 故到 2011 年底西部地区才能完成退耕还林计划．
(2)设财政补助费为 W 亿元． 则 W＝(300×0.7＋20)×(6 370－515)×10－4
＝134.6(亿元) 所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付 134.6 亿 元.
已知一个等比数列的首项为 1，项数是偶数，其奇数项和 为 85，偶数项和为 170，则这个数列的公比为________，项数 为________．
[答案] 2 8
[解析] 设该等比数列的公比为 q，项数为 2n， 则有 S 偶＝qS 奇⇒q＝18750＝2， 又 S2n＝S 偶＋S 奇⇒a111－－qq2n＝85＋170， ∴22n－1＝255， ∴2n＝8. 故这个数列的公比为 2，项数为 8.
C．Y2＝XZ
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[答案] D
[解析] 由题意知 Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z. 又∵{an}是等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 为等比数列，即 X，Y－X，Z－Y 为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，整理得 Y2－XY＝ZX－X2， 即 Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选 D.
国家计划在西部地区退耕还林 6 370 万亩，2004 年底西部 已退耕还林的土地面积为 515 万亩，以后每年退耕还林的面积 按 12%递增．
(1)试问从 2004 年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕 还林计划？(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)
(2)为支持退耕还林工作，国家财政从 2005 年起补助农民 当年退耕地每亩 300 斤粮食，每斤粮食按 0.7 元折算，并且补 助当年退耕地每亩 20 元．试问：西部完成退耕还林计划，国 家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)
an＝2an－1， 于是数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，因此， an＝2n－1. 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
(2)由(1)知，nan＝n·2n－1. 记数列{n·2n－1}的前 n 项和为 Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②得 －Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝2n－1－n·2n. 从而 Bn＝1＋(n－1)·2n
第一年旅游业收入为 400 万元， 第二年旅游业收入为 400(1＋14)万元， 第 n 年旅游业收入为 400(1＋14)n－1 万元． 所以 n 年内的旅游业总收入为 bn＝400＋400(1＋14)＋…＋400(1＋14)n－1 ＝1 600(54)n－1 600(万元)．
(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn－an>0，
解法二：由公式 Sn＝a11－－aqnq及已知， 得 189＝a1－1－962×2， 解得 a1＝3.又由 an＝a1·qn－1，得 96＝3·2n－1，解得 n＝6.
2．等比数列前 n 项和的性质 等比数列{an}中，若 Sn 为其前 n 项和，则依次每 k 项的和构 成等比数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…(当 Sk≠0 时) 成等比数列，其公比为__q_k _ (q≠－1)．
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
(1)求 a1、a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前 n 项和．
[解析] (1)令 n＝1，得 2a1－a1＝a21，即 a1＝a12，因为 a1≠0， 所以 a1＝1，令 n＝2，得 2a1－1＝S2＝1＋a2，解得 a2＝2.
当 n≥2 时，由 2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1 两式相减得 2an －2an－1＝an，即
[解析] 设从 2004 年底起以后每年的退耕还林的土地依 次为 a1，a2，a3，…，an，…万亩．则
(1)a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，an＝515(1 ＋12%)n，…
Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝5151＋10－.121.112－1.12n＝6 370－515
第二章
数列
第二章
2.5 等比数列的前 n 项和
第二章
第 1 课时 等比数列的前 n 项和
课前自主预习 课堂典例讲练
名师辨误做答 课后强化作业
课前自主预习
温故知新
推导等差数列前 n 项和公式的方法称为________法．
[答案] 倒序相加
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
即 1 600(54)n－1 600－4 000＋4 000(45)n>0， 化简得 2(54)n＋5(45)n－7>0， 设(45)n＝x，代入上式得 5x2－7x＋2>0. 解此不等式，得 x<25，或 x>1(舍去)，
即(45)n<25，由此得 n≥5. 答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入．
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。