2.1射影平面

1
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
定义1.1
定义1.2
: l l'
2、平面到平面的中心射影
: '

均不是一一对应
中心射影不是一一对应的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点 如何使得中心射影成为一个一一对应？
给平行线添加交点！
§ 1 射影直线和射影平面
德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则 对应顶点的连线交于一点. 定义1.11
如果两个三点形对应边的交点共线，则 这条直线叫做透视轴．如果两个三点形对应 顶点的连线共点，则这个点叫做透视中心．
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
应用举例
例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为 AD, BE, CF. 而 BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.
一对重要的基本图形---定义1.10 三点形(平面内不共线三 三线形(平面内不共点三直 点与每两点连线构成的图形) 线及其两两交点构成的图形)
顶点：A, B, C
边：BC, CA, AB 记号：三点形ABC
边：a, b, c
顶点：b×c, c×a, a×b 记号：三线形abc
显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变
四、仿射直线、仿射平面的模型
1、仿射直线
(1)仿射直线的封闭性
P
欧氏直线：向两个方向无限伸展 仿射直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
§ 1 射影直线和射影平面
四、仿射直线、仿射平面的模型
2、仿射平面
(1)仿射平面的封闭性(从两个方面理解) (2)仿射平面的拓扑模型
§ 1 射影直线和射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. ３、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影 定义1.2
: '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
: ' 是π'到π的中心射影 因此 ， 三条特殊的直线： x ' 自对应直线(不变直线) u , U u, OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' , V ' v' , OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个一一对应
约定 (２)一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做 无穷远直线，记作l∞，区别起见，称平面上原有的直线为有穷 远直线(通常直线) 约定 (３) 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷 远平面，记作π∞，为区别起见，空间里原有平面称为非无穷远平 面或普通平面． 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
一、中心射影
目标：
途径：
改造空间，使得中心射影成为一一对应
给平行直线添加交点
要求：
不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点) 两个相异点确定惟一一条直线(连线)
}
点与直线的关联关系
§ 1 射影直线和射影平面
二、无穷远元素
约定 (1) 在平面内对于任何一组平行线引入惟一一个点叫做 无穷远点，此点在组中每一之线上而不在此组之外的任何直线 上.无穷远点记以P∞，为区别起见，平面上原有的点称为非无穷 远点或普通点．
在射影平面上，可 以证明：
I，II为同一区域
III，IV为同一区域
§ 1 射影直线和射影平面
１.3 图形的射影性质
定义1.7 经过中心射影(透视对应)后 图形的不变性(量)叫做图形的射影性 质(不变量).
例 证明 (1)相交于形消线的二直线必射影成平行 直线
(2)单比不是射影不变量
§ 1 射影直线和射影平面
空间中任二平面必相交于惟一直线
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.2 无穷远点,无穷远直线,无穷远平面 统称为无穷远元素. 例１ 证明一组平行平面相交于一条无穷 远直线．
l
§ 1 射影直线和射影平面
三、仿射直线；仿射平面
定义1.3 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后,便得到一条新 直线, 我们将它叫做仿射直线. 定义1.4 在欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面.
４、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. ５、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2) 1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点. 3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线(见例1)； 过同一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面： 平 行 无穷远直线 两平面 交于惟一 不平行 有穷远直线
第二章 射影平面
本章地位 本章内容 附带一个重要定理 学习平面射影几何的基础 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 Desargues透视定理 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
学习注意
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§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1
: l l'
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理 应用举例
例2 证明：三角行的三中线点共.
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
今 天 作 业
P28 : ５
射影直线：一点不能区分直线为两个部分。
欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质 2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
Ｃ
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与 无穷远点同等看待而不加区分那么这条直线就 叫做射影直线
圆
墨比乌斯带
定义1.6 在仿射平面上,如果对于普通元素和 无穷远元素不加区分,即可得到射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质
１、射影直线
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。
点列与线束
定义1.8 点列(同 一直线上点的集合)
定义1.9 线束(平面上过 同一点的直线的集合)
记为:
l(A,B,C,…) 底
元素
记为: O(a,b,c,…) 中心 元素
§ 1 射影直线和射影平面
今 天 作 业
P28 : 2, 3
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
O投射中心(O l l ')
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格定理
德萨格(Desargues)定理
如果两个三点形对应顶点的连线交于 一点，则对边的交点在一直线上.
A
X
C
Y
C
B
A
B Z
O
A

X
C
B Z Y
C
B
A

o
L
A
l
L
A
X
C
C
B
Y
C
B
A
B Z
O

§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理