中考中相似三角形的常见模型及典型例题
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word 版 初中数学
例题 1.如图,AD ⊥AC,BC ⊥AC,AB 与CD 相交于点E,过点E 作EF ⊥AC 交AC 于 F.
（1）
写出图中的所有相似三角形，并说明理由；
（2）求证： 1
+ BC 1 = 1
AD EF
C
F
A
例题 2 如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上,下列条件中不能判断△
ABC ∽△AED 的是（ ）
A 、∠AED=∠B
B 、∠ADE=∠C
C 、 A
D = AC
D 、 AD = AE
AE AB
AB
AC
【同步练习】如图，在△ABC 中，点 D 是边AB 上任意一点,下列条件中不能判断
△ACD ∽△ABC 的是（
）
A 、∠ACB=∠ADC
B 、∠ACD=∠AB
C C 、
AC = AD
D 、CD = AD
AB AC
BC
AC
例题 3 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点D，CG//AB，BG 分别交AD、AC 于E、F 两点，求证：BE 2=EF •EG
G
D
例题4 如图，已知BD、CE 是△ABC 的高。（1）求证：AE . AB=AD . AC；
（2）连结DE，求证：△ADE∽△ABC；
例题 5 如图,点B 、D 、E 在一条直线上,BE 与AC 交于点 F ，
AB = AC = BC
,
（1） 求证：∠BAD=∠CAE ；
（2） 若∠BAD=21°,求∠EBC 的度数； （3） 若连结EC ，求证：△ABD ∽△ACE
AD AE DE
E
C
B
C
【变式练习】如图，点 B 、D 、E 在一条直线上，BE 与AC 交于点F ，并且∠BAD=∠CAE ，
AB = AC
AD AE
（1） 求证：△ABC ∽△ADE
（2） 求证：△AEF ∽△BFC
E
B
例题6 如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 边上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD=1，FC=3 时，求BE 的长。
【变式练习】如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q 分别在射线CB、AC 上（点P 不与点C、点B 重合），且保持∠APQ=∠ABC.（1）若点P 在线段CB 上，且BP=6，求线段CQ 的长；
（2）若BP=x，CQ=y,求y 与x 的关系式，并求出自变量x 的取值范围。
A
Q
E F 例题 8 如图,△ABC 是等边三角形,点D 、E 分别在BC 、AC 上,且 BD=CE ，AD 与BE 相交于点 F.
（1） 求证：△ABD ≌△BCE ； （2） 求证：△ABE ∽△FAE ；
（3） 当AF=7，DF=1 时，求BD 的长。
A
B D
C
【变式】如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，使得AE ⊥DE.
（1） 求证：△ABE ∽△ECD ；
（2） 若AB=4，AE=BC=5，求CD 的长；
（3） 当△AED ∽△ECD 时，求线段AD 、AB 、CD 之间的数量关系。
例题9 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上,∠AED= ∠B，射线AG 分别交线段DE、BC 于点F、G，且AD =DF
（1）求证：△ADF∽△ACG；
AC CG
（2）若AD =1 ，求AF 的值。A
AC 2 FG
B G C